Corrigé du contrôle de maths Terminale : listes, permutations et arrangements

Exercice 1 : Principes additif et multiplicatif (4 points)

1. Hugo choisit successivement une entrée (3 choix), un plat (4 choix) et un dessert (2 choix). D’après le principe multiplicatif, il y a \(3 \times 4 \times 2 = 24\) formules. Hugo peut composer 24 formules complètes.
2. Formules « entrée et plat » : \(3 \times 4 = 12\). Formules « plat et dessert » : \(4 \times 2 = 8\). Ces deux types de repas sont distincts (l’un contient une entrée, l’autre non), donc d’après le principe additif : \(12 + 8 = 20\). Sarah peut composer 20 repas différents.
3. Pour former une partie de \(E\), on décide pour chacun des 4 éléments \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) s’il est dans la partie (« oui ») ou non (« non »). Chaque partie correspond à une seule liste de 4 réponses, et réciproquement ; il y a \(2^4\) telles listes. \(E\) possède \(2^4 = 16\) parties (dont l’ensemble vide et \(E\) lui-même).
4. Choisir les ingrédients revient à choisir une partie d’un ensemble à 6 éléments : il y a \(2^6 = 64\) pizzas possibles. Une seule n’a aucun ingrédient ajouté (la partie vide). Il y a \(64 – 1 = 63\) pizzas avec au moins un ingrédient ajouté.

Barème : a) 0,5 point pour le principe multiplicatif, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour les deux produits, 0,5 point pour l’addition justifiée ; c) 0,5 point pour la justification, 0,5 point pour 16 ; d) 0,5 point pour \(2^6\), 0,5 point pour 63.

Exercice 2 : Codes de cadenas et mots de passe (4 points)

1. Un code est une liste de 4 chiffres (un 4-uplet) de l’ensemble \(\{0 \,;\, 1 \,;\, \text{etc.} \,;\, 9\}\), qui a 10 éléments, les répétitions étant permises. Il y a \(10^4 = 10\,000\) codes.
2. Il s’agit de listes de 4 chiffres distincts : 10 choix pour le premier, 9 pour le deuxième, 8 pour le troisième, 7 pour le dernier. Il y a \(10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040\) codes à chiffres tous différents.
3. « Au moins deux chiffres identiques » est le contraire de « tous les chiffres différents ». Il y a \(10\,000 – 5\,040 = 4\,960\) codes avec au moins deux chiffres identiques.
4. Chaque caractère est choisi parmi \(26 + 10 = 36\) symboles, avec répétition possible : il y a \(36^6 = 2\,176\,782\,336\) mots de passe.
   Durée maximale : \(\dfrac{2\,176\,782\,336}{1\,000\,000} \approx 2\,176{,}8\) secondes, et \(\dfrac{2\,176{,}8}{60} \approx 36{,}3\) minutes.
   Il y a \(36^6 = 2\,176\,782\,336\) mots de passe, testés en 36 minutes environ au maximum.

Barème : a) 0,5 point pour le modèle, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour le produit justifié, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour le complémentaire, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour \(36^6\), 0,5 point pour la durée.

Erreur fréquente : en c), calculer « exactement deux chiffres identiques ». La consigne dit « au moins deux » : le passage au contraire évite de distinguer les nombreux cas.

Exercice 3 : Podium d’une finale (4 points)

1. Un podium est une liste ordonnée de 3 coureuses distinctes parmi 8 : c’est un arrangement. 8 choix pour l’or, puis 7 pour l’argent, puis 6 pour le bronze : \(8 \times 7 \times 6 = 336\).
   Avec des factorielles : \(8 \times 7 \times 6 = \dfrac{8!}{5!}\), car \(8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5!\).
   Il y a \(\dfrac{8!}{5!} = 336\) podiums possibles.
2. Un classement complet est une permutation des 8 coureuses. Il y a \(8! = 40\,320\) classements possibles.
3. L’or est attribué à Léna ; il reste 7 choix pour l’argent puis 6 pour le bronze. Il y a \(7 \times 6 = 42\) podiums avec Léna en or.
4. Léna peut avoir l’une des 3 médailles (3 choix de place) ; pour chacune, les deux autres places sont occupées par deux coureuses distinctes parmi les 7 autres, dans l’ordre : \(7 \times 6 = 42\) choix. Il y a \(3 \times 42 = 126\) podiums comprenant Léna.
   Vérification par le complémentaire : les podiums sans Léna sont au nombre de \(7 \times 6 \times 5 = 210\), et \(336 – 210 = 126\).

Barème : a) 0,5 point pour 336, 0,5 point pour l’écriture \(\frac{8!}{5!}\) ; b) 0,5 point pour « permutation », 0,5 point pour le résultat ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 4 : Tirages dans une urne (4 points)

1. Avec remise, un résultat est un 3-uplet de l’ensemble \(\{1 \,;\, 2 \,;\, 3 \,;\, 4 \,;\, 5\}\), avec répétitions possibles. On peut obtenir \(5^3 = 125\) triplets.
2. Sans remise, l’arbre montre 5 branches au premier tirage, puis 4 branches issues de chaque boule, puis 3 branches issues de chaque couple : le nombre de chemins complets est \(5 \times 4 \times 3\). Il y a \(5 \times 4 \times 3 = 60\) triplets sans remise.
3. Le premier numéro est 2 ou 4 : 2 choix ; il reste ensuite 4 boules pour le deuxième tirage et 3 pour le troisième. Il y a \(2 \times 4 \times 3 = 24\) triplets commençant par un numéro pair.
4. On passe au contraire : les triplets ne contenant jamais le 5 sont formés avec les 4 autres numéros, il y en a \(4^3 = 64\). Il y a \(125 – 64 = 61\) triplets contenant au moins une fois le 5.

Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point pour la lecture de l’arbre, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point pour le choix du premier numéro, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour \(4^3\), 0,5 point pour le résultat.

Exercice 5 : Le club de théâtre (4 points)

1. Les rôles sont différents, donc l’ordre compte, et un élève ne peut pas occuper deux postes : c’est un arrangement de 3 élèves parmi 15. Il y a \(15 \times 14 \times 13 = 2\,730\) bureaux possibles.
2. Les 5 lettres de DRAME sont toutes différentes : une anagramme est une permutation de ces 5 lettres. Il y a \(5! = 120\) anagrammes.
3. Les voyelles sont A et E. La première et la dernière lettre sont A et E dans un ordre ou dans l’autre : 2 choix. Les 3 consonnes D, R, M se placent ensuite dans les 3 places du milieu : \(3! = 6\) façons. Il y a \(2 \times 6 = 12\) anagrammes qui commencent et finissent par une voyelle.
4. Un groupe de départ est une partie de l’ensemble des 15 élèves : chacun répond « je pars » ou « je ne pars pas ». Il y a \(2^{15} = 32\,768\) groupes possibles.

Barème : a) 0,5 point pour le modèle (arrangement), 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour « permutation », 0,5 point pour \(5! = 120\) ; c) 0,5 point pour les 2 choix des extrémités, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,5 point pour le lien avec les parties, 0,5 point pour le résultat.

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Après le corrigé du contrôle : listes, permutations et arrangements

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