Corrigé Calédonie 2023 : ce que contient la correction
D’abord, précisons que ce corrigé Calédonie 2023 concerne l’épreuve de spécialité mathématiques 2023 en Nouvelle-Calédonie (jour 1), avec une rédaction complète des réponses. En effet, l’épreuve se compose de 4 exercices indépendants. De plus, on y mobilise surtout la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle, les probabilités conditionnelles et la dérivation. Enfin, l’épreuve officielle dure 4 heures : comptez donc environ 60 minutes par exercice, relecture comprise. Ainsi, chaque étape de calcul reste visible, ce qui permet de repérer précisément l’endroit où un raisonnement a dévié.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Partie A
1. L’énoncé donne \(P(V)=0{,}6\), donc \(P(\overline{V})=0{,}4\), et \(P_V(L)=0{,}2\), donc \(P_V(\overline{L})=0{,}8\). La probabilité \(P_{\overline{V}}(L)\) n’est pas connue au départ : notons-la \(x\) ; on trouvera \(x=0{,}75\) à la question 4. L’arbre pondéré complet est :
- branche \(V\) : \(0{,}6\), puis de \(V\) vers \(L\) : \(0{,}2\) et de \(V\) vers \(\overline{L}\) : \(0{,}8\) ;
- branche \(\overline{V}\) : \(0{,}4\), puis de \(\overline{V}\) vers \(L\) : \(x=0{,}75\) et de \(\overline{V}\) vers \(\overline{L}\) : \(1-x=0{,}25\).
La donnée « 42 % des clients prennent l’option PILOTE » ne se place pas sur une branche : c’est la probabilité totale \(P(L)=0{,}42\).
2. On suit le chemin \(V\) puis \(\overline{L}\) : \(P(V\cap\overline{L})=P(V)\times P_V(\overline{L})=0{,}6\times 0{,}8\), donc \(P(V\cap\overline{L})=0{,}48\).
3. Les évènements \(V\) et \(\overline{V}\) forment une partition de l’univers. D’après la formule des probabilités totales, \(P(L)=P(V\cap L)+P(\overline{V}\cap L)\). Or \(P(V\cap L)=0{,}6\times 0{,}2=0{,}12\) et \(P(L)=0{,}42\), donc \(P(\overline{V}\cap L)=0{,}42-0{,}12\), soit \(P(\overline{V}\cap L)=0{,}30\). Choisir un bateau à moteur, c’est réaliser \(\overline{V}\) : c’est bien la probabilité demandée.
4. Par définition d’une probabilité conditionnelle : \(P_{\overline{V}}(L)=\dfrac{P(\overline{V}\cap L)}{P(\overline{V})}=\dfrac{0{,}30}{0{,}4}\), donc \(P_{\overline{V}}(L)=0{,}75\). Trois clients sur quatre qui louent un bateau à moteur prennent un pilote.
5. On cherche \(P_L(V)=\dfrac{P(V\cap L)}{P(L)}=\dfrac{0{,}12}{0{,}42}=\dfrac{2}{7}\), soit \(P_L(V)\approx0{,}29\).
Partie B
1. L’énoncé donne \(P_L(A)=0{,}005\) et \(P_{\overline{L}}(A)=0{,}12\), avec \(P(L)=0{,}42\) et \(P(\overline{L})=0{,}58\). Donc \(P(L\cap A)=P(L)\times P_L(A)=0{,}42\times 0{,}005\), soit \(P(L\cap A)=0{,}0021\), et \(P(\overline{L}\cap A)=P(\overline{L})\times P_{\overline{L}}(A)=0{,}58\times 0{,}12\), soit \(P(\overline{L}\cap A)=0{,}0696\).
2. Par la formule des probabilités totales (partition \(L\), \(\overline{L}\)) : \(P(A)=0{,}0021+0{,}0696=0{,}0717\). Sur 1 000 bateaux loués, le nombre moyen d’avaries est \(1\,000\times 0{,}0717=71{,}7\). L’entreprise peut donc s’attendre à environ 72 avaries.
Partie C
1. \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n=40\) et \(p=0{,}42\).
2. On cherche \(P(X\geq\,15)=1-P(X\leq\,14)\). La calculatrice donne \(P(X\leq\,14)\approx0{,}2321\), donc \(P(X\geq\,15)\approx0{,}768\).
Exercice 2 :
1. a. Avec \(n=0\) : \(u_1=5u_0-4\times 0-3=15-0-3\), donc \(u_1=12\).
b. Avec \(n=1\) : \(u_2=5u_1-4\times 1-3=60-4-3\), donc \(u_2=53\).
c. La calculatrice donne \(u_3=254\), \(u_4=1\,255\), \(u_5=6\,256\)… Les termes augmentent de plus en plus vite : on conjecture que la suite \((u_n)\) est croissante et tend vers \(+\infty\).
2. a. Notons \(P(n)\) la propriété « \(u_n\geq\, n+1\) ».
Initialisation. \(u_0=3\) et \(0+1=1\) : on a bien \(3\geq\,1\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n\geq\, n+1\). En multipliant par 5 (positif) : \(5u_n\geq\,5n+5\). En retranchant \(4n+3\) : \(5u_n-4n-3\geq\,5n+5-4n-3\), c’est-à-dire \(u_{n+1}\geq\, n+2=(n+1)+1\). Donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc, par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\geq\, n+1\).
b. On a \(\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)=+\infty\) et \(u_n\geq\, n+1\) pour tout \(n\). D’après le théorème de comparaison, \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=+\infty\).
3. a. Pour tout entier naturel \(n\) :
\[v_{n+1}=u_{n+1}-(n+1)-1=5u_n-4n-3-n-2=5u_n-5n-5=5(u_n-n-1)=5v_n.\]
Donc \((v_n)\) est géométrique de raison 5, et son premier terme est \(v_0=u_0-0-1=2\).
b. D’après le cours, pour tout entier naturel \(n\), \(v_n=v_0\times 5^n=2\times 5^n\).
c. De \(v_n=u_n-n-1\), on tire \(u_n=v_n+n+1\), donc \(u_n=2\times 5^n+n+1\) pour tout entier naturel \(n\).
d. Pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}-u_n=2\times 5^{n+1}+(n+2)-2\times 5^n-(n+1)=2\times 5^n(5-1)+1=8\times 5^n+1\). Ce nombre est strictement positif, donc la suite \((u_n)\) est strictement croissante, ce qui confirme la conjecture.
Exercice 2 du corrigé Calédonie 2023 : question 4
4. a. La boucle doit tourner tant que le seuil n’est pas atteint, c’est-à-dire tant que \(u\lt10^7\). Dans la boucle, u doit recevoir le terme suivant, calculé avec la valeur de n avant son incrémentation (c’est bien l’ordre des instructions du programme) :
def suite() :
u = 3
n = 0
while u < 10**7 :
u = 5*u - 4*n - 3
n = n + 1
return n
b. D’après la formule \(u_n=2\times 5^n+n+1\) : \(u_9=2\times 1\,953\,125+10=3\,906\,260\lt10^7\) et \(u_{10}=2\times 9\,765\,625+11=19\,531\,261\geq\,10^7\). La suite étant croissante, le plus petit rang cherché est 10 : la fonction renvoie 10.
Exercice 3 :
1. Réponse a. Il suffit de dériver chaque proposition. Pour \(F(x)=1+x\text{e}^x\), la dérivée du produit \(x\text{e}^x\) est \(1\times \text{e}^x+x\text{e}^x\), donc \(F^{\prime}(x)=(1+x)\text{e}^x=f(x)\). (Pour b, on trouverait \((2+x)\text{e}^x\), pour c, \((3+x)\text{e}^x\) : ce ne sont pas des primitives de \(f\).)
2. Réponse a. Les vecteurs directeurs \(\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{u_2}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires (premières coordonnées opposées, deuxièmes égales), donc les droites ne sont ni parallèles ni confondues. On cherche un point commun : \(2+r=1-s\) et \(1+r=-1+s\) donnent \(r+s=-1\) et \(r-s=-2\), d’où \(r=-\dfrac32\) et \(s=\dfrac12\). La troisième équation, \(-r=2-s\), donne \(\dfrac32=\dfrac32\) : elle est vérifiée. Les droites sont sécantes, au point \((\dfrac12\,;\,-\dfrac12\,;\,\dfrac32)\).
3. Réponse b. Un vecteur normal à \((P)\) est \(\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}\) et un vecteur directeur de \((\Delta)\) est \(\vec{w}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}\). Comme \(\vec{n}\cdot\vec{w}=2-1-1=0\), la droite est parallèle au plan (ou incluse dedans). Le point \((2\,;\,4\,;\,1)\) de \((\Delta)\) vérifie \(2\times 2-4+1-1=0\) : il est dans \((P)\). Donc \((\Delta)\) est incluse dans \((P)\).
4. Réponse c. Les vecteurs normaux \(\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}\) et \(\vec{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}\) ne sont pas colinéaires (la troisième coordonnée est la même mais pas la première), donc les plans sont sécants. De plus \(\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=2-2+1=1\neq0\) : les plans ne sont pas perpendiculaires. Ils sont sécants et non perpendiculaires.
5. Réponse d. On a \(\vec{\text{EF}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{EG}}\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}\), donc \(\text{EF}=\sqrt{1+4+4}=3\), \(\text{EG}=\sqrt{9+0+16}=5\) et \(\vec{\text{EF}}\cdot\vec{\text{EG}}=-3+0+8=5\). Comme \(\vec{\text{EF}}\cdot\vec{\text{EG}}=\text{EF}\times \text{EG}\times \cos\alpha\), on obtient \(\cos\alpha=\dfrac{5}{15}=\dfrac13\), d’où \(\alpha\approx70{,}5^\circ\approx71^\circ\).
Exercice 4 :
1. a. On a \(\lim\limits_{x\to0}(5x^2+2x)=0\) et, par croissances comparées, \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x\gt0}}x^2\ln(x)=0\). Par somme, \(\lim\limits_{\substack{x\to0\\x\gt0}}f(x)=0\).
b. En \(+\infty\), on a une forme indéterminée « \(+\infty-\infty\) ». On factorise par \(x^2\) : \(f(x)=x^2(5+\dfrac2x-2\ln(x))\). Or \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac2x=0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty\), donc la parenthèse tend vers \(-\infty\), et \(x^2\) tend vers \(+\infty\). Par produit, \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty\).
2. La dérivée de \(x^2\ln(x)\) s’obtient avec la formule \((uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\) : \(2x\ln(x)+x^2\times \dfrac1x=2x\ln(x)+x\). Donc \(f^{\prime}(x)=10x+2-2(2x\ln(x)+x)=10x+2-4x\ln(x)-2x\), soit \(f^{\prime}(x)=8x+2-4x\ln(x)\).
3. a. On dérive \(f^{\prime}\) : la dérivée de \(4x\ln(x)\) est \(4\ln(x)+4x\times \dfrac1x=4\ln(x)+4\). Donc \(f^{\prime\prime}(x)=8-4\ln(x)-4=4-4\ln(x)\), soit \(f^{\prime\prime}(x)=4(1-\ln(x))\).
b. La courbe est au-dessus de ses tangentes sur les intervalles où \(f\) est convexe, c’est-à-dire où \(f^{\prime\prime}(x)\geq\,0\). Or \(4(1-\ln(x))\geq\,0\iff\ln(x)\leq\,1\iff x\leq\,\text{e}\) (la fonction \(\ln\) est strictement croissante). Le plus grand intervalle cherché est \(]0\,;\,\text{e}]\).
c. D’après la question précédente, \(f^{\prime\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,\text{e}[\) et \(f^{\prime\prime}(x)\lt0\) sur \(]\text{e}\,;\,+\infty[\) : \(f^{\prime}\) est croissante puis décroissante, avec un maximum \(f^{\prime}(\text{e})=8\text{e}+2-4\text{e}\ln(\text{e})=4\text{e}+2\approx12{,}87\).
| \(x\) | 0 | \(\text{e}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime\prime}(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| variations de \(f^{\prime}\) | 2 | ↗ | \(4\text{e}+2\) | ↘ | \(-\infty\) |
4. a. Sur \(]0\,;\,\text{e}]\) : \(f^{\prime}\) est strictement croissante et sa limite en 0 vaut 2, donc \(f^{\prime}(x)\gt2\gt0\) : l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) n’a pas de solution sur cet intervalle.
Sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\) : \(f^{\prime}\) est continue (car dérivable), strictement décroissante, avec \(f^{\prime}(\text{e})=4\text{e}+2\gt0\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f^{\prime}(x)=-\infty\). Comme 0 est compris entre ces deux valeurs, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure que l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) a une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.
Au total, l’équation \(f^{\prime}(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \(]0\,;\,+\infty[\). À la calculatrice, \(f^{\prime}(7{,}87)\approx0{,}015\gt0\) et \(f^{\prime}(7{,}88)\approx-0{,}028\lt0\), donc \(7{,}87\lt\alpha\lt7{,}88\).
Exercice 4 du corrigé Calédonie 2023 : question 5
b. D’après ce qui précède, \(f^{\prime}(x)\gt0\) sur \(]0\,;\,\alpha[\), \(f^{\prime}(\alpha)=0\) et \(f^{\prime}(x)\lt0\) sur \(]\alpha\,;\,+\infty[\) (car \(f^{\prime}\) décroît après \(\alpha\) sur \([\text{e}\,;\,+\infty[\)). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(]0\,;\,\alpha]\) et strictement décroissante sur \([\alpha\,;\,+\infty[\) :
| \(x\) | 0 | \(\alpha\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| signe de \(f^{\prime}(x)\) | \(+\) | 0 | \(-\) | ||
| variations de \(f\) | 0 | ↗ | \(f(\alpha)\) | ↘ | \(-\infty\) |
5. a. On a \(f^{\prime}(\alpha)=0\), c’est-à-dire \(8\alpha+2-4\alpha\ln(\alpha)=0\), donc \(4\alpha\ln(\alpha)=8\alpha+2\). Comme \(\alpha\neq0\), on divise par \(4\alpha\) : \(\ln(\alpha)=\dfrac{8\alpha+2}{4\alpha}\), puis en simplifiant par 2, \(\ln(\alpha)=\dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}\).
On remplace alors \(\ln(\alpha)\) dans l’expression de \(f(\alpha)\) :
\[f(\alpha)=5\alpha^2+2\alpha-2\alpha^2\times \dfrac{4\alpha+1}{2\alpha}=5\alpha^2+2\alpha-\alpha(4\alpha+1)=5\alpha^2+2\alpha-4\alpha^2-\alpha.\]
Donc \(f(\alpha)=\alpha^2+\alpha\).
b. D’après le tableau de variations, le maximum de \(f\) est \(f(\alpha)=\alpha^2+\alpha\). La fonction \(x\mapsto x^2+x\) est croissante sur \(]0\,;\,+\infty[\). L’encadrement \(7{,}87\lt\alpha\lt7{,}88\) donne \(69{,}806\lt f(\alpha)\lt69{,}975\), d’amplitude un peu supérieure à \(10^{-1}\). On l’affine à la calculatrice : \(f^{\prime}(7{,}873)\approx0{,}002\gt0\) et \(f^{\prime}(7{,}874)\approx-0{,}002\lt0\), donc \(7{,}873\lt\alpha\lt7{,}874\), d’où \(7{,}873^2+7{,}873\lt f(\alpha)\lt7{,}874^2+7{,}874\), soit \(69{,}857\lt f(\alpha)\lt69{,}874\).
On obtient ainsi l’encadrement d’amplitude \(10^{-1}\) : \(69{,}8\lt\max f\lt69{,}9\) (le maximum vaut environ 69,87).
Corrigé Calédonie 2023 : méthode pour bien s’entraîner
Tout d’abord, travaillez l’énoncé du sujet en temps limité, sans ouvrir la correction. Ensuite, relisez la correction question par question et soulignez les arguments qui manquaient dans votre copie. De plus, notez dans un carnet les propriétés que vous n’avez pas su mobiliser, par exemple sur la fonction logarithme népérien ou la fonction exponentielle. Pour finir, reprenez plus tard les exercices où vous avez hésité, jusqu’à pouvoir les rédiger seul du début à la fin. Si une définition vous échappe, la page Wikipédia consacrée à fonction logarithme propose un rappel complet.
Les erreurs qui coûtent des points
- Avec le logarithme, vérifiez toujours que l’expression est strictement positive avant d’appliquer une propriété algébrique.
- Face à une forme indéterminée avec l’exponentielle, pensez aux croissances comparées plutôt qu’à un calcul direct.
- En probabilités, ne confondez pas la probabilité d’une intersection avec une probabilité conditionnelle : la première se lit le long d’un chemin de l’arbre, la seconde sur une seule branche.
Questions fréquentes sur ce corrigé Calédonie 2023
Où trouver l’énoncé complet ? Il se trouve sur la page du sujet ; ainsi, vous pouvez chercher chaque exercice avant de lire la correction.
Quelles notions revoir avant de commencer ? Surtout, la fonction logarithme népérien, la fonction exponentielle et les probabilités conditionnelles, mais aussi la dérivation.
Faut-il tout justifier ? Oui, sauf mention contraire : en effet, au bac, une réponse sans justification rapporte peu de points, tandis que les QCM précisent en général qu’aucune justification n’est demandée.
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