Contrôle de maths 1ère : indépendance et probabilités totales

Exercice 1 : Questions flash sur l’indépendance (4 points)

Calculatrice autorisée.

\(A\), \(B\) et \(C\) sont trois événements d’un même univers tels que \(P(A) = 0{,}5\), \(P(B) = 0{,}4\), \(P(A \cap B) = 0{,}2\), \(P(C) = 0{,}3\) et \(P(A \cap C) = 0{,}1\).

1. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifie. (1 point)
2. Calcule \(P(A \cup B)\). (1 point)
3. Calcule \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\) et vérifie que ce nombre est égal à \(P(\overline{A}) \times P(\overline{B})\). (1 point)
4. Les événements \(A\) et \(C\) sont-ils indépendants ? Calcule \(P_C(A)\) et interprète la comparaison avec \(P(A)\). (1 point)

Exercice 2 : Les adhérents de la médiathèque (4 points)

Une médiathèque compte 200 adhérents. On note \(L\) l’ensemble des adhérents qui empruntent des livres et \(F\) l’ensemble de ceux qui empruntent des films. Le diagramme ci-dessous donne le nombre d’adhérents de chaque zone.

On choisit un adhérent au hasard ; tous ont la même probabilité d’être choisis.

1. Calcule \(P(L)\), \(P(F)\) et \(P(L \cap F)\). (1,5 point)
2. Décris par une phrase l’événement \(L \cap \overline{F}\), puis calcule sa probabilité. (1 point)
3. Les événements \(L\) et \(F\) sont-ils indépendants ? (1 point)
4. Sans nouveau calcul de proportion, donne \(P_F(L)\). Justifie. (0,5 point)

Exercice 3 : Fiabilité d’un montage électronique (4 points)

Un appareil contient deux composants \(C_1\) et \(C_2\) qui fonctionnent de manière indépendante. Sur une année d’utilisation, la probabilité que \(C_1\) fonctionne sans panne est \(0{,}9\) et celle que \(C_2\) fonctionne sans panne est \(0{,}8\). On étudie deux montages possibles.

Dans le montage 1 (en série), le courant passe si les deux composants fonctionnent. Dans le montage 2 (en parallèle), le courant passe si au moins un des deux composants fonctionne.

1. Calcule la probabilité que le courant passe dans le montage 1 au bout d’un an. (1 point)
2. En passant par l’événement contraire, calcule la probabilité que le courant passe dans le montage 2 au bout d’un an. (1,5 point)
3. On monte en parallèle \(n\) composants identiques et indépendants, de fiabilité \(0{,}8\) chacun. Détermine le plus petit entier \(n\) pour lequel la probabilité que le courant passe est strictement supérieure à \(0{,}99\). (1,5 point)

Exercice 4 : Randonnée et météo (5 points)

Inès prévoit chaque samedi une randonnée, mais sa décision dépend de la météo du matin. Dans sa région, un samedi matin est ensoleillé avec la probabilité \(0{,}5\), nuageux avec la probabilité \(0{,}3\), et pluvieux sinon.

• S’il fait soleil, elle part en randonnée avec la probabilité \(0{,}9\).
• S’il fait nuageux, elle part avec la probabilité \(0{,}6\).
• S’il pleut, elle part avec la probabilité \(0{,}1\).

On choisit un samedi au hasard. On note \(S\), \(N\) et \(P\) les événements « le matin est ensoleillé », « nuageux », « pluvieux », et \(R\) l’événement « Inès part en randonnée ».

1. Recopie et complète l’arbre pondéré. (1 point)
2. Montre que \(P(R) = 0{,}65\). (1,5 point)
3. Un samedi, Inès est partie en randonnée. Quelle est la probabilité que le matin ait été ensoleillé ? Donne la fraction irréductible puis l’arrondi au millième. (1,5 point)
4. Les événements \(S\) et \(R\) sont-ils indépendants ? Justifie. (1 point)

Exercice 5 : Un lancer de dé (3 points)

On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6. On considère les événements \(A\) : « le numéro obtenu est pair », \(B\) : « le numéro obtenu est inférieur ou égal à 4 » et \(C\) : « le numéro obtenu est inférieur ou égal à 3 ».

1. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? (1,5 point)
2. Les événements \(A\) et \(C\) sont-ils indépendants ? (1 point)
3. Deux événements incompatibles, de probabilités non nulles, peuvent-ils être indépendants ? Justifie. (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : indépendance et probabilités totales

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Probabilités » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés probabilités.

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