Voici tous les exercices bac de maths des annales sur l’arithmétique et les matrices, classés du plus récent au plus ancien.
Réservés aux élèves qui avaient choisi la spécialité maths en terminale S, ces exercices d’arithmétique et matrices au bac formaient l’exercice de spécialité des anciens sujets. Cette page en rassemble 19, extraits des épreuves de 2006 à 2020.
Côté arithmétique, on y travaille la divisibilité, les congruences, le PGCD et l’algorithme d’Euclide, les théorèmes de Bézout et de Gauss, souvent pour résoudre une équation diophantienne ou étudier un chiffrement. Côté matrices, il s’agit de modéliser une évolution par \(U_{n+1} = AU_n\), de calculer des puissances et d’étudier la limite d’une suite de matrices.
Ces notions relèvent aujourd’hui de l’option maths expertes et ne sont plus évaluées à l’épreuve de spécialité. Elles restent un excellent entraînement au raisonnement. Liste du plus récent au plus ancien ; corrigé en bas de page. Ils intéresseront particulièrement les élèves de maths expertes et ceux qui préparent une classe préparatoire scientifique.
Exercices bac de maths par thème · Corrigé bac de maths : Arithmétique et matrices
Exercices bac de maths : les 19 exercices des annales sur l'arithmétique et les matrices
Session 2020
Antilles-Guyane (septembre) · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Équation de Pell-Fermat \(x^2-5y^2=1\) : parité, nombres premiers entre eux et congruences modulo 5. Par ailleurs, solutions générées par une matrice et divisibilité par 9.
France (septembre) · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Entiers \(a_n=6\times 5^n-2\) et \(b_n=3\times 5^n+1\) : congruences, PGCD et divisibilité par 7. Ensuite, algorithme corrigé et suites couplées écrites avec une matrice.
Nouvelle-Calédonie · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Vrai/faux de spécialité : équation diophantienne, reste d’une division euclidienne et équation en entiers. Enfin, carré d’une matrice et puissances de matrice.
Polynésie (septembre) · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Puissances d’une matrice 3×3 et suites couplées : diagonalisation et récurrence \(A^n=PD^nP^{-1}\). En outre, expression de \(a_n\) et congruences modulo 5.
Session 2019
France · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Matrices entières de déterminant \(ad-bc=1\) : équation diophantienne \(5x-2y=1\) et nombres premiers entre eux. Puis, conservation du PGCD et suites d’entiers.
Liban · Exercice 4 · 5 points Bac S
Bassins d’une œuvre aquatique en spécialité : suites matricielles \(U_{n+1}=MU_n+C\), diagonalisation et puissances de matrice par récurrence. Enfin, limites et contenance à prévoir.
Session 2018
Pondichéry · Exercice 5 · 5 points Bac S
Chiffre de Rabin : codage de lettres modulo 33 et congruences. Par ailleurs, théorème de Gauss et résolution de systèmes de congruences pour décrypter un message.
Session 2017
Centres étrangers · Exercice 4 · 5 points Bac S
Arbre de Stern-Brocot construit par produits de matrices : fractions associées et déterminant égal à 1. Enfin, irréductibilité des fractions par Bézout.
France · Exercice 4 Bac S – spécialité
Triangles rectangles presque isocèles : équation \(y^2=2x^2+2x+1\), parité et théorème de Bézout. En outre, suites définies par une relation matricielle et récurrence.
Session 2013
France · Exercice 4 · 5 points Bac S – spécialité
Migrations entre ville et campagne : suites couplées écrites \(U_{n+1}=AU_n\) et diagonalisation \(P^{-1}AP=D\). Puis, récurrence sur \(A^n\) et évolution de la population.
Session 2012
Amérique du Nord · Exercice 4 Bac S
Application complexe \(z\mapsto z^2\) : points invariants, forme exponentielle, antécédents et ensembles de points. De plus, triangle rectangle isocèle, avec une variante de spécialité sur similitude et arithmétique.
Antilles-Guyane · Exercice 4 · 5 points Bac S
Équation diophantienne \(11x-5y=14\), congruences modulo 7 pour \(2011^{2012}\), similitude du plan complexe et algorithme de recherche des diviseurs.
France · Exercice 4 · 5 points Bac S – spécialité
Spécialité : similitude directe et transformation complexe \(z\mapsto \frac{1}{(1+i)z+3-i}\) appliquée à une droite.
France · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Plan complexe : points d’une droite et similitude \(z\mapsto (1+\mathrm{i})z+3-\mathrm{i}\). Enfin, inversion \(z\mapsto \dfrac1z\) transformant une droite en cercle.
Liban · Exercice 4 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Suite de points \(z_{n+1}=\frac{1+i}{2}z_n+1\) : similitude directe et triangles rectangles isocèles. En outre, suite géométrique des distances et rang de seuil.
Polynésie · Exercice 5 · 5 points Bac S
Codage par puissances modulo 133 : équation diophantienne \(25x-108y=1\), théorème de Gauss et petit théorème de Fermat. Ensuite, congruences et décodage d’un message.
Session 2009
France · Exercice 4 (spécialité) Bac S – spécialité
Arithmétique de spécialité : équation diophantienne \(8x-5y=3\), théorème de Gauss et congruences modulo 40. Enfin, 7, reste de \(2^{2009}\) et nombres divisibles par 7.
Session 2007
France · Exercice 3 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Corrigé de spécialité : similitude directe de centre A, réflexion d’écriture \(z^{\prime}=-i\overline{z}+1+i\) et orthocentre. Par ailleurs, cercle circonscrit et alignement par homothétie.
Session 2006
France · Exercice 3 (spécialité) · 5 points Bac S – spécialité
Théorèmes de Bézout et de Gauss, algorithme d’Euclide et résolution d’un système de congruences modulo 19 et modulo 12.
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Questions fréquentes
L’arithmétique et les matrices sont-elles encore au bac ?
Non à l’épreuve de spécialité mathématiques : depuis 2021, ces notions sont enseignées dans l’option maths expertes, évaluée en contrôle continu. Ces exercices proviennent des anciens sujets de spécialité de la série S.
Comment résoudre une équation du type ax + by = c ?
On trouve une solution particulière, souvent grâce à l’algorithme d’Euclide, puis on soustrait les deux égalités et on applique le théorème de Gauss pour obtenir toutes les solutions entières.
À quoi servent les matrices dans ces exercices ?
Elles modélisent des évolutions couplées, comme deux populations ou des transitions entre états. On écrit \(U_{n+1} = AU_n\), d’où \(U_n = A^n U_0\), puis on étudie le comportement à long terme.
Ces exercices sont-ils utiles pour les maths expertes ?
Oui, ils correspondent largement au contenu de l’option. Ils fournissent de nombreux problèmes corrigés pour s’entraîner sur les congruences, le PGCD et les suites matricielles.
