Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : convexité et points d’inflexion.
Cette correction rédige chaque réponse comme on l’attend au bac. La méthode revient sans cesse : on calcule f »(x), on étudie son signe, puis on conclut sur la convexité. Un point d’inflexion n’existe que si la dérivée seconde change de signe : s’annuler ne suffit pas, comme le montre la fonction puissance quatre.
Pour situer une courbe par rapport à une tangente, on étudie le signe de la différence entre les deux expressions, ou on invoque directement la convexité. Le barème détaillé sépare la méthode, les calculs et la rédaction : compare-le à ta copie pour repérer où tu perds des points.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : convexité et points d’inflexion.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Associer une fonction à ses dérivées | 4 points |
| Exercice 2 : Convexité d’une fonction polynôme | 4 points |
| Exercice 3 : Une inégalité de convexité | 4 points |
| Exercice 4 : Vrai ou faux sur la convexité | 3 points |
| Exercice 5 : Concentration d’un médicament | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Associer une fonction à ses dérivées (4 points)
- On utilise la propriété : une fonction est croissante sur un intervalle où sa dérivée est positive, et décroissante là où sa dérivée est négative.
D’abord, la droite \(\mathcal{C}_3\) est négative sur \([-2{,}5 \,;\, 0]\) et positive sur \([0 \,;\, 2{,}5]\). Or la parabole \(\mathcal{C}_1\) est décroissante sur \([-2{,}5 \,;\, 0]\) et croissante sur \([0 \,;\, 2{,}5]\) : \(\mathcal{C}_3\) peut donc représenter la dérivée de la fonction représentée par \(\mathcal{C}_1\).
Ensuite, la parabole \(\mathcal{C}_1\) est positive sur \([-2{,}5 \,;\, -1]\), négative sur \([-1 \,;\, 1]\) et positive sur \([1 \,;\, 2{,}5]\). De même, la courbe \(\mathcal{C}_2\) est croissante sur \([-2{,}5 \,;\, -1]\), décroissante sur \([-1 \,;\, 1]\) et croissante sur \([1 \,;\, 2{,}5]\). Ainsi, \(\mathcal{C}_1\) représente la dérivée de la fonction représentée par \(\mathcal{C}_2\).
Enfin \(\mathcal{C}_3\) ne peut pas représenter \(f\), car sa dérivée serait constante, ce qui n’est le cas d’aucune des deux autres courbes.
\(\mathcal{C}_2\) représente \(f\), \(\mathcal{C}_1\) représente \(f^{\prime}\) et \(\mathcal{C}_3\) représente \(f^{\prime\prime}\). -
Questions b et c : convexité et point d’inflexion
\(f\) est convexe là où \(f^{\prime\prime}\) est positive, concave là où elle est négative. D’après \(\mathcal{C}_3\), \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) sur \([-2{,}5 \,;\, 0]\) et \(f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\) sur \([0 \,;\, 2{,}5]\). On le retrouve d’ailleurs sur \(\mathcal{C}_1\) : \(f^{\prime}\) est décroissante puis croissante.
\(f\) est concave sur \([-2{,}5 \,;\, 0]\) et convexe sur \([0 \,;\, 2{,}5]\). - La dérivée seconde s’annule en 0 en changeant de signe, donc la courbe de \(f\) change de convexité en 0. Elle admet ainsi un point d’inflexion d’abscisse 0. Puis on lit sur \(\mathcal{C}_2\) que \(f(0) = 0\).
La courbe de \(f\) admet un point d’inflexion : l’origine \(O(0 \,;\, 0)\).
Barème : a) 2 points : 0,5 point par association correcte (1,5 point), 0,5 point pour une justification fondée sur le lien signe de la dérivée / variations ; b) 0,5 point par intervalle ; c) 0,5 point pour le changement de signe de \(f^{\prime\prime}\), 0,5 point pour les coordonnées.
Erreur fréquente : associer \(f^{\prime}\) à une courbe parce qu’elle « ressemble » à \(f\). Seule compte la correspondance entre le signe de l’une et les variations de l’autre.
Exercice 2 : Convexité d’une fonction polynôme (4 points)
- \(f\) est une fonction polynôme, donc dérivable deux fois sur \(\mathbb{R}\).
\(f^{\prime}(x) = 3x^2 – 12x + 9\) et \(f^{\prime\prime}(x) = 6x – 12\). - \(6x – 12 \geq\, 0\) équivaut à \(x \geq\, 2\). Donc \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) sur \(]-\infty \,;\, 2]\) et \(f^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\) sur \([2 \,;\, +\infty[\).
\(f\) est concave sur \(]-\infty \,;\, 2]\) et convexe sur \([2 \,;\, +\infty[\). - \(f^{\prime\prime}\) s’annule uniquement en 2, en changeant de signe : \(\mathcal{C}_f\) admet donc un unique point d’inflexion, d’abscisse 2.
Alors \(f(2) = 8 – 24 + 18 + 1 = 3\). Le point d’inflexion est \(A(2 \,;\, 3)\). - \(f^{\prime}(2) = 12 – 24 + 9 = -3\). Ainsi, la tangente en \(A\) a pour équation \(y = f^{\prime}(2)(x – 2) + f(2)\), soit \(y = -3(x – 2) + 3\).
\(T : y = -3x + 9\). -
Question e : position de la courbe par rapport à T
D’une part \(f(x) – (-3x + 9) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1 + 3x – 9 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8\).
D’autre part \((x – 2)^3 = x^3 – 3 \times x^2 \times 2 + 3 \times x \times 2^2 – 2^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8\). L’égalité est donc vérifiée.
Or un cube a le signe de ce qu’il contient : \((x – 2)^3 \leq\, 0\) pour \(x \leq\, 2\) et \((x – 2)^3 \geq\, 0\) pour \(x \geq\, 2\).
\(\mathcal{C}_f\) est au-dessous de \(T\) sur \(]-\infty \,;\, 2]\) et au-dessus de \(T\) sur \([2 \,;\, +\infty[\) : la courbe traverse sa tangente en \(A\).
C’était prévisible. En effet, sur \(]-\infty \,;\, 2]\), \(f\) est concave, donc sa courbe est au-dessous de ses tangentes ; sur \([2 \,;\, +\infty[\), elle est convexe, donc au-dessus. C’est ainsi la caractéristique d’un point d’inflexion.
Barème : a) 0,5 point par dérivée ; b) 0,5 point pour le signe de \(f^{\prime\prime}\), 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,25 point pour le changement de signe, 0,25 point pour les coordonnées ; d) 0,5 point pour l’équation ; e) 0,5 point pour le développement, 0,25 point pour la position, 0,25 point pour le lien avec la convexité.
Exercice 3 : Une inégalité de convexité (4 points)
- La fonction exponentielle est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\exp^{\prime\prime}(x) = e^x\). Comme \(e^x > 0\) pour tout réel \(x\), la fonction exponentielle est convexe sur \(\mathbb{R}\).
- La tangente au point d’abscisse 0 a pour équation \(y = e^0(x – 0) + e^0\). Son équation est donc \(y = x + 1\).
- Une fonction convexe sur un intervalle a sa courbe au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle. La courbe de l’exponentielle est donc au-dessus de sa tangente d’équation \(y = x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
Pour tout réel \(x\), \(e^x \geq\, 1 + x\). - Avec \(x = \frac{1}{n}\) : \(e^{\frac{1}{n}} \geq\, 1 + \frac{1}{n}\).
Les deux membres sont strictement positifs, et la fonction \(x \mapsto x^n\) est croissante sur \([0 \,;\, +\infty[\). On peut donc élever les deux membres à la puissance \(n\) sans changer le sens de l’inégalité : \((e^{\frac{1}{n}})^n \geq\, (1 + \frac{1}{n})^n\).
Or \((e^{\frac{1}{n}})^n = e^{n \times \frac{1}{n}} = e^1 = e\). Pour tout entier \(n \geq\, 1\), \((1 + \frac{1}{n})^n \leq\, e\). - À la calculatrice : \(1{,}01^{100} \approx 2{,}7048\) et \(e \approx 2{,}7183\). On a bien \((1 + \frac{1}{100})^{100} \approx 2{,}7048 < e \approx 2{,}7183\) ; les deux nombres sont proches.
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point pour la propriété de position par rapport aux tangentes, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour la substitution, 0,5 point pour la justification du passage à la puissance \(n\), 0,5 point pour le calcul de \((e^{\frac{1}{n}})^n\) ; e) 0,5 point.
Exercice 4 : Vrai ou faux sur la convexité (3 points)
- Affirmation 1 : vraie. C’est en effet une propriété du cours : une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée y est croissante.
- Affirmation 2 : fausse. \(g^{\prime}(x) = 4x^3\) et \(g^{\prime\prime}(x) = 12x^2\). On a bien \(g^{\prime\prime}(0) = 0\), mais \(12x^2 \geq\, 0\) pour tout réel \(x\). Ainsi, \(g^{\prime\prime}\) ne change pas de signe, donc \(g\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) tout entier et sa courbe n’a pas de point d’inflexion. Il ne suffit pas que la dérivée seconde s’annule, il faut qu’elle change de signe.
- Affirmation 3 : vraie. Par dérivation d’un produit, \(k^{\prime}(x) = e^x + x e^x = (1 + x)e^x\), puis \(k^{\prime\prime}(x) = e^x + (1 + x)e^x = (x + 2)e^x\). Sur \([-2 \,;\, +\infty[\), \(x + 2 \geq\, 0\) et \(e^x > 0\), donc \(k^{\prime\prime}(x) \geq\, 0\). Alors \(k\) est convexe sur cet intervalle, et sa courbe y est au-dessus de chacune de ses tangentes.
Barème : pour chaque affirmation, 0,25 point pour la bonne réponse et 0,75 point pour la justification (propriété citée ; contre-exemple expliqué par l’absence de changement de signe ; calcul de \(k^{\prime\prime}\) et étude de son signe).
Exercice 5 : Concentration d’un médicament (5 points)
- On pose \(u(t) = 4t\) et \(v(t) = e^{-0{,}5t}\), avec \(u^{\prime}(t) = 4\) et \(v^{\prime}(t) = -0{,}5e^{-0{,}5t}\).
\(f^{\prime}(t) = u^{\prime}(t)v(t) + u(t)v^{\prime}(t) = 4e^{-0{,}5t} + 4t \times (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = 4e^{-0{,}5t} – 2t e^{-0{,}5t}\).
\(f^{\prime}(t) = (4 – 2t)e^{-0{,}5t}\). - Comme \(e^{-0{,}5t} > 0\), \(f^{\prime}(t)\) a le signe de \(4 – 2t\) : positif sur \([0 \,;\, 2]\), négatif sur \([2 \,;\, 10]\).
Ensuite, \(f(0) = 0\), \(f(2) = 8e^{-1} \approx 2{,}94\) et \(f(10) = 40e^{-5} \approx 0{,}27\).\(t\) 0 2 10 signe de \(f^{\prime}(t)\) + 0 − variations de \(f\) 0 croissante \(8e^{-1}\) décroissante \(40e^{-5}\) La concentration est maximale 2 heures après la prise ; elle vaut alors \(8e^{-1} \approx 2{,}94\) mg/L.
-
Questions c et d : dérivée seconde et convexité
On dérive \(f^{\prime}(t) = (4 – 2t)e^{-0{,}5t}\) comme un produit :
\(f^{\prime\prime}(t) = -2e^{-0{,}5t} + (4 – 2t) \times (-0{,}5)e^{-0{,}5t} = (-2 – 2 + t)e^{-0{,}5t}\).
\(f^{\prime\prime}(t) = (t – 4)e^{-0{,}5t}\). - \(f^{\prime\prime}(t)\) a le signe de \(t – 4\) : négatif sur \([0 \,;\, 4]\), positif sur \([4 \,;\, 10]\). \(f\) est concave sur \([0 \,;\, 4]\) et convexe sur \([4 \,;\, 10]\).
De plus, \(f^{\prime\prime}\) s’annule en 4 en changeant de signe, et \(f(4) = 16e^{-2} \approx 2{,}17\). Le point d’inflexion a pour coordonnées \((4 \,;\, 16e^{-2})\), soit environ \((4 \,;\, 2{,}17)\). - D’après la question d, \(f^{\prime\prime}\) est négative sur \([0 \,;\, 4]\) puis positive sur \([4 \,;\, 10]\). Ainsi, \(f^{\prime}\) est décroissante puis croissante, elle atteint donc son minimum en \(t = 4\). Sur \([2 \,;\, 10]\), \(f^{\prime}\) est négative, et c’est en \(t = 4\) qu’elle est la plus négative : la concentration y diminue le plus vite. L’affirmation du médecin est donc justifiée.
Enfin, \(f^{\prime}(4) = (4 – 8)e^{-2} = -4e^{-2} \approx -0{,}54\). Quatre heures après la prise, la concentration diminue d’environ \(0{,}54\) mg/L par heure.
Barème : a) 0,5 point pour la formule du produit, 0,5 point pour la factorisation ; b) 0,5 point pour le signe et le tableau, 0,5 point pour l’instant et la valeur ; c) 1 point (0,5 point pour la dérivation, 0,5 point pour la factorisation) ; d) 0,5 point pour la convexité, 0,5 point pour le point d’inflexion ; e) 0,5 point pour le minimum de \(f^{\prime}\), 0,5 point pour la valeur de \(f^{\prime}(4)\).
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Après le corrigé du contrôle : convexité et points d’inflexion
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