Contrôle de maths 1ère : équations de cercles et géométrie repérée

Exercice 1 : Écrire l’équation d’un cercle (3 points)

Calculatrice interdite.

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

1. Écris une équation du cercle \(\mathcal{C}_1\) de centre \(\Omega(2 \,;\, -1)\) et de rayon 3. (1 point)
2. Les points \(P(2 \,;\, 2)\) et \(Q(4 \,;\, 1)\) appartiennent-ils à \(\mathcal{C}_1\) ? Justifie. (1 point)
3. Écris une équation du cercle \(\mathcal{C}_2\) de centre \(A(-1 \,;\, 3)\) passant par \(B(3 \,;\, 0)\). (1 point)

Exercice 2 : Reconnaître un cercle (4 points)

Pour chacune des équations suivantes, détermine la nature de l’ensemble des points \(M(x \,;\, y)\) qui la vérifient, en précisant ses éléments caractéristiques.

1. \(x^2 + y^2 – 6x + 4y – 12 = 0\) (2 points)
2. \(x^2 + y^2 + 2x – 8y + 20 = 0\) (1 point)
3. \(x^2 + y^2 + 2x – 8y + 17 = 0\) (1 point)

Exercice 3 : Le cercle de diamètre [AB] (4 points)

On donne les points \(A(-1 \,;\, 2)\), \(B(5 \,;\, -2)\) et \(C(0 \,;\, 3)\).

1. On note \(\Gamma\) l’ensemble des points \(M(x \,;\, y)\) tels que \(\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 0\). Montre qu’une équation de \(\Gamma\) est \(x^2 + y^2 – 4x – 9 = 0\). (1,5 point)
2. Mets cette équation sous forme canonique et vérifie que \(\Gamma\) est le cercle de centre le milieu \(I\) de \([AB]\) et de rayon \(\dfrac{AB}{2}\). (1 point)
3. Montre que \(C\) appartient à \(\Gamma\) et déduis-en la nature du triangle \(ABC\). (1,5 point)

Exercice 4 : Un cercle et une droite (5 points)

On considère le cercle \(\mathcal{C}\) d’équation \((x-1)^2 + (y-2)^2 = 25\) et la droite \(d\) d’équation \(y = x + 2\).

1. Montre que les abscisses des points communs à \(\mathcal{C}\) et \(d\) sont les solutions de l’équation \(x^2 – x – 12 = 0\). (2 points)
2. Résous cette équation et donne les coordonnées des points d’intersection \(T\) et \(S\), en notant \(T\) celui d’abscisse positive. (1,5 point)
3. La droite \(d^{\prime}\) d’équation \(y = x + 10\) coupe-t-elle le cercle \(\mathcal{C}\) ? Justifie par le calcul. (1,5 point)

Exercice 5 : La tangente en un point (4 points)

On reprend le cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(\Omega(1 \,;\, 2)\) et de rayon 5, et le point \(T(4 \,;\, 6)\) trouvé à l’exercice 4.

1. La tangente \(\mathcal{T}\) à \(\mathcal{C}\) en \(T\) est la droite passant par \(T\) et perpendiculaire à \((\Omega T)\). Détermine une équation cartésienne de \(\mathcal{T}\). (2 points)
2. Détermine les coordonnées du point où \(\mathcal{T}\) coupe l’axe des abscisses. (0,5 point)
3. Vérifie que \(R(8 \,;\, 3)\) appartient à \(\mathcal{T}\), calcule \(TR\) et \(\Omega R\), puis montre que ces longueurs sont cohérentes avec le théorème de Pythagore dans le triangle \(\Omega TR\). (1,5 point)

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