Produit scalaire : cours de maths en 1ère S à télécharger en PDF.

Sommaire de cette fiche

1 I. Différentes expressions du produit scalaire :
2 II. Produit scalaire et orthogonalité :
- 2.1 2. Propriété :
3 III. Propriétés du produit scalaire :
- 3.1 Propriétés :
4 IV. Applications du produit scalaire :

Le produit scalaire dans le plan dans un cours de maths en 1ère S où nous étudierons la définition et les différentes propriétés du produit scalaire. Dans cette leçon en première S, nous verrons la relation entre le produit scalaire et la notion d’orthogonalité. Puis, nous terminerons par des applications avec le cosinus d’un angle, le théorème d’Al-Kashi et le théorème de la médiane.

I. Différentes expressions du produit scalaire :

1. Vecteurs colinéaires :

Définition :

soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs colinéaires non nuls, tels que

$\vec{u}=\vec{OA}$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ .

• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont de même sens : $\vec{u}.\vec{v}=OA\times OB$ .

• Si $\vec{u}$ et $\vec{u}$ sont de sens contraires : $\vec{u}.\vec{v}=OA\times OB$ .

• Si $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ alors $\vec{u}.\vec{v}=0$ .

• $\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||$ est le carré scalaire du vecteur $\vec{u}$

2. Vecteurs quelconques :

Propriété 1 :

Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls tels que

$\vec{u}=\vec{OA}$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ .

Alors :

$\fbox{\vec{u}.\vec{v}=OA'\times OB=OA\times OB'}$ .

A’ et B’ sont respectivement les projetés orthogonaux de A sur (OB) et de B sur (OA).

3. Propriétés :

Propriété 2 :

Soient (x;y) et (x’;y’) les coordonnées respectives des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans un repere orthonormé quelconque.

$\fbox{\vec{u}.\vec{v}\,=\,x.x'+y.y'}$ .

II. Produit scalaire et orthogonalité :

Définition :

Dire que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs orthogonaux signifie que :

• Soit $\vec{u}=\vec{0}$ ou $\vec{v}=\vec{0}$ ;

• Soit (OA) $\perp$ (OB), avec $\vec{u}=\vec{OA}$ et $\vec{v}=\vec{OB}$ non nuls.

2. Propriété :

Propriété :

$\fbox{\vec{u}\perp\vec{v}\,\,\Longleftrightarrow\,\,\vec{u}.\vec{v}=0}$ .

III. Propriétés du produit scalaire :

Propriétés :

Soient $\vec{u}\,,\,\vec{v},\,\vec{w}$ trois vecteurs et k un nombre réel.

• $\vec{u}.\vec{v}=\vec{v}.\vec{u}$ (symétrie).

• $(k\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(k\vec{v})=k(\vec{u}.\vec{v})$ (linéarité)

• $(\vec{u}+\vec{v}).\vec{w}=\vec{u}.\vec{w}+\vec{v}.\vec{w}$ (linéarité)

• $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}$ (linéarité)

• $(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ (identité remarquable)

• $(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2$ (identité remarquable)

• $(\vec{u}-\vec{v})(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2$ (identité remarquable)

IV. Applications du produit scalaire :

1. produit scalaire et cosinus :

Propriété :

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls.

$\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times ||\vec{v}||\times cos(\vec{u},\vec{v})$

2. Théorème d’Al-Kashi :

Théorème :

Soit ABC un triangle tel que AB=c, AC=b et BC=a.

On a :

• $a^2\,=\,b^2+c^2-2bc\times cosA$

• $b^2\,=\,a^2+c^2-2ac\times cosB$

• $c^2\,=\,a^2+b^2-2ab\times cosC$

3. Théorème de la médiane :

Théorème :

Soient A et B deux points distincts et I le milieu du segment [AB] .

Pour tout point M, :

$\fbox{ MA^2\,+MB^2\,=\,2MI^2\,+\,\frac{AB^2}{2}}$

4.1/5 - (8 votes)

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «le produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S» au format PDF.

Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés.

D'autres fiches similaires à le produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à le produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème le produit scalaire dans le plan : cours de maths en 1ère S, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Mathovore c'est 2 364 819 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 181 067 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.