Ce contrôle de maths de Terminale porte sur le thème suivant : listes, permutations et arrangements.
Ce sujet ouvre le chapitre de dénombrement de Terminale. Tu devras d’abord reconnaître la bonne situation : l’ordre compte-t-il, les répétitions sont-elles permises ? Selon la réponse, tu compteras des k-uplets (des listes avec répétition, en \(n^k\)), des arrangements (des listes d’éléments distincts) ou des permutations (en \(n!\)).
Les situations sont concrètes : menus, cadenas, mots de passe, podium d’une finale, tirages avec ou sans remise et bureau d’un club. Tu utiliseras aussi le nombre de parties d’un ensemble et le passage au complémentaire. La calculatrice est autorisée, mais chaque résultat doit être justifié par une phrase.
- Niveau : Terminale
- Chapitre : Combinatoire et dénombrement
- Durée conseillée : 1 heure 30
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 4 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Modéliser : reconnaître une liste, une liste sans répétition ou une permutation dans une situation concrète
- Calculer : utiliser les principes additif et multiplicatif, les puissances et les factorielles
- Raisonner : dénombrer par passage au complémentaire
- Représenter : organiser un dénombrement à l’aide d’un arbre de choix
- Communiquer : justifier chaque dénombrement par une phrase
Exercice 1 : Principes additif et multiplicatif (4 points)
Calculatrice autorisée.
À la cantine du lycée, le chef propose chaque jour 3 entrées, 4 plats et 2 desserts.
- La formule complète comprend une entrée, un plat et un dessert. Combien de formules complètes différentes Hugo peut-il composer ? (1 point)
- Le midi, Sarah prend soit une formule « entrée et plat », soit une formule « plat et dessert ». Combien de repas différents peut-elle composer ? (1 point)
- Combien de parties l’ensemble \(E = \{a \,;\, b \,;\, c \,;\, d\}\) possède-t-il ? Justifier en associant chaque partie à une liste de quatre réponses « oui » ou « non ». (1 point)
- Une pizzeria propose une pâte avec sauce tomate, sur laquelle on peut ajouter ou non chacun de 6 ingrédients. Combien de pizzas différentes comportent au moins un ingrédient ajouté ? (1 point)
Exercice 2 : Codes de cadenas et mots de passe (4 points)
Un cadenas possède 4 molettes portant chacune les chiffres de 0 à 9. Un code est une suite de 4 chiffres, par exemple 0 7 7 2.
- Combien de codes différents existe-t-il ? (1 point)
- Combien de codes sont formés de 4 chiffres tous différents ? (1 point)
- En déduire le nombre de codes comportant au moins deux chiffres identiques. (1 point)
- Un site impose un mot de passe de 6 caractères choisis parmi les 26 lettres minuscules et les 10 chiffres. Combien de mots de passe sont possibles ? Un logiciel malveillant teste un million de mots de passe par seconde : combien de temps lui faut-il, au maximum, pour tous les essayer ? Arrondir à la minute. (1 point)
Exercice 3 : Podium d’une finale (4 points)
La finale du 100 mètres d’un championnat réunit 8 coureuses, dont Léna. On suppose qu’il n’y a pas d’ex æquo.
- Un podium est la liste ordonnée des trois premières (or, argent, bronze). Combien de podiums différents sont possibles ? Écrire ce nombre à l’aide de factorielles. (1 point)
- Combien de classements complets des 8 coureuses sont possibles ? (1 point)
- Combien de podiums donnent la médaille d’or à Léna ? (1 point)
- Combien de podiums comprennent Léna, quelle que soit sa médaille ? (1 point)
Exercice 4 : Tirages dans une urne (4 points)
Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire successivement 3 boules et on note leurs numéros dans l’ordre du tirage, ce qui donne un triplet comme \((4 \,;\, 1 \,;\, 5)\). L’arbre ci-dessous, seulement commencé, représente les tirages sans remise.
- Les tirages se font avec remise. Combien de triplets peut-on obtenir ? (1 point)
- Les tirages se font sans remise. En s’aidant de l’arbre, déterminer le nombre de triplets possibles. (1 point)
- Sans remise, combien de triplets commencent par un numéro pair ? (1 point)
- Avec remise, combien de triplets contiennent au moins une fois le numéro 5 ? (1 point)
Exercice 5 : Le club de théâtre (4 points)
Le club de théâtre d’un lycée compte 15 élèves. Il prépare une pièce intitulée « DRAME ».
- Le club doit élire un bureau formé d’un président, d’un trésorier et d’un secrétaire, trois élèves différents. Combien de bureaux sont possibles ? (1 point)
- Pour l’affiche, on écrit les anagrammes du mot DRAME, c’est-à-dire les mots formés avec ses 5 lettres, qu’ils aient un sens ou non. Combien y en a-t-il ? (1 point)
- Combien de ces anagrammes commencent et finissent par une voyelle ? (1 point)
- Pour une tournée, chaque élève décide s’il part ou non. Combien de groupes de départ différents sont possibles (le groupe vide compris) ? (1 point)
Réviser avant le contrôle : listes, permutations et arrangements
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La logique combinatoire » en Terminale.
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