Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : espérance, variance et concentration.
Tu trouveras ici la correction détaillée des cinq exercices. Chaque calcul d’espérance ou de variance commence par la propriété utilisée : linéarité, formule de V(aX + b), variance d’une somme de variables indépendantes.
Pour les inégalités, la correction montre comment reconnaître la forme attendue, repérer la valeur de δ puis conclure par une phrase dans le contexte. La taille d’échantillon se trouve en résolvant une inégalité simple, et la loi des grands nombres est reliée à la simulation. Compare ta copie ligne par ligne et reporte-toi au barème de chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : espérance, variance et concentration.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Le jeu de la roue | 4 points |
| Exercice 2 : Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit | 3 points |
| Exercice 3 : Temps d’attente au snack | 4 points |
| Exercice 4 : Paquets de pâtes | 4 points |
| Exercice 5 : La pièce imprimée en 3D | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Le jeu de la roue (4 points)
- La somme des probabilités d’une loi vaut 1 :
\(p = 1 – (0{,}5 + 0{,}25 + 0{,}2) = 1 – 0{,}95 = 0{,}05\)
\(p = 0{,}05\). - \(E(G) = -2 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}25 + 3 \times 0{,}2 + 10 \times 0{,}05\)
\(E(G) = -1 + 0 + 0{,}6 + 0{,}5 = 0{,}1\)
\(E(G) = 0{,}1\) €. - On utilise la formule de König-Huygens \(V(G) = E(G^2) – E(G)^2\).
\(E(G^2) = 4 \times 0{,}5 + 0 \times 0{,}25 + 9 \times 0{,}2 + 100 \times 0{,}05 = 2 + 0 + 1{,}8 + 5 = 8{,}8\)
\(V(G) = 8{,}8 – 0{,}1^2 = 8{,}8 – 0{,}01 = 8{,}79\)
\(\sigma(G) = \sqrt{8{,}79} \approx 2{,}96\)
\(V(G) = 8{,}79\) et \(\sigma(G) \approx 2{,}96\) €. - \(E(G) = 0{,}1 > 0\) : le jeu est donc favorable au joueur. En effet, sur un grand nombre de parties, un joueur gagne en moyenne 10 centimes par partie. Ainsi, sur 400 parties, les joueurs gagnent au total environ \(400 \times 0{,}1 = 40\) €. Par conséquent, l’organisateur perd en moyenne environ 40 € dans la journée. Il devrait alors revoir les lots ou la mise.
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour V(G), 0,5 point pour σ(G) ; d) 0,5 point pour la conclusion, 0,5 point pour l’interprétation sur 400 parties.
Erreur fréquente : oublier le carré de l’espérance et écrire \(V(G) = 8{,}8\). Pourtant, la formule directe \(V(G) = \sum P(G = g)(g – E(G))^2\) donne bien \(8{,}79\).
Exercice 2 : Des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit (3 points)
- Par linéarité de l’espérance : \(E(aT + b) = aE(T) + b\).
\(E(F) = 1{,}8 \times 20 + 32 = 36 + 32 = 68\)
\(E(F) = 68\) degrés Fahrenheit. - On sait de plus que \(V(aT + b) = a^2 V(T)\).
\(V(F) = 1{,}8^2 \times 4 = 3{,}24 \times 4 = 12{,}96\)
\(\sigma(F) = \sqrt{12{,}96} = 3{,}6\) (on vérifie : \(\sigma(F) = 1{,}8 \times \sigma(T) = 1{,}8 \times 2 = 3{,}6\)).
\(V(F) = 12{,}96\) et \(\sigma(F) = 3{,}6\). - Ajouter 32 décale toutes les valeurs, et donc leur moyenne, de la même quantité. Ainsi, les écarts à la moyenne \(F – E(F)\) ne changent pas. Or la variance mesure la dispersion autour de la moyenne : elle n’est donc pas modifiée par l’ajout d’une constante.
Barème : a) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour la propriété \(a^2V\), 0,5 point pour V(F), 0,5 point pour σ(F) ; c) 0,5 point.
Erreur fréquente : écrire \(V(F) = 1{,}8 \times 4 = 7{,}2\). En effet, le coefficient a est élevé au carré dans la variance.
Exercice 3 : Temps d’attente au snack (4 points)
- Par linéarité de l’espérance : \(E(T) = E(X) + E(Y) = 3 + 1 = 4\).
X et Y sont indépendantes, donc \(V(T) = V(X) + V(Y) = 0{,}64 + 0{,}36 = 1\) et \(\sigma(T) = \sqrt{1} = 1\).
\(E(T) = 4\) min, \(V(T) = 1\) et \(\sigma(T) = 1\) min. L’hypothèse indispensable est l’indépendance de X et Y. En effet, l’additivité de l’espérance est toujours vraie. Cependant, celle de la variance ne l’est pas. - D’abord, par linéarité : \(E(S) = 30 \times E(T) = 30 \times 4 = 120\).
Ensuite, les \(T_i\) sont indépendantes, donc \(V(S) = 30 \times V(T) = 30 \times 1 = 30\) et \(\sigma(S) = \sqrt{30} \approx 5{,}5\).
\(E(S) = 120\) min, \(V(S) = 30\) et \(\sigma(S) \approx 5{,}5\) min. - \(E(M) = \dfrac{E(S)}{30} = \dfrac{120}{30} = 4\) et \(V(M) = \dfrac{V(S)}{30^2} = \dfrac{30}{900} = \dfrac{1}{30} \approx 0{,}033\).
\(E(M) = 4\) et \(V(M) = \frac{1}{30}\). La moyenne M a la même espérance que T, mais une variance 30 fois plus petite. Ainsi, la durée moyenne sur 30 menus est beaucoup moins dispersée que la durée d’un seul menu.
Barème : a) 0,5 point pour E(T), 0,5 point pour V(T) et σ(T), 0,5 point pour l’hypothèse d’indépendance ; b) 0,5 point par grandeur ; c) 0,5 point pour les deux calculs, 0,5 point pour la remarque.
Exercice 4 : Paquets de pâtes (4 points)
- D’abord, \(V(X) = \sigma(X)^2 = 16\). Ensuite, d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel \(\delta > 0\) : \(P(|X – E(X)| \geq\, \delta) \leq\, \dfrac{V(X)}{\delta^2}\).
Avec \(\delta = 10\) : \(P(|X – 500| \geq\, 10) \leq\, \dfrac{16}{100} = 0{,}16\).
\(P(|X – 500| \geq\, 10) \leq\, 0{,}16\). - L’événement « \(490 < X < 510\) » s’écrit \(|X – 500| < 10\). C’est donc l’événement contraire de \(|X – 500| \geq\, 10\).
\(P(490 < X < 510) = 1 – P(|X – 500| \geq\, 10) \geq\, 1 – 0{,}16 = 0{,}84\)
Au moins \(84\,\%\) des paquets ont une masse strictement comprise entre 490 g et 510 g. - On veut \(\dfrac{16}{\delta^2} \leq\, 0{,}04\), soit \(\delta^2 \geq\, \dfrac{16}{0{,}04} = 400\), soit \(\delta \geq\, 20\) (car \(\delta > 0\)).
Le plus petit réel qui convient est \(\delta = 20\) g. - La question b donne seulement une majoration : au plus \(16\,\%\) des paquets sont hors de \(]490\,;510[\). Observer \(5\,\%\) est donc compatible, puisque \(5\,\% \leq\, 16\,\%\). Il n’y a pas de contradiction. En effet, l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev est valable pour toutes les lois. Par conséquent, elle donne souvent une borne large.
Barème : a) 0,5 point pour l’inégalité citée, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour l’événement contraire, 0,5 point pour la minoration ; c) 0,5 point pour l’inéquation, 0,5 point pour δ = 20 ; d) 1 point pour l’argument « majoration ».
Erreur fréquente : diviser par \(\sigma\) au lieu de \(\sigma^2 = V(X)\), et obtenir \(\frac{4}{100}\) à la question a.
Exercice 5 : La pièce imprimée en 3D (5 points)
- \(f(x) = x – x^2\) est dérivable sur \([0\,;1]\) et \(f^{\prime}(x) = 1 – 2x\).
\(f^{\prime}(x) \geq\, 0 \Leftrightarrow x \leq\, \dfrac{1}{2}\) : f est croissante sur \([0\,;\frac{1}{2}]\) et décroissante sur \([\frac{1}{2}\,;1]\).
Son maximum est \(f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\). Comme p est dans \([0\,;1]\) :
\(V(X_i) = p(1 – p) = f(p) \leq\, \frac{1}{4}\). - \(P(|M_n – p| \geq\, 0{,}05) \leq\, \dfrac{V(X_1)}{1000 \times 0{,}05^2} \leq\, \dfrac{0{,}25}{1000 \times 0{,}0025} = \dfrac{0{,}25}{2{,}5} = 0{,}1\)
\(P(|M_n – p| \geq\, 0{,}05) \leq\, 0{,}1\). Ainsi, sur 1 000 lancers, la fréquence de pile s’écarte de p d’au moins \(0{,}05\) avec une probabilité d’au plus \(10\,\%\). Autrement dit, avec une probabilité d’au moins \(0{,}9\), la fréquence observée est dans \(]p – 0{,}05\,;p + 0{,}05[\). - D’après a, \(P(|M_n – p| \geq\, 0{,}02) \leq\, \dfrac{0{,}25}{n \times 0{,}02^2} = \dfrac{0{,}25}{0{,}0004\,n} = \dfrac{625}{n}\).
Il suffit alors que \(\dfrac{625}{n} \leq\, 0{,}05\), c’est-à-dire \(n \geq\, \dfrac{625}{0{,}05} = 12\,500\).
Avec \(n = 12\,500\) lancers (ou plus), on est sûr que \(P(|M_n – p| \geq\, 0{,}02) \leq\, 0{,}05\), quelle que soit la valeur de p. - Loi des grands nombres : pour tout réel \(\delta > 0\), \(\lim_{n \to +\infty} P(|M_n – p| \geq\, \delta) = 0\). Ainsi, quand le nombre de lancers augmente, la fréquence de pile se rapproche de p avec une probabilité qui tend vers 1.
Or, sur la figure, la fréquence se stabilise autour de \(0{,}55\) après 1 000 lancers. On peut donc estimer \(p \approx 0{,}55\) : la pièce semble légèrement déséquilibrée en faveur de pile.
Barème : a) 0,5 point pour la dérivée et les variations, 0,5 point pour le maximum ; b) 1 point pour le calcul, 0,5 point pour la phrase ; c) 0,5 point pour la majoration par \(\frac{625}{n}\), 1 point pour la résolution ; d) 0,5 point pour l’énoncé, 0,5 point pour l’estimation (toute valeur entre 0,54 et 0,56 est acceptée).
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Après le corrigé du contrôle : espérance, variance et concentration
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