Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : suites récurrentes et continuité.
Ce corrigé rédige chaque démonstration comme au bac. Pour une suite \(u_{n+1} = f(u_n)\) avec \(f\) croissante, la récurrence s’appuie toujours sur la même idée : appliquer \(f\) à une inégalité conserve son sens. On obtient ainsi d’un seul coup l’encadrement et la monotonie.
Vient ensuite le théorème de convergence monotone, qui prouve que la limite existe, puis la continuité de \(f\), qui permet de la calculer en résolvant \(f(\ell) = \ell\). Attention à l’ordre : on ne cherche la limite qu’après avoir prouvé la convergence. Le barème détaillé suit chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : suites récurrentes et continuité.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Limites candidates | 3 points |
| Exercice 2 : Construction en escargot | 4 points |
| Exercice 3 : Étude complète d’une suite récurrente | 8 points |
| Exercice 4 : Les truites de l’étang | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Limites candidates (3 points)
- La fonction \(f : x \mapsto 0{,}5x + 3\) est continue sur \(\mathbb{R}\) (fonction affine). Si \((u_n)\) converge vers \(\ell\), alors \(\ell = f(\ell)\), soit \(\ell = 0{,}5\ell + 3\), donc \(0{,}5\ell = 3\). La limite de la suite est \(\ell = 6\).
- Raisonnons par l’absurde : supposons que \((v_n)\) converge vers un réel \(\ell\). La fonction \(x \mapsto x^2 + 1\) est continue sur \(\mathbb{R}\), donc \(\ell = \ell^2 + 1\), soit \(\ell^2 – \ell + 1 = 0\).
Or le discriminant vaut \(\Delta = (-1)^2 – 4 \times 1 \times 1 = -3 < 0\) : ainsi, cette équation n’a pas de solution réelle. C’est donc absurde. La suite \((v_n)\) ne converge pas. - Faux. Contre-exemple : \(f(x) = 2x\) est continue sur \(\mathbb{R}\) et \(f(0) = 0\). Pourtant la suite définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 2u_n\) est géométrique de raison 2 : \(u_n = 2^n\), qui tend vers \(+\infty\). En effet, l’équation \(f(\ell) = \ell\) donne seulement les limites possibles si la suite converge. Elle ne prouve donc pas la convergence.
Barème : a) 0,5 point pour l’équation \(f(\ell) = \ell\) avec la continuité, 0,5 point pour la valeur ; b) 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour le discriminant et la conclusion ; c) 0,25 point pour « faux », 0,75 point pour le contre-exemple.
Exercice 2 : Construction en escargot (4 points)
- D’abord, on part de \(u_0\) sur l’axe des abscisses et on monte jusqu’à \(\mathcal{C}_f\) : l’ordonnée obtenue est \(u_1 = f(u_0)\). Ensuite, on la reporte sur l’axe des abscisses grâce à la droite \(y = x\), puis on recommence.
On obtient \(u_1 = 0{,}5\), puis \(u_2\) un peu au-dessus de 1,3 et \(u_3\) un peu au-dessous de 0,9.
- Les termes sont alternativement au-dessus et au-dessous de 1 : \(u_0 > u_1\) mais \(u_1 < u_2\). Ainsi, la suite \((u_n)\) ne semble pas monotone. Cependant, elle semble converger vers 1, abscisse du point d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) et de la droite \(y = x\).
- \(u_1 = \dfrac{2}{1 + 3} = \dfrac{1}{2}\) ; \(u_2 = \dfrac{2}{1 + \frac{1}{2}} = \dfrac{2}{\frac{3}{2}} = \dfrac{4}{3}\) ; \(u_3 = \dfrac{2}{1 + \frac{4}{3}} = \dfrac{2}{\frac{7}{3}} = \dfrac{6}{7}\).
\(u_1 = \frac{1}{2}\), \(u_2 = \frac{4}{3}\) et \(u_3 = \frac{6}{7}\). - Soit \(\ell\) la limite. Puisque tous les termes sont positifs, \(\ell \geq\, 0\). De plus, la fonction \(f\) est continue sur \([0 \,;\, +\infty[\), donc \(f(\ell) = \ell\) : \(\dfrac{2}{1 + \ell} = \ell\), soit \(\ell^2 + \ell – 2 = 0\), c’est-à-dire \((\ell – 1)(\ell + 2) = 0\). Enfin, puisque \(\ell \geq\, 0\), on écarte \(-2\). La limite de \((u_n)\) est 1.
Barème : a) 0,5 point par terme construit avec ses traits de construction ; b) 0,5 point pour la monotonie, 0,5 point pour la limite ; c) 0,25 point pour \(u_1\), 0,25 point pour \(u_2\), 0,5 point pour \(u_3\) ; d) 0,25 point pour l’équation, 0,25 point pour le choix de la solution positive.
Exercice 3 : Étude complète d’une suite récurrente (8 points)
- D’après le graphique, la suite \((u_n)\) semble croissante et semble converger vers 3, abscisse du point d’intersection de \(\mathcal{C}_f\) et de la droite \(y = x\).
- D’abord, \(f\) est un quotient de fonctions dérivables, avec \(x + 2 > 0\) sur \([0 \,;\, +\infty[\).
\(f^{\prime}(x) = \dfrac{4(x + 2) – (4x + 3) \times 1}{(x + 2)^2} = \dfrac{4x + 8 – 4x – 3}{(x + 2)^2} = \dfrac{5}{(x + 2)^2}\).
Pour tout \(x \geq\, 0\), \(f^{\prime}(x) > 0\), donc \(f\) est strictement croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\). - On calcule d’abord \(u_1 = f(0) = \dfrac{3}{2}\), puis \(u_2 = f(\dfrac{3}{2}) = \dfrac{6 + 3}{\frac{3}{2} + 2} = \dfrac{9}{\frac{7}{2}} = \dfrac{18}{7}\). \(u_1 = \frac{3}{2}\) et \(u_2 = \frac{18}{7}\).
Récurrence, convergence et limite
- Pour tout entier naturel \(n\), notons \(P(n)\) la propriété : « \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\) ».
Initialisation. On a \(u_0 = 0\) et \(u_1 = 1{,}5\), donc \(0 \leq\, u_0 \leq\, u_1 \leq\, 3\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Soit \(n\) un entier naturel tel que \(P(n)\) est vraie : \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\). Puisque \(f\) est croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\), on peut alors appliquer \(f\) sans changer le sens des inégalités : \(f(0) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(3)\).
Or \(f(0) = 1{,}5\), \(f(3) = \dfrac{15}{5} = 3\), \(f(u_n) = u_{n+1}\) et \(f(u_{n+1}) = u_{n+2}\). Donc \(1{,}5 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 3\), et a fortiori \(0 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 3\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. \(P(0)\) est vraie et \(P\) est héréditaire, donc pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\). - D’après d, pour tout \(n\), \(u_n \leq\, u_{n+1}\) : la suite est donc croissante. De plus, \(u_n \leq\, 3\) : elle est ainsi majorée par 3. D’après le théorème de convergence monotone, \((u_n)\) converge.
- D’abord, les inégalités \(0 \leq\, u_n \leq\, 3\) passent à la limite : \(0 \leq\, \ell \leq\, 3\). Ensuite, la fonction \(f\) est continue sur \([0 \,;\, +\infty[\) et \(u_{n+1} = f(u_n)\), donc \(\ell = f(\ell)\).
Or \(\dfrac{4\ell + 3}{\ell + 2} = \ell\) équivaut à \(4\ell + 3 = \ell^2 + 2\ell\), soit \(\ell^2 – 2\ell – 3 = 0\), c’est-à-dire \((\ell – 3)(\ell + 1) = 0\).
Donc \(\ell = 3\) ou \(\ell = -1\) ; comme \(\ell \geq\, 0\), la suite \((u_n)\) converge vers 3. - La ligne à compléter est
u = (4*u + 3) / (u + 2).
Ensuite, à la calculatrice : \(u_3 = \frac{93}{32} \approx 2{,}9063\) ; \(u_4 = \frac{468}{157} \approx 2{,}9809\) ; \(u_5 = \frac{2343}{782} \approx 2{,}9962\). Ainsi, \(u_4 \leq\, 2{,}99\) et \(u_5 > 2{,}99\).
Par conséquent, la fonction renvoie 5.
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,25 point par terme ; d) 0,5 point pour l’initialisation, 1 point pour l’hérédité (utilisation de la croissance de \(f\), calcul de \(f(0)\) et \(f(3)\)), 0,5 point pour la conclusion ; e) 0,5 point pour la monotonie et la majoration, 0,5 point pour le théorème cité ; f) 0,5 point pour la continuité et \(f(\ell) = \ell\), 0,5 point pour la résolution, 0,5 point pour le choix de la solution ; g) 0,75 point pour la ligne, 0,75 point pour la valeur 5.
Erreur fréquente : dans l’hérédité, écrire \(u_{n+1} \leq\, u_{n+2}\) sans dire que c’est la croissance de \(f\) qui le permet. En effet, c’est justement l’argument que le correcteur note.
Exercice 4 : Les truites de l’étang (5 points)
- \(u_1 = 1{,}5 \times 1{,}4 – 0{,}5 \times 1{,}4^2 = 2{,}1 – 0{,}98 = 1{,}12\).
\(u_2 = 1{,}5 \times 1{,}12 – 0{,}5 \times 1{,}12^2 = 1{,}68 – 0{,}6272 = 1{,}0528\).
\(u_1 = 1{,}12\) et \(u_2 = 1{,}0528\) : au 1er janvier 2027, l’étang devrait abriter 1 120 truites. - On a \(f^{\prime}(x) = 1{,}5 – x\), donc \(1{,}5 – x \geq\, 0\) pour \(x \leq\, 1{,}5\). \(f\) est croissante sur \([0 \,;\, 1{,}5]\).
- Pour tout entier naturel \(n\), notons \(P(n)\) : « \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 1{,}4\) ».
Initialisation. \(u_1 = 1{,}12\) et \(u_0 = 1{,}4\), donc \(1 \leq\, u_1 \leq\, u_0 \leq\, 1{,}4\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité. Supposons \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 1{,}4\). Or ces nombres sont dans \([0 \,;\, 1{,}5]\) où \(f\) est croissante, donc \(f(1) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(u_n) \leq\, f(1{,}4)\).
Or \(f(1) = 1{,}5 – 0{,}5 = 1\) et \(f(1{,}4) = 1{,}12\), donc \(1 \leq\, u_{n+2} \leq\, u_{n+1} \leq\, 1{,}12 \leq\, 1{,}4\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion. Pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_n \leq\, 1{,}4\). - La suite \((u_n)\) est décroissante et minorée par 1 : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel \(\ell\) tel que \(1 \leq\, \ell \leq\, 1{,}4\).
De plus, \(f\) est continue sur \([0 \,;\, 1{,}5]\) (fonction polynôme), donc \(f(\ell) = \ell\) : \(1{,}5\ell – 0{,}5\ell^2 = \ell\), soit \(0{,}5\ell – 0{,}5\ell^2 = 0\), c’est-à-dire \(0{,}5\ell(1 – \ell) = 0\).
Donc \(\ell = 0\) ou \(\ell = 1\) ; comme \(\ell \geq\, 1\), la suite \((u_n)\) converge vers 1. - Ainsi, à long terme, la population de truites diminue et se stabilise autour de 1 000 truites.
Barème : a) 0,25 point pour les calculs, 0,25 point pour l’interprétation ; b) 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour le signe ; c) 0,5 point pour l’initialisation, 0,75 point pour l’hérédité, 0,25 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour la convergence, 0,5 point pour l’équation, 0,5 point pour le choix de la limite ; e) 0,5 point.
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Après le corrigé du contrôle : suites récurrentes et continuité
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