Contrôle de maths Terminale : suites récurrentes et continuité

Exercice 1 : Limites candidates (3 points)

Calculatrice autorisée.

1. On admet que la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 0{,}5u_n + 3\) converge. Déterminer sa limite. (1 point)
2. On considère la suite définie par \(v_0 = 0\) et \(v_{n+1} = v_n^2 + 1\). Démontrer que cette suite ne peut pas converger. (1 point)
3. Vrai ou faux ? Justifier. « Si \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et si le réel \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\), alors toute suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers \(\ell\). » (1 point)

Exercice 2 : Construction en escargot (4 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 \,;\, +\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{2}{1 + x}\) et \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 3\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\). On a tracé ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) et la droite d’équation \(y = x\).

1. Reproduire la figure et y construire, sur l’axe des abscisses, les termes \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\), en laissant apparents les traits de construction. (1,5 point)
2. Quelle conjecture peut-on faire sur la monotonie de la suite \((u_n)\) ? sur sa limite ? (1 point)
3. Calculer les valeurs exactes de \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sous forme de fractions irréductibles. (1 point)
4. On admet que \((u_n)\) converge et que tous ses termes sont positifs. Démontrer que sa limite est 1. (0,5 point)

Exercice 3 : Étude complète d’une suite récurrente (8 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 \,;\, +\infty[\) par \(f(x) = \dfrac{4x + 3}{x + 2}\) et \((u_n)\) la suite définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = f(u_n)\). La figure représente \(\mathcal{C}_f\), la droite d’équation \(y = x\) et la construction des premiers termes.

1. À l’aide de la figure, conjecturer le sens de variation de \((u_n)\) et sa limite éventuelle. (0,5 point)
2. Démontrer que \(f\) est strictement croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\). (1 point)
3. Calculer les valeurs exactes de \(u_1\) et \(u_2\). (0,5 point)
4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\). (2 points)
5. En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente. (1 point)
6. Déterminer la limite \(\ell\) de la suite \((u_n)\), en justifiant avec soin. (1,5 point)
7. On considère la fonction Python ci-dessous. Recopier et compléter la ligne pointillée pour qu’elle renvoie le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n > 2{,}99\), puis donner la valeur renvoyée à l’aide de la calculatrice. (1,5 point)

   def seuil():
       n = 0
       u = 0
       while u <= 2.99:
           u = ............
           n = n + 1
       return n

Exercice 4 : Les truites de l’étang (5 points)

Au 1er janvier 2026, un étang abrite 1 400 truites, un nombre trop élevé pour les ressources en nourriture. Un biologiste modélise le nombre de truites, en milliers, au 1er janvier de l’année \(2026 + n\) par la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1{,}4\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = 1{,}5u_n – 0{,}5u_n^2\). On note \(f\) la fonction définie sur \([0 \,;\, 1{,}5]\) par \(f(x) = 1{,}5x – 0{,}5x^2\), de sorte que \(u_{n+1} = f(u_n)\).

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\), puis interpréter \(u_1\) dans le contexte. (0,5 point)
2. Étudier les variations de \(f\) sur \([0 \,;\, 1{,}5]\). (1 point)
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 1{,}4\). (1,5 point)
4. En déduire que la suite \((u_n)\) converge, puis déterminer sa limite. (1,5 point)
5. Que peut-on prévoir pour la population de truites à long terme ? (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : suites récurrentes et continuité

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Fonction continue » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

Retrouve tous les contrôles de maths en Terminale classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en Terminale sur ce thème

• Contrôle de maths Terminale : continuité et valeurs intermédiaires

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques TerminalePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de Terminale à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗