Contrôle de maths 1ère : probabilités conditionnelles et arbres

Exercice 1 : Questions flash (3 points)

Calculatrice autorisée.

Pour chaque question, écris d’abord la formule utilisée, puis le calcul. Ici, \(A\) et \(B\) désignent deux événements d’un même univers.

1. On sait que \(P(A) = 0{,}4\) et \(P_A(B) = 0{,}3\). Calcule alors \(P(A \cap B)\). (1 point)
2. Cette fois, \(P(A \cap B) = 0{,}15\) et \(P(B) = 0{,}5\). Calcule donc \(P_B(A)\). (1 point)
3. Enfin, on sait que \(P_A(B) = 0{,}7\). Calcule \(P_A(\overline{B})\). (1 point)

Exercice 2 : Sport et demi-pension (4 points)

Dans un lycée, on a interrogé les 250 élèves de première. On note \(D\) l’événement « l’élève est demi-pensionnaire » et \(S\) l’événement « l’élève pratique un sport en club ». Les résultats sont donnés dans le tableau suivant.

On choisit un élève de première au hasard. Ainsi, tous les élèves ont la même probabilité d’être choisis.

1. Calcule \(P(D)\) et \(P(D \cap S)\). (1 point)
2. Déduis-en \(P_D(S)\), puis donne sa valeur arrondie au millième. Traduis ensuite ce résultat par une phrase. (1 point)
3. De même, calcule \(P_S(D)\). (1 point)
4. Détermine enfin \(P_{\overline{D}}(S)\). La pratique d’un sport en club est-elle alors plus fréquente chez les demi-pensionnaires ou chez les externes ? (1 point)

Exercice 3 : Deux machines dans un atelier (5 points)

Un atelier fabrique des bouchons de flacon sur deux machines. La machine \(M_1\) produit \(60\,\%\) des bouchons et la machine \(M_2\) le reste. Par ailleurs, \(3\,\%\) des bouchons produits par \(M_1\) sont défectueux, contre \(5\,\%\) de ceux produits par \(M_2\).

On prélève un bouchon au hasard dans la production d’une journée. On note \(M_1\) l’événement « le bouchon vient de la machine \(M_1\) » et \(M_2\) l’événement « le bouchon vient de la machine \(M_2\) ». Enfin, on note \(D\) l’événement « le bouchon est défectueux ».

1. Recopie et complète l’arbre pondéré ci-dessus. (1 point)
2. Calcule ensuite la probabilité que le bouchon vienne de \(M_1\) et soit défectueux. (1 point)
3. Montre alors que \(P(D) = 0{,}038\). (1,5 point)
4. Le bouchon prélevé est défectueux. Calcule la probabilité qu’il vienne de la machine \(M_1\). Donne d’abord la valeur exacte sous forme de fraction irréductible, puis l’arrondi au millième. (1,5 point)

Exercice 4 : Un test de dépistage (5 points)

Une maladie touche \(2\,\%\) d’une population. Un laboratoire propose un test de dépistage dont on connaît les caractéristiques suivantes :

• si une personne est malade, le test est positif dans \(95\,\%\) des cas ;
• si une personne n’est pas malade, le test est négatif dans \(90\,\%\) des cas.

On choisit une personne au hasard dans cette population, puis on lui fait passer le test. On note \(M\) l’événement « la personne est malade » et \(T\) l’événement « le test est positif ».

1. Construis un arbre pondéré représentant la situation. (1 point)
2. Montre ensuite que \(P(T) = 0{,}117\). (1,5 point)
3. Le test d’une personne est positif. Calcule alors la probabilité qu’elle soit réellement malade, arrondie au millième. (1,5 point)
4. Calcule \(P_{\overline{T}}(\overline{M})\), arrondie au millième. Puis, en comparant avec la question c), explique si ce test est plus utile pour rassurer ou pour confirmer un diagnostic. (1 point)

Exercice 5 : Les compétiteurs du club de judo (3 points)

Dans un club de judo, \(40\,\%\) des adhérents sont des juniors, les autres sont des seniors. Parmi les juniors, \(60\,\%\) participent à des compétitions. Au total, \(45\,\%\) des adhérents du club participent donc à des compétitions.

On choisit un adhérent au hasard. On note \(J\) l’événement « l’adhérent est junior » et \(C\) l’événement « l’adhérent participe à des compétitions ». Ainsi, on cherche la proportion de compétiteurs parmi les seniors.

1. Traduis les trois pourcentages de l’énoncé à l’aide des notations \(P(J)\), \(P_J(C)\) et \(P(C)\). (0,5 point)
2. On note \(x = P_{\overline{J}}(C)\). À l’aide de la formule des probabilités totales, montre alors que \(x = 0{,}35\). (1,5 point)
3. On choisit au hasard un compétiteur du club. Quelle est alors la probabilité que ce soit un junior ? Donne la fraction irréductible puis l’arrondi au millième. (1 point)

Réviser avant le contrôle : probabilités conditionnelles et arbres

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Probabilités » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés probabilités.

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