I. Différentes expressions du produit scalaire :
1. Vecteurs colinéaires :
soient 
et deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que
et .
• Si et sont de même sens : .
• Si et sont de sens contraires : .
• Si ou alors .
• est le carré scalaire du vecteur
2. Vecteurs quelconques :
Soient et deux vecteurs non nuls tels que
et .
Alors :
.
A’ et B’ sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).
3. Propriétés :
Soient (x;y) et (x’;y’) les coordonnées respectives des vecteurs et dans un repère orthonormé quelconque.
.
II. Produit scalaire et orthogonalité :
Dire que et sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :
• Soit ou ;
• Soit (OA)(OB), avec et non nuls.
2. Propriété :
.
III. Propriétés du produit scalaire :
Propriétés :
Soient trois vecteurs et k un nombre réel.
• (symétrie).
• (linéarité)
• (linéarité)
• (linéarité)
• (identité remarquable)
• (identité remarquable)
• (identité remarquable)
IV. Applications du produit scalaire :
1. Produit scalaire et cosinus :
Soit et non nuls.
2. Théorème d’Al-Kashi :
Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.
On a :
3. Théorème de la médiane :
Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .
Pour tout point M, :
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