cours maths 1ère
La dérivée d’une fonction dans un cours de maths en 1ère où l’on  retrouvera la dérivée en un point et la signification concrète du nombre dérivée et de l’équation de la tangente en un point.
Dans cette leçon en première, nous aborderons la dérivée d’une somme, d’un produit et d’un quotient. La dérivée et le sens de variation d’une fonction, ainsi que les dérivées des fonctions usuelles.

I. Nombre dérivé – Fonction dérivée – tangente à une courbe.

Définition :

Soit f est une fonction définie sur un intervalle I. La courbe (C) ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthonormal mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..M et N sont deux points de (C) d’abscisses respectives mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.et mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.où mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

taux-accroissement Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.

M et N ont donc pour coordonnées: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.et mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., c’est à dire: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

On a donc: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. soit mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.

La droite (MN) sécante à (C) a donc pour coefficient directeur:

mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Si la courbe (C) possède en M une tangente de coefficient directeur d, alors lorsque le point N se rapproche de M, c’est à dire lorsque x tend vers a, ou, ce qui revient au même, lorsque h tend vers 0,

les sécantes (MN) vont atteindre une position limite qui est celle de la tangente(MP) en M à (C).

Ceci peut alors se traduire à l’aide des coefficients directeurs par:

mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. ,  c’est à dire :     mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

On a donc: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Si nous appelons mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., la fonction définie pour mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. par :

mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

on a :

mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., ce qui s’écrit aussi: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Réciproquement, s’il existe un réel d et une fonction mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. telle que, pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on ait: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. avec mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.,

on en déduit que: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et donc que: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Ceci nous permet donc de donner les trois définitions équivalentes:

Définition 1 :

            Si f est une fonction définie sur un intervalle mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et si mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel h proche de 0, on ait

mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.

On dit que la fonction f est dérivable en a et que mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. est le nombre dérivé de f en a.

Définition 2 :

            Si f est une fonction définie sur un intervalle I et si mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Lorsqu’il existe un nombre réel d tel que, pour tout réel mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.et proche de a, on ait:

mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.

On dit que la fonction f est dérivable en a et que mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. est le nombre dérivé de f en a.

II. Fonction dérivable sur un intervalle I. Fonction dérivée d’une fonction dérivable sur I

Définition :

On dit que f est dérivable sur un intervalle I lorsqu’elle est dérivable en tout point de I.

Lorsque f est dérivable sur un intervalle I, la fonction qui à tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. associe le nombre dérivé de f en x est appelée fonction dérivée de f sur I. Cette fonction est notée mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Interprétation graphique du nombre dérivé.

Si f est une fonction définie sur un intervalle I. Si mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.et si f est dérivable en mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., alors :La courbe représentative de f possède une tangente au point mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et le coefficient directeur de cette tangente est le nombre dérivé mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.de la fonction f en mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Remarques :

Si le graphique de f ne possède pas de tangente au point M d’abscisse mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., alors la fonction f n’est pas dérivable en a. C’est le cas de la fonction valeur absolue en mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Le graphique d’une fonction peut fort bien posséder une tangente en un point sans que la fonction soit dérivable en ce point : il suffit que le coefficient directeur de cette tangente n’existe pas (tangente parallèle à l’axe des ordonnées).

C’est le cas de la fonction racine carrée en mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

III. Équation de la tangente à une courbe

Définition :

Si fonction f est dérivable en a, la tangente (MP) à la courbe (C) en M d’abscisse mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. existe.Elle a pour coefficient directeur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Son équation est donc de la forme: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., où mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et son ordonnée à l’origine p peut être calculée.

Il suffit d’écrire que (MP) passe par mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

On a donc: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.. Ceci donne: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Donc: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.que l’on écrit souvent sous l’une des formes, plus faciles à retenir:

Equation de la tangente au point mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. :

Définition :

mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.                       ou        mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

IV.   Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction

Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:

Théorème 1 :

Soit f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

  •  Si f est croissante sur I, alors pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.
  •  Si f est décroissante sur I, alors pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..
  •  Si f est constante sur I, alors pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..
Théorème 2 :

Soit f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

  •  Si, pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., alors f est croissante sur I.
  • Si, pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., alors f est décroissante sur I.
  •  Si, pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., alors f est constante sur I.
Théorème 3 :

Soit f est une fonction dérivable sur un intervalle I.

  •  Si, pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. ( sauf peut-être en des points isolés où mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.),alors f est strictement croissante sur I.
  •  Si, pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. ( sauf peut-être en des points isolés où mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.),alors f est strictement décroissante sur I.

En particulier:

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Propriété :
  • Si, pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., alors f est strictement croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..
  • Si, pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., alors f est strictement décroissante sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Exemples :

1) Soit la fonction f définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. par mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

f est dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et  mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

· Pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., donc f est décroissante sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

· Pour toutmimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., donc f est croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Bien que mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a de façon plus précise :

· Pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., donc f est strictement décroissante sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

· Pour tout mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., donc f est strictement croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

V. Changement de signe de la dérivée et extremum d’une fonction

Nous admettrons sans démonstration les théorèmes suivants:

Théorème:

 Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I,

Et si f admet un maximum local ou un minimum local en  mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. différent des extrémités de l’intervalle I,

Alors: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

1.Cas particulier où f est dérivable sur un intervalle ouvert.

Propriété :

            Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,

Et si f admet un maximum local ou un minimum local en mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.,

Alors: mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Propriété :

            Si f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I,

et si mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et si mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. s’annule pour mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. en changeant de signe,

Alors f(a) est un extremum local de f sur I.

Exemples :

1) Soit la fonction f définie sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.par mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.. f est dérivable sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. avec mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. s’annule en mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. en changeant de signe, car :

  • pour x appartenant à mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. , on a : mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. donc f est strictement croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.
  • .
  • pour x appartenant à  mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF., on a : mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. donc f est strictement décroissante surmimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..
  • pour x appartenant à mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. , on a : mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. donc f est strictement croissante sur mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

La fonction mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. possède donc un maximum local en mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. et un minimum local en mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF..

Toute cette étude peut être résumée dans le tableau ci-dessous :

tableau-de-variation-25-1 Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.

Voici un morceau des représentations graphiques de f et de mimetex Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF. :

courbe-25-1 Dérivée d'une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.


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