Contrôle de maths Terminale : convexité et points d’inflexion

Exercice 1 : Associer une fonction à ses dérivées (4 points)

Calculatrice autorisée.

Une fonction \(f\) est définie et deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). On a tracé ci-dessous, sur l’intervalle \([-2{,}5 \,;\, 2{,}5]\), trois courbes \(\mathcal{C}_1\), \(\mathcal{C}_2\) et \(\mathcal{C}_3\) : l’une représente \(f\), une autre sa dérivée \(f^{\prime}\) et la dernière sa dérivée seconde \(f^{\prime\prime}\).

1. Associer chaque courbe à \(f\), à \(f^{\prime}\) et à \(f^{\prime\prime}\), en justifiant à l’aide des liens entre le signe d’une dérivée et les variations d’une fonction. (2 points)
2. En déduire, sur \([-2{,}5 \,;\, 2{,}5]\), l’intervalle sur lequel \(f\) est convexe et celui sur lequel elle est concave. (1 point)
3. La courbe de \(f\) admet-elle un point d’inflexion ? Si oui, donner ses coordonnées lues sur le graphique. (1 point)

Exercice 2 : Convexité d’une fonction polynôme (4 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1\) et on note \(\mathcal{C}_f\) sa courbe représentative dans un repère.

1. Calculer \(f^{\prime}(x)\) puis \(f^{\prime\prime}(x)\). (1 point)
2. Étudier la convexité de \(f\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
3. Montrer que \(\mathcal{C}_f\) admet un unique point d’inflexion \(A\) dont on donnera les coordonnées. (0,5 point)
4. Déterminer une équation de la tangente \(T\) à \(\mathcal{C}_f\) au point \(A\). (0,5 point)
5. Vérifier que, pour tout réel \(x\), \(f(x) – (-3x + 9) = (x – 2)^3\). En déduire la position de \(\mathcal{C}_f\) par rapport à \(T\), et expliquer pourquoi ce résultat était prévisible. (1 point)

Exercice 3 : Une inégalité de convexité (4 points)

1. Justifier que la fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\). (0,5 point)
2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de la fonction exponentielle au point d’abscisse 0. (0,5 point)
3. En déduire que, pour tout réel \(x\), \(e^x \geq\, 1 + x\). (1 point)
4. Soit \(n\) un entier naturel non nul. En appliquant l’inégalité précédente à \(x = \frac{1}{n}\), démontrer que \((1 + \frac{1}{n})^n \leq\, e\). (1,5 point)
5. À la calculatrice, donner une valeur approchée à \(10^{-4}\) près de \((1 + \frac{1}{100})^{100}\) et la comparer à celle de \(e\). (0,5 point)

Exercice 4 : Vrai ou faux sur la convexité (3 points)

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse, puis justifier. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. Affirmation 1 : « Si une fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) est convexe sur \(\mathbb{R}\), alors \(f^{\prime}\) est croissante sur \(\mathbb{R}\). » (1 point)
2. Affirmation 2 : « La courbe de la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x) = x^4\) admet un point d’inflexion à l’origine, car \(g^{\prime\prime}(0) = 0\). » (1 point)
3. Affirmation 3 : « La courbe de la fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x) = x e^x\) est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur l’intervalle \([-2 \,;\, +\infty[\). » (1 point)

Exercice 5 : Concentration d’un médicament (5 points)

Un patient reçoit un médicament par voie orale. La concentration du médicament dans son sang, en milligrammes par litre (mg/L), est modélisée \(t\) heures après la prise par la fonction \(f\) définie sur \([0 \,;\, 10]\) par \(f(t) = 4t e^{-0{,}5t}\). Sa courbe \(\mathcal{C}_f\) est tracée ci-dessous.

1. Montrer que, pour tout \(t\) de \([0 \,;\, 10]\), \(f^{\prime}(t) = (4 – 2t)e^{-0{,}5t}\). (1 point)
2. Dresser le tableau de variations de \(f\) sur \([0 \,;\, 10]\). À quel instant la concentration est-elle maximale ? Donner cette concentration maximale arrondie au centième. (1 point)
3. Montrer que, pour tout \(t\) de \([0 \,;\, 10]\), \(f^{\prime\prime}(t) = (t – 4)e^{-0{,}5t}\). (1 point)
4. Étudier la convexité de \(f\) sur \([0 \,;\, 10]\) et donner les coordonnées du point d’inflexion de \(\mathcal{C}_f\) (ordonnée arrondie au centième). (1 point)
5. Le médecin affirme : « Quatre heures après la prise, la concentration diminue le plus vite. » Justifier cette affirmation à l’aide de la question d, puis calculer la vitesse de diminution à cet instant, arrondie au centième. (1 point)

Réviser avant le contrôle : convexité et points d’inflexion

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La dérivée d’une fonction » en Terminale puis entraîne-toi avec les exercices corrigés dérivée d’une fonction.

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