Sommaire de cette fiche
I. Repérage sur le cercle trigonométrique.
1.Enroulement sur la droite numérique.
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1.
Il est muni d’un sens de parcours appelé sens direct, qui est l’inverse de celui des aiguilles d’une montre.
Avec ce choix, on dit que le plan est orienté.
Tout nombre réel a un point-image unique sur le cercle
.S’il existe
tel que
, alors
et
ont le même point-image sur le cercle
.
2.Le radian
La mesure en radian d’un angle est égale à la longueur de l’arc du cercle trigonométrique qu’il intercepte.
II. Mesures d’un angle orienté.
Soient et
deux vecteurs non nuls et les points M et N tels que
et
sont leurs représentants respectifs d’origine O. Soient M’ et N’ les points d’intersection des demi-droites [OM) et [ON) avec le cercle trigonométrique.
Soient x et y deux nombres réels qui ont pour points-images M’ et N’, alors y-x est une mesure en radian de l’angle orienté .
- Relation de Chasles pour les angles : soient
,
et
trois vecteurs non nuls, alors
.
- Caractérisation de la colinéarité de deux vecteurs : deux vecteurs
et
sont colinéaires si, et seulement si,
.
Soient et
deux vecteurs non nuls.
;
III. Cosinus et sinus d’un réel et d’un angle orienté.
1. Repérage à l’aide du cosinus et du sinus.
soit x un nombre réel et M son point-image sur le cercle trigonométrique .Le point M a pour coordonnées
.
Pour tout réel x et pour tout entier relatif k.
(théorème de Pythagore).
Les valeurs particulières :
2. Les angles associés.
Pour tout nombre réel x :
Pour tout nombre réel x :
.
.
.
.
3. Formules de duplication.
On considère deux nombres réels a et b.
.
.
.
.
On considère un nombre réel a.
.
.
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