Contrôle de maths 1ère : radians, cercle trigonométrique et cosinus

Exercice 1 : Degrés, radians et longueur d’arc (4 points)

Calculatrice interdite.

1. Convertis en radians les mesures suivantes : \(30^\circ\) ; \(135^\circ\) ; \(240^\circ\) ; \(330^\circ\). (2 points)
2. Convertis ensuite en degrés les mesures suivantes : \(\frac{2\pi}{5}\) rad ; \(\frac{7\pi}{6}\) rad. (1 point)
3. Enfin, sur un cercle de rayon 6 cm, calcule la longueur exacte d’un arc intercepté par un angle au centre de \(\frac{\pi}{3}\) radian. (1 point)

Exercice 2 : Des points sur le cercle trigonométrique (4 points)

On a enroulé la droite des réels sur le cercle trigonométrique de centre \(O\), à partir du point \(I\) et dans le sens direct. Ainsi, les rayons en pointillés partagent le cercle en arcs de \(\frac{\pi}{6}\) et de \(\frac{\pi}{4}\) à partir de \(I\).

1. Pour chacun des points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) et \(E\), donne le réel de l’intervalle \(]-\pi ; \pi]\) qui lui est associé. (2,5 points)
2. Quel point de la figure est associé au réel \(\frac{13\pi}{3}\) ? Et au réel \(-\frac{5\pi}{4}\) ? Justifie alors ta réponse. (1 point)
3. Enfin, quel point est associé au réel \(2026\pi\) ? (0,5 point)

Exercice 3 : Valeurs remarquables (4 points)

Les résultats sont attendus sous forme exacte.

1. Donne les valeurs exactes de : \(\cos(\frac{\pi}{3})\) ; \(\sin(\frac{3\pi}{4})\) ; \(\cos(\frac{7\pi}{6})\) ; \(\sin(\frac{11\pi}{6})\). (2 points)
2. Donne ensuite deux réels de l’intervalle \([0 ; 2\pi]\) dont le cosinus vaut \(-\frac{1}{2}\). (1 point)
3. Détermine enfin le réel \(x\) de l’intervalle \(]-\pi ; \pi]\) tel que \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). (1 point)

Exercice 4 : Avec la relation fondamentale (4 points)

1. Soit \(x\) un réel de l’intervalle \([\frac{\pi}{2} ; \pi]\) tel que \(\sin x = \frac{3}{5}\). Calcule alors la valeur exacte de \(\cos x\). (2 points)
2. Soit \(y\) un réel de l’intervalle \([-\frac{\pi}{2} ; 0]\) tel que \(\cos y = \frac{1}{3}\). Calcule également la valeur exacte de \(\sin y\). (1,5 point)
3. Existe-t-il un réel \(t\) tel que \(\cos t = 0{,}6\) et \(\sin t = 0{,}7\) ? Justifie. (0,5 point)

Exercice 5 : La grande roue (4 points)

Une grande roue a un rayon de 20 m ; de plus, son centre \(O\) est situé à 22 m au-dessus du sol. Une nacelle \(M\) tourne sur le cercle dans le sens direct. Ainsi, sa position est repérée par l’angle \(\theta\), en radians, entre le rayon horizontal \([OI]\) et le rayon \([OM]\).

On admet que la hauteur de la nacelle au-dessus du sol, en mètres, est \(h = 22 + 20\sin\theta\). (La figure n’est pas à l’échelle.)

1. La nacelle part de \(I\) et tourne d’un angle de \(\frac{\pi}{6}\). Calcule alors la distance exacte qu’elle a parcourue sur le cercle. (1 point)
2. Partie de \(I\), la nacelle a parcouru \(15\pi\) mètres. De quel angle a-t-elle donc tourné ? Donne-le en radians puis en degrés. (1 point)
3. Calcule la hauteur exacte de la nacelle pour \(\theta = \frac{\pi}{6}\), puis pour \(\theta = \frac{5\pi}{4}\). (1,5 point)
4. Quelle est la hauteur maximale atteinte par la nacelle ? Pour quelle valeur de \(\theta\) de \([0 ; 2\pi[\) est-elle alors atteinte ? (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : radians, cercle trigonométrique et cosinus

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Angles orientés et repérage polaire » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés trigonométrie, angles orientés et repérage polaire.

Retrouve tous les contrôles de maths en 1ère classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 1ère sur ce thème

• Contrôle de maths 1ère : angles associés et fonctions cosinus et sinus

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 1rePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 1re à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗