Angles orientés et repérage polaire : cours de maths en 1ère S

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Cours sur les angles orientés et le repérage polaire en 1ère S. Nous aborderons dans cette leçon en première S, le sinus, le cosinus et la tangente avec les différentes relations trigonométriques.

I.Repérage sur le cercle trigonométrique

1.Enroulement sur la droite numérique

Définition: cercle trigonométrique.

Le cercle trigonométrique \varphi est le cercle de centre O et de rayon 1.

Il est muni d’un sens de parcours appelé sens direct, qui est l’inverse de celui des aiguilles d’une montre.

Avec ce choix, on dit que le plan est orienté.

cercle trigonométrique

Propriété :

Tout nombre réel x a un point-image unique sur le cercle \varphi.S’il existe k\in\,\mathbb{Z} tel que x'=x+2k\pi, alors x et x' ont le même point-image sur le cercle \varphi.

2.Le radian

Définition :

La mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique qu’il intercepte.

radian

Propriété :
Les mesures des angles en radian et en degré sont proportionnelles.

II.Mesures d’un angle orienté

Définition : angle orienté.

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls et les points M et N tels que \vec{OM} et \vec{ON} sont leurs représentants respectifs d’origine O. Soient M’ et N’ les points d’intersection des demi-droites [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique.

Soient x et y deux nombres réels qui ont pour points-images M’ et N’, alors y-x est une mesure en radian de l’angle orienté (\vec{u};\vec{v}).

Propriété :

mesure principale.

L’angle orienté (\vec{u};\vec{v}) a une unique mesure \alpha dans l’intervalle ]-\pi:\pi[ appelée mesure principale de l’angle.
Propriétés :
  • Relation de Chasles pour les angles : soient \vec{u},\vec{v} et \vec{w} trois vecteurs non nuls, alors (\vec{u},\vec{v})+(\vec{v},\vec{w})=(\vec{u},\vec{w}).
  • Caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs : deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires si, et seulement si, (\vec{u},\vec{v})=0[\pi] .
Propriétés :

Soient \vec{u} et \vec{v} deux vecteurs non nuls.

  • (\vec{v},\vec{u})=-(\vec{u},\vec{v});
  • (-\vec{u},-\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})
  • (-\vec{u},\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})[\pi]
  • (\vec{u},-\vec{v})=\,(\vec{u},\vec{v})[\pi]

III.Cosinus et sinus d’un réel et d’un angle orienté

1.Repérage à l’aide du cosinus et du sinus

Théorème : coordonnées d’un point du cercle trigonométrique.

soit x un nombre réel et M son point-image sur le cercle trigonométrique \varphi.Le point M a pour coordonnées (cosx;sinx).

cosx sinx

Propriétés :

Pour tout réel x et pour tout entier relatif k.

  • cos^2x+sin^2x=1 (théorème de Pythagore).
  • -1\leq\,\,cosx\leq\,\,1
  • -1\leq\,\,sinx\leq\,\,1
  • cos(x+2k\pi)=cosx
  • sin(x+2k\pi)=sinx

Les valeurs particulières :

tableau valeurs cos sin

cercle trigo

2.Les angles associés

Propriétés :

Pour tout nombre réel x :

  • cos(-x)=cosx
  • sin(-x)=-sinx
  • cos(\pi-x)=-cosx
  • sin(\pi-x)=sinx
  • cos(\pi+x)=-cosx
  • sin(\pi+x)=-sinx

cos

Propriétés :

Pour tout nombre réel x :

  • cos(\frac{\pi}{2}-x)=sinx.
  • sin(\frac{\pi}{2}-x)=cosx.
  • cos(\frac{\pi}{2}+x)=-sinx.
  • sin(\frac{\pi}{2}+x)=cosx.

sin

3.Formules de duplication

Propriétés :

On considère deux nombres réels a et b.

  • cos(a+b)=cosa\times  \,cosb-sina\times  \,sinb.
  • cos(a-b)=cosa\times  \,cosb+sina\times  \,sinb.
  • sin(a+b)=sina\times  \,cosb+cosa\times  \,sinb.
  • sin(a-b)=sina\times  \,cosb-cosa\times  \,sinb.
Propriétés :

On considère un nombre réel a.

cos(2a)=cos^2\,a-sin^2\,a\\=2cos^2\,a-1\\=1-2sin^2\,a.

sin2a=2\times  \,cosa\times  \,sina.

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