Contrôle de maths Terminale : aires et valeur moyenne d’une fonction

Exercice 1 : Aire sous une parabole (4 points)

Calculatrice autorisée.

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 \,;\, 4]\) par \(f(x) = -x^2 + 4x\). Dans un repère orthogonal, on prend 2 cm pour une unité sur l’axe des abscisses et 1 cm pour une unité sur l’axe des ordonnées.

1. D’abord, justifie que \(f(x) \geq\, 0\) pour tout \(x \in [0 \,;\, 4]\). (1 point)
2. Ensuite, calcule, en unités d’aire, l’aire du domaine compris entre la courbe de \(f\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 4\). (2 points)
3. Enfin, donne cette aire en cm², en valeur exacte puis arrondie au centième. (1 point)

Exercice 2 : Aire entre deux courbes (5 points)

Dans un repère orthonormé d’unité graphique 2 cm, on a tracé la courbe \(\mathcal{C}\) de la fonction exponentielle et la droite \(\mathcal{D}\) d’équation \(y = x + 1\). Le domaine hachuré est compris entre \(\mathcal{C}\), \(\mathcal{D}\) et les droites d’équations \(x = 0\) et \(x = 2\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

On pose, pour tout réel \(x\), \(h(x) = e^x – x – 1\).

1. Étudie les variations de \(h\) sur \(\mathbb{R}\), puis déduis-en le signe de \(h(x)\). (2 points)
2. Déduis-en ainsi la position relative de \(\mathcal{C}\) et de \(\mathcal{D}\). (0,5 point)
3. Calcule alors la valeur exacte de l’aire \(\mathcal{A}\) du domaine hachuré, en unités d’aire. (1,5 point)
4. Enfin, donne \(\mathcal{A}\) en cm², arrondie au centième. (1 point)

Exercice 3 : Valeurs moyennes (4 points)

1. Calcule la valeur moyenne de la fonction \(g : x \mapsto 3x^2 + 1\) sur l’intervalle \([0 \,;\, 2]\). (1,5 point)
2. Dans une serre, la température, en °C, \(t\) heures après 6 h du matin, est modélisée par \(T(t) = 20 + 5\sin(\dfrac{\pi t}{12})\) pour \(t \in [0 \,;\, 12]\). Détermine la valeur exacte de la température moyenne dans la serre entre 6 h et 18 h. Donne-la ensuite arrondie au centième. (2,5 points)

Exercice 4 : La méthode des rectangles (3 points)

On note \(f\) la fonction définie sur \([0 \,;\, 1]\) par \(f(x) = e^{-x^2}\) et \(I = \int_0^1 f(x)\,dx\). Or on ne connaît pas de primitive de \(f\) exprimée avec les fonctions usuelles. On cherche donc un encadrement de \(I\). Pour cela, on partage \([0 \,;\, 1]\) en \(n\) intervalles de même longueur \(h\). Puis, sur chacun, on construit un rectangle sous la courbe et un rectangle au-dessus. Par exemple, la figure montre le cas \(n = 4\) : rectangles verts sous la courbe, rectangles rouges au-dessus.

1. Montre que \(f\) est décroissante sur \([0 \,;\, 1]\). Explique alors pourquoi la somme des aires des rectangles verts est inférieure ou égale à \(I\). (1 point)
2. Complète les deux lignes en pointillés du programme Python ci-dessous. Ainsi, rectangles(n) doit renvoyer la somme s des aires des rectangles sous la courbe et la somme S des aires des rectangles au-dessus. (1 point)

   from math import exp
   
   def f(x):
       return exp(-x**2)
   
   def rectangles(n):
       h = ..........
       s = 0
       S = 0
       for k in range(n):
           s = s + h*f((k+1)*h)
           S = ....................
       return s, S
   

3. L’appel rectangles(100) renvoie environ (0.74366, 0.74998). Déduis-en donc un encadrement de \(I\) d’amplitude \(10^{-2}\). (1 point)

Exercice 5 : Le remplissage d’un bassin (4 points)

Un bassin est rempli par une pompe dont le débit diminue avec le temps. À l’instant \(t\), en minutes, le débit de la pompe est \(d(t) = 50e^{-0{,}2t}\), en litres par minute. De plus, on admet que le volume d’eau, en litres, versé entre les instants \(0\) et \(T\) est égal à \(\int_0^T d(t)\,dt\).

1. D’abord, calcule le volume d’eau versé pendant les 10 premières minutes, en valeur exacte puis arrondi au dixième de litre. (1,5 point)
2. Ensuite, détermine le débit moyen de la pompe sur ces 10 minutes, arrondi au dixième. (1 point)
3. Enfin, au bout de combien de temps la pompe a-t-elle versé 200 litres ? Donne la valeur exacte, puis une valeur approchée à la seconde près. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : aires et valeur moyenne d’une fonction

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Calculs d’intégrales » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés intégrales et primitives.

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