Exercices maths 1ère

Exercices sur les équations et inéquations du second degré en première S série 1

Equations et inéquations du second degré avec des exercices de maths en première S en ligne pour progresser en mathématiques au lycée.

Equations et second degré

Exercice n° 1 :

Déterminer la forme canonique des polynômes suivants :

a.  P_1(x)=3x^2-4x+6

b.  P_2(x)=0,5x^2-4x+3

c.  P_3(x)=5x^4+6x^2+1

d.  P_4(x)=4x^2-12x+9

e.  P_5(x)=x^2+ax+a \,\,(a\in\mathbb{R})

Exercice n° 2:

Résoudre les équations suivantes dans  \mathbb{R} .

a.  4x^2-7=0

b.  -9x^2+3x=0

c.  7(x-1)^2-6=0

d.  4(x-1)(2x+3)-(4x-1)(5x+2)=0

e.  4(x-2)^2=9(2x+3)^2

f.  2x^2+7x-9=0

g.  \frac{1}{2}x^2+5x+\frac{25}{2}=0

h.  (x^2-2x-3)(x^2+2x+2)=0

i.  x^4-2x^2+1=0
Exercice n° 3 :

Déterminer a et b deux réels tels que :

1.  2x^3-2x^2-x+1=(x-1)(ax^2-b)

2.  \frac{4x+23}{x+7}=a+\frac{b}{x+7}

Exercice n° 4 :

Résoudre dans  \mathbb{R} les inequations suivantes :

a.  4-3x\ge 0

b.  (2x+3)^2>9

c.  9x^2-6x+1<0

d.  x^2 \ge -2x-7

e.  x^2 \ge -2x-7

Exercice n°5 :

Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes définies par :

a.  f(x)=\frac{2x-1}{x^3+x^2-2x} .

b.  g(x)=3-\sqrt{2x^4+5x^3-3x^2} .

c.  h(x)=\sqrt{\frac{x^2-2x-15}{x^2-x-2}} .

Corrigé de cet exercice

Equations sous forme de fractions

Résoudre les équations et inéquation suivantes :

1.      \frac{5x+4}{x-1}=0 .

2.    \frac{2x^2-5x}{x+4}=x  .

3.  (4x-5)^2\geq\, (6x+1)^2 .

Corrigé de cet exercice

Résoudre inéquation complexe

Résoudre l’inéquation suivante :

\frac{(6x+8-2x^2)(3-x)}{4x^2-12x+9}\geq\, 0

Corrigé de cet exercice

Trinôme et équations du second degré

Les questions de cet exercice sont indépendantes.

1. Trouver une fonction polynôme du second degré ayant 1 et 4 comme racines.

Peut-on trouver un tel polynôme dont la courbe représentative passe par le point A(-1 ; 1 )?

Si oui, le donner.

2. Montrer que pour un réel a, l’équation x^2=ax+1 admet deux solutions réelles distinctes.

3. m est un réel.On considère l’équation (E) : (m+3)x^2+2(3m+1)x+(m+3)=0.

Pour quelles valeurs de m l’équation (E) a-t-elle une unique solution ?

Calculer alors cette solution.

Corrigé de cet exercice

Géométrie

Dans un carré de 10 cm de côté, on a colorié une bande de largeur x cm et un carré de côté x cm centré comme sur la figure ci-dessous.

1. Exprimer en fonction de x l’aire de la partie coloriée.On notera A(x) cette aire.

2. Déterminer pour quelle valeurs de x, l’aire coloriée est égale à l’aire de la partie blanche.

Géométrie et résolution d'équations

Corrigé de cet exercice

Equations et inéquations à résoudre

Résoudre les équations et inéquations suivantes :

1.          -2x^2-8x-5=0

2.         9(1-x)^2=4(2x+1)^2

3.        \frac{x}{x-1}-\frac{3x-4}{(x-1)(x-2)}=0

4.            \frac{(2x^2+x-3)(x^2+5)}{8-4x}\geq\,\,0

Corrigé de cet exercice

Trouver le périmètre d’un triangle rectangle

L’aire d’un triangle rectangle est 429 m², et l’hypoténuse a pour longueur h = 72,5 m.

 Trouver le périmètre.

Corrigé de cet exercice

Vitesses de cyclistes

Pour se rendre d’une ville A à une ville B distantes de 195 km, deux cyclistes partent en même temps.
L’un deux, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure à 4 km/h à celle de l’autre, arrive une heure plus tôt.
Quelles sont les vitesses des deux cyclistes ?

Corrigé de cet exercice

Problème et équations du second degré

1. On dispose d’une baguette de bois de 10 cm de long.
Où briser la baguette pour que les morceaux obtenus soient deux côtés consécutifs d’un rectangle de surface 20 cm² ?
2. Même question avec un rectangle d’aire 40 cm².

Corrigé de cet exercice

Résoudre des inéquations du second degré

Résoudre les inéquations suivantes :

1.                    -2x^2+7x-5\leq\, 0

2.             (x^2+2x+1)^2<16

3.            \frac{3x^2+x+1}{x^2-3x-10}>0

Corrigé de cet exercice

Changement de variable

1.  Résoudre les équations suivantes :

a. x^2=\frac{1}{2} .
b. x^2=\frac{1}{3} .
2.  Résoudre l’équation suivante : 6x^4-5x^2+1=0.
Indication : on pourra poser X=x^2.

Corrigé de cet exercice

Drapeau rectangulaire

Sur un drapeau rectangulaire de longueur 4 m et de largeur 3 m, on trouve une croix d’épaisseur x m.

 Quelle valeur doit-on donner à la largeur de la croix pour que son aire soit égale à la moitié du drapeau ?

Corrigé de cet exercice

Résoudre des équations du second degré

Résoudre dans \mathbb{R} les équations suivantes :
1.   x^2 = 9.
2.   x^2 = -3.
3.   (x - 5)^2 = 3.
4.    (2x -1)^2 + x(1 - 2x) = 4x^2 -1.
5) (3x + 5)^2 = (x + 1)^2.
6) (5x - 4)^2 - (3x + 7)^2 = 0.

Corrigé de cet exercice

Trouver trois carrés

Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des entiers consécutifs et dont la somme des aires soit égale à 15 125 ?

Si oui, préciser quelles valeurs doivent avoir les côtés.
 Même question avec 15 127.

Corrigé de cet exercice

Géométrie

Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que

AD = BE = x.
Déterminer x pour que l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC.
On donne : AB = 18 m et AC = 8 m.

Corrigé de cet exercice

Résolution d’équations et inéquations

Résoudre :

a.  7x+3-5(x+6)=4x-1

b.      2(7x-1) < 4x-3

c.   (x-1)(2-x)(x-3)(4-x)\leq\, 0

Corrigé de cet exercice

Equations et fractions

Résoudre les équations suivantes :

1. \frac{2x-5}{x-1}=\frac{x-1}{x+1}

2. \frac{x^2-x+1}{x+2}=2x+3

Corrigé de cet exercice

Prix de l’essence

On achète pour 40 € d’essence à une station service.

On s’aperçoit qu’à une autre station, le prix du litre d’essence est inférieur de 0,10 €.
On aurait pu ainsi obtenir 5 litres de plus pour le même prix.
Quel était le prix d’essence à la première station et combien de litres en avait-on pris ?
essence

Corrigé de cet exercice

Trouver deux nombres

Trouver deux nombres dont la somme est égale à 57 et le produit égal à 540.

Nombres.

Corrigé de cet exercice

Résoudre une inéquation graphiquement et par le calcul

Résoudre l’inéquation suivante :

 -x^2 + 9x + 22 > 0.
Inéquations.

Corrigé de cet exercice

Résoudre les équations suivantes :

 1)4x^2 - x - 3 = 0.
2) (t + 1)^2 + 3 = 0.
 3) 2(2x + 1)^2 -(2x + 1)- 6 = 0.
4) x^2 + 10^{50} + 25\times 10^{98 }= 0.

Corrigé de cet exercice

Racines et fonctions du second degré

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=-x^2+6x-8.

1. Déterminer les éventuelles racines de f et en déduire, si possible, une factorisation de f(x).

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de f avec les axes du repère.

3. Soit g la fonction définie sur \mathbb{R} par g(x)=-x+3.

Etudier la position relative des courbes de f et g.

Corrigé de cet exercice

 Etude d’un trinôme

On donne le trinôme du second degré P défini par :

P(x)=4x^2-(\sqrt{6}+4\sqrt{3})x+\sqrt{18}

1. Montrer que P admet  \frac{\sqrt{6}}{4} pour racine.

2. Trouver l’autre racine (en valeur exacte).

Corrigé de cet exercice

Equations du second degré

Résoudre les équations suivantes :

a)   x^2=9

b) x^2 = - 3

c) (x-5)^2 =3

d)(3x+5)^2=(x+1)^2

e)(5x-4)^2-(3x+7)^2=0

Corrigé de cet exercice

Géométrie

Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB]  tels que AD=BE=x.

Déterminer x pour que l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC.

Données :  AB= 18 m et  AC = 8 m.

Géométrie et second degré


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