Contrôle de maths 1ère : suites et fonction exponentielle

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Calculatrice interdite pour cet exercice. Calculatrice autorisée pour les exercices 2 à 5.

Donne directement le résultat, sans justification.

1. \((u_n)\) est arithmétique de premier terme \(u_0 = 3\) et de raison \(4\). Calcule \(u_{10}\). (0,5 point)
2. \((v_n)\) est géométrique de premier terme \(v_0 = 5\) et de raison \(2\). Calcule \(v_3\). (0,5 point)
3. Écris \(e^{3} \times e^{-5}\) sous la forme \(e^{a}\). (0,5 point)
4. Simplifie \((e^{x})^2\). (0,5 point)
5. Résous l’équation \(e^{2x-1} = 1\). (0,5 point)
6. Donne la dérivée de la fonction \(x \mapsto e^{3x}\). (0,5 point)
7. Calcule la somme \(1 + 2 + 3 + \text{etc.} + 20\) des entiers de 1 à 20. (0,5 point)
8. Compare \(e^{0{,}5}\) et \(e^{0{,}3}\) en justifiant en quelques mots. (0,5 point)

Exercice 2 : Deux abonnements de salle de sport (4 points)

Yanis hésite entre deux formules pour sa salle de sport, sur une année (12 mois).

• Formule A : il paie \(40\) € le premier mois, puis chaque mois \(2\) € de plus que le mois précédent. On note \(a_n\) le prix payé le \(n\)-ième mois, donc \(a_1 = 40\).
• Formule B : il paie \(30\) € le premier mois, puis chaque mois le prix augmente de \(5\,\%\). On note \(b_n\) le prix payé le \(n\)-ième mois, donc \(b_1 = 30\).

1. Calcule \(a_2\) et \(a_3\). Quelle est la nature de la suite \((a_n)\) ? (0,5 point)
2. Exprime \(a_n\) en fonction de \(n\), puis calcule \(a_{12}\). (1 point)
3. Calcule le montant total payé sur 12 mois avec la formule A. (1 point)
4. Justifie que \((b_n)\) est géométrique, exprime \(b_n\) en fonction de \(n\) et calcule \(b_{12}\) arrondi au centime. (0,5 point)
5. Calcule le montant total payé sur 12 mois avec la formule B, arrondi au centime. Quelle formule est la plus économique sur un an ? (1 point)

Exercice 3 : Un algorithme de seuil (3 points)

Une commune compte \(1\,200\) habitants en 2026. On suppose que sa population augmente de \(8\,\%\) par an. On note \(p_n\) le nombre d’habitants l’année \(2026 + n\), donc \(p_0 = 1\,200\).

1. Justifie que \((p_n)\) est une suite géométrique, exprime \(p_n\) en fonction de \(n\) et donne son sens de variation. (1 point)
2. On veut savoir à partir de quelle année la population aura doublé. Recopie et complète la fonction Python suivante pour qu’elle renvoie le plus petit entier \(n\) tel que \(p_n \geq\, 2\,400\). (1 point)

   def seuil():
       n = 0
       p = 1200
       while ..........:
           n = n + 1
           p = ..........
       return n
   

3. Quelle valeur la fonction renvoie-t-elle ? Justifie en calculant deux termes de la suite, puis conclus par une année. (1 point)

Exercice 4 : Étude d’une fonction avec l’exponentielle (5 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \([-2 ; 3]\) par \(f(x) = (2 – x)e^{x}\).

1. Calcule \(f(0)\), puis étudie le signe de \(f(x)\) sur \([-2 ; 3]\). (1 point)
2. Montre que, pour tout \(x\) de \([-2 ; 3]\), \(f^{\prime}(x) = (1 – x)e^{x}\). (1,5 point)
3. Étudie le signe de \(f^{\prime}(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\) sur \([-2 ; 3]\), avec les valeurs exactes. (1 point)
4. Détermine l’équation réduite de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse 0. (1 point)
5. Déduis de la question c) que, pour tout \(x\) de \([-2 ; 3]\), \((2 – x)e^{x} \leq\, e\). (0,5 point)

Exercice 5 : Un médicament dans le sang (4 points)

On injecte à un patient \(8\) mg d’un médicament. Toutes les heures, une infirmière mesure la quantité restant dans le sang : on modélise la mesure faite au bout de \(n\) heures par \(u_n = 8e^{-0{,}5n}\) (modèle discret). Un laboratoire propose aussi un modèle continu : la quantité au bout de \(t\) heures est \(f(t) = 8e^{-0{,}5t}\), pour \(t \geq\, 0\). Le graphique ci-dessous représente les deux modèles.

1. Montre que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = e^{-0{,}5} \times u_n\). Déduis-en la nature de la suite \((u_n)\), sa raison et son premier terme. (1 point)
2. Déduis-en le sens de variation de la suite \((u_n)\). (0,5 point)
3. Calcule \(f^{\prime}(t)\) et déduis-en le sens de variation de \(f\) sur \([0 ; +\infty[\). (1 point)
4. Calcule la quantité de médicament au bout de 3 heures, arrondie au centième de mg. Pourquoi les deux modèles donnent-ils la même valeur ? (0,5 point)
5. Le médicament n’est plus actif en dessous de \(1\) mg. À l’aide de la calculatrice, détermine au bout de combien d’heures entières la mesure devient inférieure à \(1\) mg. (1 point)

Réviser avant le contrôle : suites et fonction exponentielle

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Les suites numériques » en 1ère et « La fonction exponentielle » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les suites, fonction exponentielle.

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