Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : aires et valeur moyenne d’une fonction.
Cette correction rappelle à chaque étape pourquoi une intégrale mesure une aire : il faut une fonction positive, ou, entre deux courbes, savoir laquelle est au-dessus. La conversion en cm² est détaillée à partir de l’unité d’aire du repère.
Pour la valeur moyenne, la formule \(\dfrac{1}{b – a}\int_a^b f(x)\,dx\) est appliquée puis interprétée. Le programme de la méthode des rectangles est complété et commenté ligne par ligne, et l’encadrement obtenu est justifié par la décroissance de la fonction. Le problème du bassin se termine par une équation résolue avec le logarithme.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : aires et valeur moyenne d’une fonction.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Aire sous une parabole | 4 points |
| Exercice 2 : Aire entre deux courbes | 5 points |
| Exercice 3 : Valeurs moyennes | 4 points |
| Exercice 4 : La méthode des rectangles | 3 points |
| Exercice 5 : Le remplissage d’un bassin | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Aire sous une parabole (4 points)
- Pour tout \(x \in [0 \,;\, 4]\) : \(f(x) = x(4 – x)\), avec \(x \geq\, 0\) et \(4 – x \geq\, 0\).
Or un produit de deux nombres positifs est positif, donc \(f(x) \geq\, 0\) sur \([0 \,;\, 4]\). - \(f\) est continue et positive sur \([0 \,;\, 4]\). Donc l’aire cherchée, en unités d’aire, est \(\int_0^4 f(x)\,dx\).
Ensuite, une primitive de \(f\) est \(F(x) = -\dfrac{x^3}{3} + 2x^2\).
Ainsi, \(\int_0^4 f(x)\,dx = F(4) – F(0) = -\dfrac{64}{3} + 32 – 0 = \dfrac{-64 + 96}{3} = \dfrac{32}{3}\).
L’aire vaut donc \(\dfrac{32}{3}\) unités d’aire. - Une unité d’aire est l’aire d’un rectangle de 2 cm sur 1 cm, soit \(2\text{ cm}^2\).
Alors \(\dfrac{32}{3} \times 2 = \dfrac{64}{3} \approx 21{,}33\).
L’aire vaut \(\dfrac{64}{3}\text{ cm}^2\), soit environ \(21{,}33\text{ cm}^2\).
Erreur fréquente : confondre unité de longueur et unité d’aire. On répond alors \(\dfrac{32}{3}\text{ cm}^2\) ou on multiplie par 3 (somme des deux unités) au lieu de 2 (produit).
Barème : a) 1 point (0,5 pour la factorisation, 0,5 pour le signe) ; b) 2 points (0,5 pour le lien aire et intégrale d’une fonction positive, 0,5 pour la primitive, 1 pour le calcul) ; c) 1 point (0,5 pour l’unité d’aire en cm², 0,5 pour le résultat).
Exercice 2 : Aire entre deux courbes (5 points)
- D’abord, \(h\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(h^{\prime}(x) = e^x – 1\).
Ensuite, \(h^{\prime}(x) > 0 \iff e^x > 1 \iff x > 0\), car la fonction exponentielle est strictement croissante et \(e^0 = 1\). De même \(h^{\prime}(x) < 0 \iff x < 0\).
Donc \(h\) est décroissante sur \(]-\infty \,;\, 0]\) et croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\). Elle admet ainsi un minimum en 0, égal à \(h(0) = e^0 – 0 – 1 = 0\).
Pour tout réel \(x\), \(h(x) \geq\, h(0) = 0\). - \(h(x) \geq\, 0 \iff e^x \geq\, x + 1\). Donc la courbe \(\mathcal{C}\) est au-dessus de la droite \(\mathcal{D}\) sur \(\mathbb{R}\) ; elles se touchent au point de coordonnées \((0 \,;\, 1)\).
- Sur \([0 \,;\, 2]\), \(\mathcal{C}\) est au-dessus de \(\mathcal{D}\) et les deux fonctions sont continues, donc :
\(\mathcal{A} = \int_0^2 (e^x – (x + 1))dx = [e^x – \dfrac{x^2}{2} – x]_0^2\).
Ainsi, \(\mathcal{A} = (e^2 – 2 – 2) – (e^0 – 0 – 0) = e^2 – 4 – 1\).
\(\mathcal{A} = e^2 – 5\) unités d’aire. - Le repère est orthonormé d’unité 2 cm, donc une unité d’aire vaut \(2 \times 2 = 4\text{ cm}^2\).
Alors \(4(e^2 – 5) \approx 4 \times 2{,}38906 \approx 9{,}556\).
\(\mathcal{A} \approx 9{,}56\text{ cm}^2\).
Barème : a) 2 points (0,5 pour la dérivée, 0,5 pour son signe justifié, 0,5 pour les variations, 0,5 pour le signe de \(h\) à partir du minimum) ; b) 0,5 point ; c) 1,5 point (0,5 pour l’intégrale de la différence dans le bon ordre, 0,5 pour la primitive, 0,5 pour la valeur exacte) ; d) 1 point (0,5 pour l’unité d’aire, 0,5 pour l’arrondi).
Exercice 3 : Valeurs moyennes (4 points)
La valeur moyenne d’une fonction \(f\) continue sur \([a \,;\, b]\), avec \(a < b\), est \(\mu = \dfrac{1}{b – a}\int_a^b f(x)\,dx\).
- \(\mu = \dfrac{1}{2 – 0}\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx = \dfrac{1}{2}[x^3 + x]_0^2 = \dfrac{1}{2}(8 + 2 – 0) = \dfrac{10}{2}\).
Ainsi, la valeur moyenne de \(g\) sur \([0 \,;\, 2]\) est 5. - Une primitive de \(\sin(\dfrac{\pi t}{12})\) est \(-\dfrac{12}{\pi}\cos(\dfrac{\pi t}{12})\). En effet, la dérivée de \(\cos(\dfrac{\pi t}{12})\) est \(-\dfrac{\pi}{12}\sin(\dfrac{\pi t}{12})\).
Une primitive de \(T\) est donc \(t \mapsto 20t – \dfrac{60}{\pi}\cos(\dfrac{\pi t}{12})\).
Ensuite, \(\int_0^{12} T(t)\,dt = (240 – \dfrac{60}{\pi}\cos\pi) – (0 – \dfrac{60}{\pi}\cos 0) = 240 + \dfrac{60}{\pi} + \dfrac{60}{\pi} = 240 + \dfrac{120}{\pi}\).
Enfin, la température moyenne vaut \(\dfrac{1}{12 – 0}(240 + \dfrac{120}{\pi}) = 20 + \dfrac{10}{\pi} \approx 23{,}18\).
Entre 6 h et 18 h, la température moyenne de la serre est \(20 + \dfrac{10}{\pi} \approx 23{,}18\) °C.
Erreur fréquente : oublier de diviser par la longueur de l’intervalle (12 h). On obtient alors une « température » d’environ 278 °C, visiblement absurde.
Barème : a) 1,5 point (0,5 pour la formule, 0,5 pour la primitive, 0,5 pour le résultat) ; b) 2,5 points (1 pour la primitive avec le coefficient \(\dfrac{12}{\pi}\), 0,5 pour le calcul de l’intégrale, 0,5 pour la division par 12, 0,5 pour la valeur exacte et l’arrondi avec l’unité).
Exercice 4 : La méthode des rectangles (3 points)
- \(f\) est dérivable et \(f^{\prime}(x) = -2x e^{-x^2}\). Pour \(x \in [0 \,;\, 1]\), \(-2x \leq\, 0\) et \(e^{-x^2} > 0\), donc \(f^{\prime}(x) \leq\, 0\) : \(f\) est décroissante sur \([0 \,;\, 1]\).
Ainsi, sur chaque intervalle \([kh \,;\, (k + 1)h]\), \(f\) est décroissante, donc \(f(x) \geq\, f((k + 1)h)\). Le rectangle vert, de hauteur \(f((k + 1)h)\), est donc situé sous la courbe. Par croissance de l’intégrale, la somme des aires des rectangles verts est inférieure ou égale à \(I\). De même, les rectangles rouges, de hauteur \(f(kh)\), donnent une somme supérieure ou égale à \(I\). - La longueur de chaque intervalle est \(h = \dfrac{1}{n}\). De plus, le rectangle au-dessus de la courbe sur \([kh \,;\, (k + 1)h]\) a pour hauteur \(f(kh)\), valeur de \(f\) à gauche. Les lignes à compléter sont donc :
h = 1/n S = S + h*f(k*h)Ainsi, la variable
scumule les rectangles sous la courbe (hauteur prise à droite),Sceux au-dessus (hauteur prise à gauche). - D’après a) et b) : \(s \leq\, I \leq\, S\), donc \(0{,}74366 \leq\, I \leq\, 0{,}74998\) (valeurs approchées).
Or \(0{,}74 < 0{,}74366\) et \(0{,}74998 < 0{,}75\) : \(0{,}74 \leq\, I \leq\, 0{,}75\), encadrement d’amplitude \(10^{-2}\).
Barème : a) 1 point (0,5 pour la décroissance, 0,5 pour la justification des rectangles) ; b) 1 point (0,5 par ligne) ; c) 1 point (0,5 pour l’encadrement par \(s\) et \(S\), 0,5 pour l’amplitude \(10^{-2}\)).
Exercice 5 : Le remplissage d’un bassin (4 points)
- D’abord, une primitive de \(d(t) = 50e^{-0{,}2t}\) est \(D(t) = \dfrac{50}{-0{,}2}e^{-0{,}2t} = -250e^{-0{,}2t}\).
Donc \(V = \int_0^{10} d(t)\,dt = D(10) – D(0) = -250e^{-2} + 250 = 250(1 – e^{-2}) \approx 216{,}17\).
Pendant les 10 premières minutes, la pompe verse \(250(1 – e^{-2}) \approx 216{,}2\) litres. - Le débit moyen est la valeur moyenne de \(d\) sur \([0 \,;\, 10]\) :
\(\dfrac{1}{10 – 0}\int_0^{10} d(t)\,dt = 25(1 – e^{-2}) \approx 21{,}62\).
Ainsi, le débit moyen est d’environ 21,6 litres par minute. - Pour \(T \geq\, 0\) : \(\int_0^T d(t)\,dt = D(T) – D(0) = 250(1 – e^{-0{,}2T})\).
Puis \(250(1 – e^{-0{,}2T}) = 200 \iff 1 – e^{-0{,}2T} = 0{,}8 \iff e^{-0{,}2T} = 0{,}2\).
Or la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 \,;\, +\infty[\) : \(-0{,}2T = \ln 0{,}2 = -\ln 5\), donc \(T = \dfrac{\ln 5}{0{,}2} = 5\ln 5\).
Enfin, \(5\ln 5 \approx 8{,}0472\) min, et \(0{,}0472 \times 60 \approx 2{,}8\) s.
La pompe a donc versé 200 litres au bout de \(5\ln 5\) minutes, soit environ 8 min 3 s.
Barème : a) 1,5 point (0,5 pour la primitive, 0,5 pour la valeur exacte, 0,5 pour l’arrondi avec l’unité) ; b) 1 point (0,5 pour la formule de la valeur moyenne, 0,5 pour le résultat) ; c) 1,5 point (0,5 pour l’équation \(e^{-0{,}2T} = 0{,}2\), 0,5 pour la valeur exacte, 0,5 pour la conversion en minutes et secondes).
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Après le corrigé du contrôle : aires et valeur moyenne d’une fonction
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