Cette fiche rassemble 48 exercices de maths de première consacrés au second degré. De plus, les premiers exercices font travailler la forme canonique, la factorisation par les identités remarquables et la résolution d’équations produits ou quotients. Viennent ensuite le calcul du discriminant \(\Delta\), la recherche des racines d’un trinôme, l’usage de la somme et du produit des racines, puis l’étude du signe d’un trinôme pour résoudre des inéquations, parfois sous forme de quotient.
Plusieurs problèmes concrets demandent de mettre une situation en équation : aire d’un cadre ou d’un triangle, vitesses de deux cyclistes, prix de l’essence, baguette à briser, drapeau et sa croix. D’autres exercices reposent sur la lecture d’une parabole : sommet, axe de symétrie, signe de \(a\) et de \(\Delta\), coefficients retrouvés à partir de trois points.
Cherche chaque question au brouillon en justifiant tes calculs, puis compare ta démarche avec le corrigé détaillé des exercices sur le second degré. Ensuite, la fiche peut aussi être téléchargée en PDF pour être imprimée.
L’essentiel : Pour s’entraîner sur « Les équations et inéquations du second degré » en Première, la fiche propose 43 exercices progressifs : equations sous forme de fractions, résoudre inéquation complexe et trinôme et équations du second degré. Le corrigé détaillé est sur une page séparée ; fiche gratuite à imprimer en PDF.
Exercice n° 1 (second degré exercices)
Déterminer la forme canonique des polynômes suivants :
a. \(P_1(x)=3x^2-4x+6\)
b. \(P_2(x)=0{,}5x^2-4x+3\)
c. \(P_3(x)=5x^4+6x^2+1\)
d. \(P_4(x)=4x^2-12x+9\)
e. \(P_5(x)=x^2+ax+a \,\,(a\in\mathbb{R})\)
Exercice n° 2 (second degré exercices)
Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{R}\) .
a. \(4x^2-7=0\)
b. \(-9x^2+3x=0\)
c. \(7(x-1)^2-6=0\)
d. \(4(x-1)(2x+3)-(4x-1)(5x+2)=0\)
e. \(4(x-2)^2=9(2x+3)^2\)
f. \(2x^2+7x-9=0\)
g. \(\frac{1}{2}x^2+5x+\frac{25}{2}=0\)
h. \((x^2-2x-3)(x^2+2x+2)=0\)
i. \(x^4-2x^2+1=0\)
Exercice n° 3 (second degré exercices)
Déterminer a et b deux réels tels que :
1. \(2x^3-2x^2-x+1=(x-1)(ax^2-b)\)
2. \(\frac{4x+23}{x+7}=a+\frac{b}{x+7}\)
Exercice n° 4 (second degré exercices)
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inequations suivantes :
a. \(4-3x\ge 0\)
b. \((2x+3)^2\gt 9\)
c. \(9x^2-6x+1\lt 0\)
d. \(x^2 \ge -2x-7\)
e. \(x^2 \ge -2x-7\)
Exercice n°5 (second degré exercices)
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes définies par :
a. \(f(x)=\frac{2x-1}{x^3+x^2-2x}\) .
b. \(g(x)=3-\sqrt{2x^4+5x^3-3x^2}\) .
c. \(h(x)=\sqrt{\frac{x^2-2x-15}{x^2-x-2}}\).
Exercice 6 – Equations sous forme de fractions (second degré exercices)
Résoudre les équations et inéquation suivantes :
1. \(\frac{5x+4}{x-1}=0\) .
2. \(\frac{2x^2-5x}{x+4}=x\) .
3. \((4x-5)^2\geq\,\,\, (6x+1)^2\) .
Exercice 7 – Résoudre inéquation complexe (second degré exercices)
Résoudre l’inéquation suivante :
\(\frac{(6x+8-2x^2)(3-x)}{4x^2-12x+9}\geq\,\,\, 0\)
Exercice 8 – Trinôme et équations du second degré (second degré exercices)
Les questions de cet exercice sont indépendantes.
1. De plus, trouver une fonction polynôme du second degré ayant 1 et 4 comme racines.
Peut-on trouver un tel polynôme dont la courbe représentative passe par le point A(-1 ; 1 )?
Si oui, le donner.
2. Ensuite, montrer que pour un réel \(a\), l’équation \(x^2=ax+1\) admet deux solutions réelles distinctes.
3. \(m\) est un réel.On considère l’équation (E) : \((m+3)x^2+2(3m+1)x+(m+3)=0\).
Pour quelles valeurs de \(m\) l’équation (E) a-t-elle une unique solution ?
Calculer alors cette solution.
Exercice 9 – Géométrie (second degré exercices)
Dans un carré de 10 cm de côté, on a colorié une bande de largeur x cm et un carré de côté x cm centré comme sur la figure ci-dessous.
1. Par ailleurs, exprimer en fonction de x l’aire de la partie coloriée.On notera A(x) cette aire.
2. Puis déterminer pour quelle valeurs de x, l’aire coloriée est égale à l’aire de la partie blanche.
Exercice 10 – Equations et inéquations à résoudre (second degré exercices)
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
1. \(-2x^2-8x-5=0\)
2. \(9(1-x)^2=4(2x+1)^2\)
3. \(\frac{x}{x-1}-\frac{3x-4}{(x-1)(x-2)}=0\)
4. \(\frac{(2x^2+x-3)(x^2+5)}{8-4x}\geq\, 0\)
Exercice 11 – Trouver le périmètre d’un triangle rectangle (second degré exercices)
L’aire d’un triangle rectangle est 429 m², et l’hypoténuse a pour longueur h = 72,5 m.
Ensuite, trouver le périmètre.
Exercice 12 – Vitesses de cyclistes (second degré exercices)
Pour se rendre d’une ville A à une ville B distantes de 195 km, deux cyclistes partent en même temps.
Puis L’un d’eux, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure de 4 km/h à celle de l’autre, arrive une heure plus tôt.
Quelles sont les vitesses des deux cyclistes ?
Exercice 13 – Problème et équations du second degré (second degré exercices)
1. De plus, on dispose d’une baguette de bois de 10 cm de long.
Où briser la baguette pour que les morceaux obtenus soient deux côtés consécutifs d’un rectangle de surface 20 cm² ?
2. Même question avec un rectangle d’aire 40 cm².
Exercice 14 – Résoudre des inéquations du second degré (second degré exercices)
Résoudre les inéquations suivantes :
1. \(-2x^2+7x-5\leq\,\,\, 0\)
2. \((x^2+2x+1)^2\lt 16\)
3. \(\frac{3x^2+x+1}{x^2-3x-10}\gt 0\)
Exercice 15 – Changement de variable (second degré exercices)
1. Ensuite, résoudre les équations suivantes :
a. \(x^2=\frac{1}{2}\) .
b. \(x^2=\frac{1}{3}\) .
2. Par ailleurs, résoudre l’équation suivante : \(6x^4-5x^2+1=0\).
Indication : on pourra poser \(X=x^2.\)
Exercice 16 – Drapeau rectangulaire (second degré exercices)
Sur un drapeau rectangulaire de longueur 4 m et de largeur 3 m, on trouve une croix d’épaisseur x m.
Quelle valeur doit-on donner à la largeur de la croix pour que son aire soit égale à la moitié du drapeau ?
Exercice 17 – Résoudre des équations du second degré
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
1. \(x^2 = 9.\)
2. \(x^2 = -3\).
3. \((x – 5)^2 = 3\).
4. \((2x -1)^2 + x(1 – 2x) = 4x^2 -1\).
5) \((3x + 5)^2 = (x + 1)^2\).
6) \((5x – 4)^2 – (3x + 7)^2 = 0.\)
Exercice 18 – Trouver trois carrés
Peut-on trouver trois carrés ayant pour côtés des entiers consécutifs et dont la somme des aires soit égale à 15 125 ?
Si oui, préciser quelles valeurs doivent avoir les côtés.
Même question avec 15 127.
Exercice 19 – Géométrie
Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que
AD = BE = x.
Déterminer x pour que l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC.
On donne : AB = 18 m et AC = 8 m.
Exercice 20 – Résolution d’équations et inéquations
Résoudre :
a. \(7x+3-5(x+6)=4x-1\)
b. \(2(7x-1) \lt 4x-3\)
c. \((x-1)(2-x)(x-3)(4-x)\leq\,\,\, 0\)
Exercice 21 – Equations et fractions
Résoudre les équations suivantes :
1. \(\frac{2x-5}{x-1}=\frac{x-1}{x+1}\)
2. \(\frac{x^2-x+1}{x+2}=2x+3\)
Exercice 22 – Prix de l’essence
On achète pour 40 € d’essence à une station service.
Puis on s’aperçoit qu’à une autre station, le prix du litre d’essence est inférieur de 0,10 €.
Ensuite, on aurait pu ainsi obtenir 5 litres de plus pour le même prix.
Quel était le prix d’essence à la première station et combien de litres en avait-on pris ?
Exercice 23 – Trouver deux nombres
Trouver deux nombres dont la somme est égale à 57 et le produit égal à 540.
Exercice 24 – Résoudre une inéquation graphiquement et par le calcul
Résoudre l’inéquation suivante :
\(-x^2 + 9x + 22 \gt 0.\)
Résoudre les équations suivantes :
1)\(4x^2 – x – 3 = 0.\)
2) \((t + 1)^2 + 3 = 0.\)
3) \(2(2x + 1)^2 -(2x + 1)- 6 = 0.\)
4) \(x^2 + 10^{50} + 25\times 10^{98 }= 0\).
Exercice 25 – Racines et fonctions du second degré
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-x^2+6x-8\).
1. Puis déterminer les éventuelles racines de \(f\) et en déduire, si possible, une factorisation de \(f(x)\).
2. De plus, déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de \(f\) avec les axes du repère.
3. Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=-x+3\).
Etudier la position relative des courbes de \(f\) et \(g\).
Exercice 26 – Etude d’un trinôme
On donne le trinôme du second degré P défini par :
\(P(x)=4x^2-(\sqrt{6}+4\sqrt{3})x+\sqrt{18}\)
1. Ensuite, montrer que P admet \(\frac{\sqrt{6}}{4}\) pour racine.
2. Par ailleurs, trouver l’autre racine (en valeur exacte).
Exercice 27 – Equations du second degré
Résoudre les équations suivantes :
a) \(x^2=9\)
b) \(x^2 = – 3\)
c) \((x-5)^2 =3\)
d) \((3x+5)^2=(x+1)^2\)
e) \((5x-4)^2-(3x+7)^2=0\)
Exercice 28 – Géométrie
Dans un triangle ABC rectangle en A, on place les points D et E respectivement sur [AC] et [AB] tels que AD=BE=x.
Déterminer x pour que l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC.
Données : AB= 18 m et AC = 8 m.
Exercice 29 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.
1) a) \(2x^2+x+3=0\)
b) \(9x^2+6x+1=0\)
c) \(x^2-x-2=0\)
2) Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=6x^2-21x+9\).
Déterminer le nombre de solutions réelles de l’équation f(x)=0.
Exercice 30 :
Déterminer la ou les éventuelles racines des fonctions suivantes.
1) a) \(f(x)=-x^2+2x-3\).
b) \(g(x)=x^2+x+\frac{1}{4}\).
c) \(h(x)=2x^2+2x-12\).
2) Déterminer toutes les solutions réelles des équations suivantes.
a) \(4x^2-5x+10=0\).
b) \(3x^2-3x-60=0\).
c) \(72x^2-24x+2=0\).
Exercice 31 :
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-7x^2-\frac{49}{2}x+14\).
- Déterminer le nombre de racines de la fonction f, en justifiant.
- Vérifier que – 4 est une racine de f.
- En utilisant la somme ou le produit des racines, déterminer la valeur de l’autre racine.
Exercice 32 :
Pour chaque fonction ci-dessous, déterminer si c’est une fonction polynôme de degré 2.
a) \(f(x)=x^2+2x-\sqrt{2}\).
b) \(g(x)=x^2+\frac{1}{x}-1\).
c) \(h(x)=2x+1\)
Exercice 33 :
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=-3x^2+24x-41\).
1) Développer l’expression \(-3(x-4)^2+7\).
2) En déduire la forme canonique de f.
Exercice 34 :
Déterminer la forme canonique des fonctions suivantes.
a) \(f(x)=x^2-6x+5\).
b) \(f(x)=x^2+5x+4\).
Exercice 35 :
Pour chaque fonction représentée ci-dessous,
déterminer les coordonnées du sommet, l’axe de symétrie et le signe de \(a\).
Exercice 36 :
Pour chaque équation de parabole donnée ci-dessous,
déterminer son axe de symétrie et les coordonnées du sommet.
a) \(y=x^2+x+1\).
b) \(y=2x^2-4x+5\).
c) \(y=x^2+6x-3\).
d) \(y=-4x^2+6x-2\).
Exercice 37 :
Factoriser les expressions suivantes, en utilisant des identités remarquables.
a) \(f(x)=x^2-121\).
b) \(f(x)=x^2-3\).
c) \(f(x)=25x^2-20x+4\).
d) \(f(x)=9x^2+24x+16\).
Exercice 38 :
Pour chaque trinôme ci-dessous, calculer le discriminant \(\Delta\).
a) \(x^2+4x+5\).
b) \(2x^2-x-6\).
c) \(-2x^2-4x-7\).
d) \(-x^2+2x+3\).
Exercice 39 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.
a) \(3x^2-9x-12=0\).
b) \(2x^2+5x+7=0\).
c) \(2x^2-2x+\frac{1}{2}=0\).
Exercice 40 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes sans utiliser le discriminant.
a) \(x^2-2x\gt 0\).
b) \(x^2-81\leq\, 0\).
c) \((x-1{,}5)(x+2{,}8)\gt 0\).
d) \(x^2+20\lt 0\).
Exercice 41 :
Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie sur \(\mathbb{R}\) par
\(f(x) = ax^2 + bx + c\), avec \(a\neq 0\).
La courbe représentative de f est donnée ci-dessous.
1. À l’aide des coordonnées du point A, déterminer la valeur de c.
2. À l’aide des coordonnées des points B et C, déterminer la valeur
des coefficients a et b.
3. Puis en déduire l’expression de f(x) en fonction de x.
Exercice 42 :
Pour chaque trinôme ci-dessous, calculer le discriminant \(\Delta\).
a) \(x^2+4x+5\)
b) \(2x^2-x-6\)
c) \(-2x^2-4x-7\)
d) \(-x^2+2x+3\)
Exercice 43 :
Déterminer le nombre de solutions réelles de chaque équation ci-dessous.
a) \(x^2+3x+2=0\)
b) \(2x^2-5x+7=0\)
c) \(-\frac{1}{3}x^2+2x-3=0\)
d) \(2x^2+7x+11=0\)
Exercice 44 :
Pour chaque trinôme représenté graphiquement ci-dessous, déterminer le signe de \(\Delta\).
Exercice 45 :
Dresser le tableau de signes de chaque fonction définie ci-dessous.
a) \(f(x)=2x^2-4x-16\)
b) \(g(x)=9x^2+24x+16\)
c) \(h(x)=2x^2-5x+6\)
Exercice 46 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes sans utiliser le discriminant.
a) \(x^2-2x\gt 0\)
b) \(x^2-81\leq\, 0\)
c) \((x-1{,}5)(x+2{,}8)\gt 0\)
d) \(x^2+20\lt 0\)
Exercice 47 :
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes.
a) \(3x^2-4x+\frac{4}{3}\leq\, 0\)
b) \(5x^2-50{,}5x+5\lt 0\)
c) \(x^2+x+1\gt 0\)
d) \(-2x^2+3x-6\lt 0\)
Déterminer l’ensemble des solutions réelles des inéquations suivantes.
a) \(-6x^2+15x-4\leq\, 2\)
b) \(-7x^2+4x-9\gt -8\)
Exercice 48 :
Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)\,=x^2-6x-\,27\).
1. Ensuite, déterminer la forme canonique de f, en utilisant les identités remarquables.
2. Également, déterminer la forme factorisée de f, en utilisant les identités remarquables.
3. Puis en utilisant la forme adaptée, résoudre :
a) \(f(x)=0\) ; b) \(f(x)=-27\) ; c) \(f(x)=-36\).
4. Soit g la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)\,=\,2x^2-\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}\).
a) Ensuite, vérifier que 1 est racine de g.
b) En utilisant la somme ou le produit des racines déterminer la valeur de l’autre racine de g.
5. De plus, résoudre \(f(x)\lt g(x)\).
Second degré exercices : nos conseils pour progresser
Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, second degré exercices en première demande surtout de la régularité.
Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Équation du second degré sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec géométrie dans l’espace : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
