Contrôle de maths 1ère : calcul de dérivées et règles de dérivation

Exercice 1 : Dérivées des fonctions de référence (4 points)

Calculatrice interdite pour tout le sujet.

Chaque fonction est dérivable sur l’intervalle indiqué. Donne l’expression de sa fonction dérivée.

1. \(f_1(x) = x^5\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 point)
2. \(f_2(x) = 4x^3 – 7x^2 + 2x – 9\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 point)
3. \(f_3(x) = \dfrac{3}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). (0,5 point)
4. \(f_4(x) = 5\sqrt{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). (0,5 point)
5. \(f_5(x) = \dfrac{x^2}{4} – 3x + 1\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 point)
6. \(f_6(x) = 2x^4 – \dfrac{1}{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). (0,5 point)
7. \(f_7(x) = \dfrac{2}{3}x^3 + \sqrt{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\). (0,5 point)
8. \(f_8(x) = -6x + \pi\) sur \(\mathbb{R}\). (0,5 point)

Exercice 2 : Produits et quotients (5 points)

Calcule la dérivée de chaque fonction et donne le résultat sous forme simplifiée.

1. \(g_1(x) = (2x + 1)(x^2 – 3)\) sur \(\mathbb{R}\) ; donne \(g_1^{\prime}(x)\) sous forme développée. (1 point)
2. \(g_2(x) = x\sqrt{x}\) sur \(]0\,;+\infty[\) ; montre que \(g_2^{\prime}(x) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}\). (1 point)
3. \(g_3(x) = \dfrac{3x – 1}{x + 2}\) sur \(]-2\,;+\infty[\). (1 point)
4. \(g_4(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x – 1}\) sur \(]1\,;+\infty[\). (1 point)
5. \(g_5(x) = \dfrac{5}{x^2 + 4}\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)

Exercice 3 : Fonctions de la forme g(ax + b) (3 points)

Calcule la dérivée de chaque fonction en utilisant la formule de dérivation de \(x \mapsto g(ax+b)\).

1. \(h_1(x) = (3x – 2)^4\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. \(h_2(x) = \sqrt{5 – 2x}\) sur \(]-\infty\,;\dfrac{5}{2}[\). (1 point)
3. \(h_3(x) = \dfrac{1}{4x + 1}\) sur \(]-\dfrac{1}{4}\,;+\infty[\). (1 point)

Exercice 4 : Tangentes à une courbe de degré 3 (4 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 – 3x^2 + 1\). Sa courbe \(\mathcal{C}_f\) est tracée ci-dessous.

1. Calcule \(f^{\prime}(x)\). (0,5 point)
2. Détermine l’équation réduite de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse \(1\). (1 point)
3. Détermine les points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est horizontale, puis vérifie la cohérence avec la courbe. (1 point)
4. Existe-t-il des points de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est parallèle à la droite \(D\) d’équation \(y = 9x + 4\) ? Si oui, donne leurs coordonnées et l’équation de chaque tangente. (1,5 point)

Exercice 5 : Une fonction rationnelle (4 points)

Soit \(q\) la fonction définie sur \(]-1\,;+\infty[\) par \(q(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x + 1}\).

1. Calcule \(q^{\prime}(x)\). (1,5 point)
2. Montre que, pour tout \(x > -1\), \(q^{\prime}(x) = \dfrac{(x + 3)(x – 1)}{(x + 1)^2}\). (0,5 point)
3. En quel point de la courbe de \(q\) la tangente est-elle horizontale ? (1 point)
4. Détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de \(q\) au point d’abscisse \(0\), puis l’abscisse du point où cette tangente coupe l’axe des abscisses. (1 point)

Réviser avant le contrôle : calcul de dérivées et règles de dérivation

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Dérivée d’une fonction » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés dérivée d’une fonction.

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