cours maths 1ère

Probabilités : cours de maths en 1ère en PDF.


Les probabilités dans un cours de maths en 1ère où nous étudierons la loi des grands nombres et la loi de probabilités.
Dans cette leçon en première, nous aborderons également la notion d’équiprobabilité, l’espérance et l’écart-type et la variance d’une variable aléatoire.

I. Variable aléatoire et probabilités

Définition : variable aléatoire discrète.

Soit \Omega\,=\{e_1,e_2,e_3,...,e_m\} l’univers fini d’une expérience aléatoire.

Une variable aléatoire X sur \Omega est une fonction qui, à chaque issue de \Omega, associe un nombre réel.

Définition : loi de probabilité d’une variable discrète.

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs \{x_1,x_2,x_3,...,x_n\}.Si pour chaque valeur x_i, on associe la probabilité de l’événement (X=x_i), on définit la loi de probabilité X.

Remarque :

La loi de probabilité d’une variable aléatoire se présente sous forme d’un tableau.

On a P(X=x_1)+P(X=x_2)+P(X=x_3)+...+P(X=x_1)=1.

Variable aléatoire et probabilités

II. Espérance, variance et écart-type.

Définitions :

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x_1,x_2,x_3,...,x_n avec les probabilités respectives p_1,p_2,p_3,...,p_n.

  • On appelle espérance de X le nombre E(x)=p_1x_1+p_2x_2+p_3x_3+...+p_nx_n=\sum_{i=1}^{n}p_ix_i.
  • On appelle variance de X le nombre V(x)=p_1(x_1-E(X))^2+p_2(x_2-E(X))^2+p_3(x_3-E(X))^2+...+p_n(x_n-E(X))^2=\sum_{i=1}^{n}p_i(x_i-E(X))^2
  • On appelle écart-type de X le nombre \sigma\,(X)=\sqrt{V(X)}.

III. Transformation affine d’une variable aléatoire.

Définition :

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x_1,x_2,x_3,...,x_n.Pour tous réels a et b, on peut définir une autre variable aléatoire, en associant à chaque issue

donnant la valeur x_i, le nombre ax_i+b.

On note cette variable aléatoire aX+b.

Propriétés :
  • E(aX+b)=aE(x)+b.
  • V(aX)=a^2V(X).
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