Bac maths 2026 Polynésie J2 : sujet et corrigé

Voici le sujet du jour 2 du bac de spécialité mathématiques 2026 en Polynésie, posé le 17 juin 2026, avec l’énoncé intégral et son corrigé détaillé. Le premier exercice porte sur l’orientation des élèves de spécialité maths vers les études d’ingénieur : arbre pondéré et probabilités conditionnelles, loi binomiale avec un seuil de 0,99, puis somme de dix variables aléatoires et inégalité de Bienaymé-Tchebychev. Le deuxième étudie la fonction \(x \mapsto \ln(8x^3 – 1)\), l’unique solution de \(f(x) = x\) et une suite récurrente qui converge vers elle, avec une fonction Python dont la boucle ne s’arrête jamais pour certaines valeurs. Le troisième, en géométrie dans l’espace, traite de plans perpendiculaires et d’un projeté orthogonal sur une droite. Le dernier est un vrai-faux : concavité, répartition de 24 rapaces en groupes, équation différentielle, limite et aire entre deux courbes.

Entraînez-vous avec les autres annales corrigées réunies sur notre page consacrée au bac maths 2027.

BACCALAURÉAT GÉNÉRAL — ÉPREUVE D’ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ — SESSION 2026
Mathématiques — Jour 2
Polynésie — 17 juin 2026
Durée de l’épreuve : 4 heures

Exercice 1 (5 points)

Dans cet exercice, on s’intéresse à la part des filles et des garçons s’orientant vers des études scientifiques après avoir suivi un enseignement de spécialité mathématiques en terminale.

Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Dans une académie donnée, la population est constituée d’élèves de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques. On souhaite analyser leurs choix d’orientation, notamment vers les études supérieures en ingénierie.

Les répartitions sont les suivantes :

40 % sont des filles ; 60 % sont des garçons ;
parmi les filles, 33,75 % envisagent des études d’ingénieur ;
parmi les garçons, 54,25 % envisagent des études d’ingénieur.

On interroge uniformément au hasard un élève de terminale ayant choisi la spécialité mathématiques de cette académie et on considère les évènements suivants :

\(F\) : « L’élève est une fille » ;
\(I\) : « L’élève envisage des études d’ingénieur ».

Pour un évènement \(E\) quelconque, on note \(\overline{E}\) l’évènement contraire et \(P(E)\) la probabilité de \(E\).

1. Représenter cette situation à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Calculer la probabilité que l’élève choisi au hasard soit une fille envisageant des études d’ingénieur.

3. Démontrer que la probabilité que l’élève choisi au hasard envisage des études d’ingénieur est égale à \(0{,}4605\).

4. L’élève interrogé envisage des études d’ingénieur. Quelle est la probabilité qu’il s’agisse d’une fille ?
Donner une valeur approchée du résultat à \(10^{-3}\) près.

Partie B

Dans cette partie, on considère un entier naturel \(n\) non nul.

On interroge uniformément au hasard dans cette académie \(n\) filles en terminale, qu’elles suivent ou non la spécialité mathématiques. On suppose que ce nombre de filles est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à des tirages indépendants avec remise.

On note \(X\) la variable aléatoire qui modélise le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure qu’elle suive ou non la spécialité mathématiques.

On admet que la probabilité qu’une fille souhaite devenir ingénieure est égale à \(0{,}15\).

1. a. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale.

b. Exprimer en fonction de \(n\) l’espérance de \(X\).

2. En résolvant une inéquation, déterminer le plus petit nombre de lycéennes qu’il faut interroger pour que la probabilité de l’évènement « Au moins une fille parmi celles interrogées souhaite devenir ingénieure » soit supérieure ou égale à \(0{,}99\).

3. Dans cette question, on choisit un échantillon de \(n = 29\) filles.

Déterminer la probabilité qu’au moins le quart des filles interrogées souhaite devenir ingénieure. Donner une valeur approchée du résultat à \(10^{-3}\) près.

Partie C

On s’intéresse à dix académies françaises de tailles comparables numérotées de 1 à 10.

On considère \(X_1\) la variable aléatoire qui, à un échantillon de 1 500 lycéennes de l’académie n° 1, associe le nombre de filles envisageant de devenir ingénieure.

On définit de la même façon les variables aléatoires \(X_2, \dots, X_{10}\) pour les académies 2 à 10.

On admet que les variables aléatoires \(X_1, X_2, \dots, X_{10}\) sont indépendantes entre elles et qu’elles admettent la même espérance égale à 225 et la même variance égale à \(191{,}25\).

On considère la variable aléatoire \(S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}\).

1. Que représente la variable aléatoire \(S\) pour les 15 000 lycéennes interrogées sur l’ensemble des dix académies ?

2. Calculer l’espérance et la variance de \(S\).

3. On considère l’ensemble des 15 000 lycéennes formé par les échantillons issus des dix académies.

Argumenter pour dire si l’affirmation suivante est vraie, fausse ou si on ne peut pas savoir : « La probabilité que le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure soit strictement compris entre 2 000 et 2 500 est supérieure à \(0{,}95\) ».

Exercice 2 (5 points)

Dans cet exercice, les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in [4\ ;\ 10]\) par \(f(x) = \ln(8x^3 – 1)\).

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \([4\ ;\ 10]\) et on note \(f^{\prime}\) sa fonction dérivée.

1. Montrer pour tout \(x \in [4\ ;\ 10]\), on a :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}.\]

2. a. En déduire que \(f\) est croissante sur \([4\ ;\ 10]\).

b. Montrer que, pour tout \(x \in [4\ ;\ 10]\), on a :

\[4 \leq\, f(x) \leq\, 10.\]

3. On définit la fonction \(g\) définie pour tout \(x \in [4\ ;\ 10]\) par \(g(x) = f(x) – x\).

On admet que \(g\) est strictement décroissante sur son ensemble de définition.

a. Montrer que, sur l’intervalle \([4\ ;\ 10]\), l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\).

b. Déterminer un encadrement à \(10^{-3}\) près de \(\alpha\).

Partie B

On admet qu’on peut définir la suite \((u_n)\) par \(u_0 = 5\) et pour tout entier naturel \(n\), par \(u_{n+1} = f(u_n)\), où \(f\) est la fonction étudiée à la partie A.

1. Donner une valeur approchée de \(u_1\) à \(10^{-1}\) près.

2. a. Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on a :

\[4 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 10.\]

b. En déduire que la suite \((u_n)\) converge.

3. Montrer que la suite \((u_n)\) converge vers le nombre \(\alpha\), défini dans la partie A.

Partie C

Dans cette partie, on admet que \(8{,}4 \leq\, \alpha \leq\, 8{,}5\).

On a créé, en langage Python, la fonction alpha suivante.

On précise qu’en langage Python, l’instruction log correspond à \(\ln\).

def f(x) :
    return log(8*x**3 - 1)

def alpha(a):
    n = 0
    u = 5
    while u < a:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n

1. On admet que alpha(8.499) renvoie la valeur 11.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

2. Un utilisateur exécute alpha(8.6).

Expliquer pourquoi aucune valeur n’est alors renvoyée.

Exercice 3 (5 points)

Dans l’espace muni d’un repère orthonormal \((\text{O}\ ;\ \vec{\imath},\ \vec{\jmath},\ \vec{k})\), on considère les points :

\(\text{A}(-1\ ;\ 1\ ;\ 1)\), \(\text{B}(1\ ;\ -6\ ;\ -1)\) et \(\text{C}(-5\ ;\ 2\ ;\ 3)\).

1. a. Démontrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.

b. Démontrer que le vecteur \(\vec{n}\begin{pmatrix}6\\-2\\13\end{pmatrix}\) est normal au plan (ABC).

c. En déduire que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne :

\[6x – 2y + 13z – 5 = 0.\]

2. On considère le plan \((P)\) d’équation cartésienne \(8x – 2y – 4z + 18 = 0\).

On admet que deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.

Démontrer que les plans (ABC) et \((P)\) sont perpendiculaires.

3. Soit \((d)\) une droite dont une représentation paramétrique est :

\[\{\begin{array}{l}x = -4 + t\\y = -11 + 6t\\z = 2 – t\end{array}., \quad t \in \mathbb{R}.\]

Démontrer que la droite \((d)\) intersecte le plan (ABC) en un unique point qu’on nommera E, et qui a pour coordonnées \(\text{E}(-3\ ;\ -5\ ;\ 1)\).

4. Soit \(\text{H}(-2\ ;\ 1\ ;\ 0)\).

a. Montrer que H est le projeté orthogonal de A sur \((d)\).

b. En déduire la distance du point A à la droite \((d)\).

c. Montrer que le triangle AHE est rectangle et que son aire est égale à \(\sqrt{19}\) unités d’aire.

Exercice 4 (5 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

1. On considère la fonction \(f\) définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par \(f(x) = x\,\text{e}^{(x^2)}\).

Affirmation 1 : \(f\) est concave sur \(]-\infty\ ;\ 0]\).

2. Un refuge spécialisé accueille 24 rapaces numérotés de 1 à 24. Le refuge travaille avec trois vétérinaires. Afin d’administrer un soin à tous les oiseaux, le directeur veut donc former trois groupes, numérotés de 1 à 3, constitués chacun de 8 rapaces.

Affirmation 2 : Le nombre de façons de répartir les rapaces dans les groupes 1 à 3 est :

\[\dfrac{24!}{(8!)^3}.\]

3. Soit \(f\) une fonction définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), solution de l’équation différentielle :

\[y^{\prime} = -y + 1 \text{ sur } \mathbb{R}.\]

Affirmation 3 : La fonction \(g\) définie pour tout \(x \in \mathbb{R}\) par \(g(x) = f(x) – 1\) vérifie

\[g^{\prime} = -g.\]

4. La suite \((u_n)\) est définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par :

\[u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}.\]

Affirmation 4 : La suite \((u_n)\) n’admet pas de limite.

5. On a tracé ci-dessous la parabole d’équation \(y = -x^2 + 4x + 1\) et la droite d’équation \(y = x + 1\).

Affirmation 5 : L’aire du domaine grisé est égale à \(6{,}5\) unités d’aire.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Partie A

1. On traduit les données : \(P(F) = 0{,}4\), \(P(\overline{F}) = 0{,}6\), \(P_F(I) = 0{,}3375\) et \(P_{\overline{F}}(I) = 0{,}5425\). Par complément, \(P_F(\overline{I}) = 1 – 0{,}3375 = 0{,}6625\) et \(P_{\overline{F}}(\overline{I}) = 1 – 0{,}5425 = 0{,}4575\).

L’arbre pondéré comporte donc :

une branche vers \(F\) de probabilité 0,4, suivie d’une branche vers \(I\) (0,3375) et d’une branche vers \(\overline{I}\) (0,6625) ;
une branche vers \(\overline{F}\) de probabilité 0,6, suivie d’une branche vers \(I\) (0,5425) et d’une branche vers \(\overline{I}\) (0,4575).

2. On cherche \(P(F \cap I)\). En suivant le chemin \(F\) puis \(I\) de l’arbre :

\[P(F \cap I) = P(F)\times P_F(I) = 0{,}4 \times 0{,}3375 = 0{,}135.\]

La probabilité que l’élève soit une fille envisageant des études d’ingénieur est 0,135.

3. \(F\) et \(\overline{F}\) forment une partition de l’univers ; la formule des probabilités totales donne :

\[P(I) = P(F \cap I) + P(\overline{F} \cap I) = 0{,}135 + 0{,}6 \times 0{,}5425 = 0{,}135 + 0{,}3255 = 0{,}4605.\]

On obtient bien \(P(I) = 0{,}4605\).

4. On cherche la probabilité conditionnelle \(P_I(F)\) :

\[P_I(F) = \dfrac{P(F \cap I)}{P(I)} = \dfrac{0{,}135}{0{,}4605} \approx 0{,}29316.\]

Sachant que l’élève envisage des études d’ingénieur, la probabilité que ce soit une fille est environ 0,293.

Partie B

1. a. Interroger une fille est une épreuve à deux issues : le succès « elle souhaite devenir ingénieure », de probabilité \(p = 0{,}15\), et l’échec. On répète cette épreuve \(n\) fois de façon identique et indépendante (le prélèvement est assimilé à des tirages avec remise). \(X\) compte le nombre de succès : \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(0{,}15\).

b. L’espérance d’une loi binomiale \(\mathcal{B}(n\ ;\ p)\) vaut \(np\), donc \(\text{E}(X) = 0{,}15\,n\).

2. L’évènement « au moins une fille souhaite devenir ingénieure » est \(X \geq\, 1\), dont l’évènement contraire est \(X = 0\) (aucune ne le souhaite). Ainsi \(P(X \geq\, 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0{,}85^n\).

\[1 – 0{,}85^n \geq\, 0{,}99 \iff 0{,}85^n \leq\, 0{,}01 \iff n\ln(0{,}85) \leq\, \ln(0{,}01) \iff n \geq\, \dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)}.\]

(La fonction \(\ln\) est strictement croissante ; on change le sens de l’inégalité en divisant par \(\ln(0{,}85) \lt 0\).)

Or \(\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}85)} \approx 28{,}34\). Le plus petit entier qui convient est 29 : il faut interroger au moins 29 lycéennes. Contrôle : \(1 – 0{,}85^{28} \approx 0{,}9894\) et \(1 – 0{,}85^{29} \approx 0{,}9910\).

3. Ici \(X\) suit la loi \(\mathcal{B}(29\ ;\ 0{,}15)\). Le quart de 29 vaut \(7{,}25\) ; comme \(X\) est un entier, « au moins le quart » signifie \(X \geq\, 8\).

\[P(X \geq\, 8) = 1 – P(X \leq\, 7) \approx 1 – 0{,}9414 \approx 0{,}0586.\]

La probabilité qu’au moins le quart des 29 filles souhaite devenir ingénieure est environ 0,059.

Partie C

1. Chaque \(X_i\) compte les filles envisageant de devenir ingénieure dans l’échantillon de 1 500 lycéennes de l’académie \(i\). En les additionnant, \(S\) donne le nombre total de filles envisageant de devenir ingénieure parmi les 15 000 lycéennes interrogées dans les dix académies.

2. Par linéarité de l’espérance : \(\text{E}(S) = \text{E}(X_1) + \cdots + \text{E}(X_{10}) = 10 \times 225 = 2\,250\).

Les variables étant indépendantes, la variance de leur somme est la somme de leurs variances : \(\text{V}(S) = 10 \times 191{,}25 = 1\,912{,}5\).

\(\text{E}(S) = 2\,250\) et \(\text{V}(S) = 1\,912{,}5\).

3. L’intervalle \(]2\,000\ ;\ 2\,500[\) est centré sur l’espérance \(2\,250\) avec un écart de 250 : \(2\,000 \lt S \lt 2\,500 \iff |S – 2\,250| \lt 250\).

D’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel \(\delta \gt 0\), \(P(|S – \text{E}(S)| \geq\, \delta) \leq\, \dfrac{\text{V}(S)}{\delta^2}\). Avec \(\delta = 250\) :

\[P(|S – 2\,250| \geq\, 250) \leq\, \dfrac{1\,912{,}5}{62\,500} = 0{,}0306.\]

En passant à l’évènement contraire :

\[P(2\,000 \lt S \lt 2\,500) = 1 – P(|S – 2\,250| \geq\, 250) \geq\, 1 – 0{,}0306 = 0{,}9694.\]

Comme \(0{,}9694 \gt 0{,}95\), l’affirmation est vraie, et on peut l’affirmer sans connaître la loi de \(S\).

Exercice 2 :

Partie A

1. Posons \(u(x) = 8x^3 – 1\) ; sur \([4\ ;\ 10]\), \(u(x) \geq\, 8\times 64 – 1 = 511 \gt 0\) et \(u^{\prime}(x) = 24x^2\). Avec \((\ln u)^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{u}\) :

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{24x^2}{8x^3 – 1}.\]

Reste à factoriser le dénominateur. En développant : \((2x – 1)(4x^2 + 2x + 1) = 8x^3 + 4x^2 + 2x – 4x^2 – 2x – 1 = 8x^3 – 1\). D’où

\[f^{\prime}(x) = \dfrac{24x^2}{(2x-1)(4x^2+2x+1)}.\]

2. a. Pour \(x \in [4\ ;\ 10]\) : \(24x^2 \gt 0\), \(2x – 1 \geq\, 7 \gt 0\) et \(4x^2 + 2x + 1 \gt 0\) (somme de termes positifs). Donc \(f^{\prime}(x) \gt 0\) sur \([4\ ;\ 10]\) et \(f\) est (strictement) croissante sur \([4\ ;\ 10]\).

b. Soit \(x \in [4\ ;\ 10]\). Puisque \(f\) est croissante, \(f(4) \leq\, f(x) \leq\, f(10)\), avec

\[f(4) = \ln(511) \approx 6{,}24 \qquad \text{et} \qquad f(10) = \ln(7\,999) \approx 8{,}99.\]

On a \(4 \leq\, 6{,}24\) et \(8{,}99 \leq\, 10\) (ou, sans calculatrice : \(\text{e}^4 \approx 54{,}6 \lt 511\) et \(7\,999 \lt \text{e}^{10} \approx 22\,026\)). Donc \(4 \leq\, f(x) \leq\, 10\) pour tout \(x \in [4\ ;\ 10]\).

3. a. \(g\) est continue sur \([4\ ;\ 10]\) (différence de fonctions dérivables) et strictement décroissante (admis). De plus :

\(g(4) = \ln(511) – 4 \approx 2{,}24 \gt 0\) ;
\(g(10) = \ln(7\,999) – 10 \approx -1{,}01 \lt 0\).

0 est compris entre \(g(10)\) et \(g(4)\) ; d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([4\ ;\ 10]\).

b. On affine l’encadrement à la calculatrice (tableau de valeurs de pas de plus en plus petit) : \(g(8{,}499) \approx 8{,}3\times 10^{-5} \gt 0\) et \(g(8{,}500) \approx -5{,}6\times 10^{-4} \lt 0\). Comme \(g\) est décroissante, \(8{,}499 \lt \alpha \lt 8{,}500\).

Partie B

1. \(u_1 = f(5) = \ln(8\times 125 – 1) = \ln(999) \approx 6{,}907\), soit \(u_1 \approx 6{,}9\) à \(10^{-1}\) près.

2. a. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), notons \(\mathcal{P}(n)\) : « \(4 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 10\) ».

Initialisation. \(u_0 = 5\) et \(u_1 = \ln 999 \approx 6{,}9\), donc \(4 \leq\, u_0 \leq\, u_1 \leq\, 10\) : \(\mathcal{P}(0)\) est vraie.

Hérédité. Supposons \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un entier \(n\) : \(4 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 10\). Ces nombres appartiennent à \([4\ ;\ 10]\), intervalle sur lequel \(f\) est croissante (question A.2.a), donc

\[f(4) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(10), \quad \text{soit} \quad f(4) \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, f(10).\]

D’après la question A.2.b, \(f(4) \geq\, 4\) et \(f(10) \leq\, 10\). On en tire \(4 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 10\) : \(\mathcal{P}(n+1)\) est vraie.

Conclusion. Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(4 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 10\).

b. La suite \((u_n)\) est croissante (\(u_n \leq\, u_{n+1}\)) et majorée par 10. D’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\), qui vérifie \(4 \leq\, \ell \leq\, 10\) puisque tous les termes sont dans \([4\ ;\ 10]\).

3. On a \(u_{n+1} = f(u_n)\) pour tout \(n\), la suite converge vers \(\ell \in [4\ ;\ 10]\) et \(f\) est continue sur \([4\ ;\ 10]\). En passant à la limite, \(\ell = f(\ell)\), c’est-à-dire \(f(\ell) – \ell = 0\) : \(g(\ell) = 0\).

\(\ell\) est donc une solution de \(g(x) = 0\) dans \([4\ ;\ 10]\) ; comme cette solution est unique (question A.3.a), \(\ell = \alpha\) : la suite \((u_n)\) converge vers \(\alpha\).

Partie C

1. La fonction alpha(a) part de \(u_0 = 5\) et calcule les termes successifs de la suite tant qu’ils restent strictement inférieurs à a ; elle renvoie le rang du premier terme supérieur ou égal à a. Le résultat 11 signifie que \(u_{11}\) est le premier terme de la suite supérieur ou égal à 8,499 : \(u_{10} \lt 8{,}499 \leq\, u_{11}\) (on trouve \(u_{10} \approx 8{,}49897\) et \(u_{11} \approx 8{,}49907\)). Autrement dit, à partir du rang 11, les termes sont à moins de \(10^{-3}\) de \(\alpha\), puisque \(8{,}499 \leq\, u_n \leq\, \alpha \leq\, 8{,}5\).

2. La suite \((u_n)\) est croissante et converge vers \(\alpha\) ; une suite croissante convergente est majorée par sa limite, donc \(u_n \leq\, \alpha \leq\, 8{,}5\) pour tout \(n\). En particulier, on a toujours \(u_n \lt 8{,}6\) : la condition u < 8.6 de la boucle while reste vraie indéfiniment. La boucle ne se termine jamais, et l’instruction return n n’est jamais atteinte : aucune valeur n’est renvoyée.

Exercice 3 :

1. a. On calcule \(\vec{\text{AB}}\begin{pmatrix}1-(-1)\\-6-1\\-1-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-7\\-2\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AC}}\begin{pmatrix}-5-(-1)\\2-1\\3-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\1\\2\end{pmatrix}\).

Si ces vecteurs étaient colinéaires, on aurait \(\vec{\text{AC}} = \lambda\vec{\text{AB}}\) ; la première coordonnée donne \(\lambda = -2\), mais alors la deuxième devrait valoir \(-2\times (-7) = 14 \neq 1\). Les vecteurs ne sont pas colinéaires : A, B et C ne sont pas alignés.

b. Calculons les produits scalaires de \(\vec{n}\) avec deux vecteurs non colinéaires du plan :

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AB}} = 6\times 2 + (-2)\times (-7) + 13\times (-2) = 12 + 14 – 26 = 0,\]

\[\vec{n}\cdot\vec{\text{AC}} = 6\times (-4) + (-2)\times 1 + 13\times 2 = -24 – 2 + 26 = 0.\]

\(\vec{n}\), non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de (ABC) : c’est un vecteur normal au plan (ABC).

c. Le plan (ABC) a donc une équation de la forme \(6x – 2y + 13z + d = 0\). Comme A est dans ce plan : \(6\times (-1) – 2\times 1 + 13\times 1 + d = 0\), soit \(5 + d = 0\) et \(d = -5\). Une équation cartésienne de (ABC) est \(6x – 2y + 13z – 5 = 0\).

2. Un vecteur normal à \((P)\) se lit sur son équation : \(\vec{n^{\prime}}\begin{pmatrix}8\\-2\\-4\end{pmatrix}\). Alors

\[\vec{n}\cdot\vec{n^{\prime}} = 6\times 8 + (-2)\times (-2) + 13\times (-4) = 48 + 4 – 52 = 0.\]

Les vecteurs normaux sont orthogonaux : les plans (ABC) et \((P)\) sont perpendiculaires.

3. Un point de \((d)\) a pour coordonnées \((-4 + t\ ;\ -11 + 6t\ ;\ 2 – t)\). Il appartient à (ABC) si et seulement si :

\[6(-4 + t) – 2(-11 + 6t) + 13(2 – t) – 5 = 0 \iff -24 + 6t + 22 – 12t + 26 – 13t – 5 = 0 \iff 19 – 19t = 0 \iff t = 1.\]

Cette équation a une seule solution, donc \((d)\) coupe le plan (ABC) en un unique point E, obtenu pour \(t = 1\) : \(x = -3\), \(y = -11 + 6 = -5\), \(z = 2 – 1 = 1\). E a pour coordonnées \((-3\ ;\ -5\ ;\ 1)\).

4. a. Deux conditions sont à vérifier : H est sur \((d)\), et \(\vec{\text{AH}}\) est orthogonal à la direction de \((d)\).

Pour \(t = 2\), la représentation paramétrique donne \((-4 + 2\ ;\ -11 + 12\ ;\ 2 – 2) = (-2\ ;\ 1\ ;\ 0)\) : c’est H, donc \(\text{H} \in (d)\).
Un vecteur directeur de \((d)\) est \(\vec{u}\begin{pmatrix}1\\6\\-1\end{pmatrix}\) et \(\vec{\text{AH}}\begin{pmatrix}-1\\0\\-1\end{pmatrix}\) ; \(\vec{\text{AH}}\cdot\vec{u} = -1 + 0 + 1 = 0\).

H est donc le projeté orthogonal de A sur \((d)\).

b. La distance de A à la droite \((d)\) est la longueur AH : \(\text{AH} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\). La distance de A à \((d)\) vaut \(\sqrt{2}\).

c. H et E sont deux points distincts de \((d)\), donc la droite (HE) est la droite \((d)\), et (AH) lui est perpendiculaire en H d’après la question a. Le triangle AHE est rectangle en H.

On a \(\vec{\text{HE}}\begin{pmatrix}-1\\-6\\1\end{pmatrix}\), donc \(\text{HE} = \sqrt{1 + 36 + 1} = \sqrt{38}\). L’aire d’un triangle rectangle est le demi-produit des côtés de l’angle droit :

\[\mathcal{A} = \dfrac{\text{AH}\times \text{HE}}{2} = \dfrac{\sqrt{2}\times \sqrt{38}}{2} = \dfrac{\sqrt{76}}{2} = \dfrac{2\sqrt{19}}{2} = \sqrt{19}.\]

L’aire du triangle AHE est bien \(\sqrt{19}\) unités d’aire.

Exercice 4 :

1. Affirmation 1 : vraie.

\(f\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\). La dérivée de \(x \mapsto \text{e}^{x^2}\) est \(x \mapsto 2x\,\text{e}^{x^2}\), donc

\[f^{\prime}(x) = \text{e}^{x^2} + x\times 2x\,\text{e}^{x^2} = (1 + 2x^2)\text{e}^{x^2},\]

\[f^{\prime\prime}(x) = 4x\,\text{e}^{x^2} + (1 + 2x^2)\times 2x\,\text{e}^{x^2} = (4x^3 + 6x)\text{e}^{x^2} = 2x(2x^2 + 3)\text{e}^{x^2}.\]

Comme \(2x^2 + 3 \gt 0\) et \(\text{e}^{x^2} \gt 0\), \(f^{\prime\prime}(x)\) a le signe de \(x\) : \(f^{\prime\prime}(x) \leq\, 0\) sur \(]-\infty\ ;\ 0]\). La fonction \(f\) est donc concave sur cet intervalle.

2. Affirmation 2 : vraie.

Les groupes sont numérotés, donc on les remplit dans l’ordre. On choisit les 8 rapaces du groupe 1 parmi 24 : \(\dbinom{24}{8}\) possibilités ; puis ceux du groupe 2 parmi les 16 restants : \(\dbinom{16}{8}\) ; les 8 derniers forment le groupe 3 (une seule possibilité). Le nombre de répartitions est

\[\dbinom{24}{8}\times \dbinom{16}{8}\times 1 = \dfrac{24!}{8!\times 16!}\times \dfrac{16!}{8!\times 8!} = \dfrac{24!}{(8!)^3}.\]

3. Affirmation 3 : vraie.

\(g\) est dérivable et \(g^{\prime} = f^{\prime}\). Comme \(f\) est solution de l’équation, \(f^{\prime} = -f + 1\). Donc \(g^{\prime} = -f + 1 = -(f – 1) = -g\).

4. Affirmation 4 : fausse.

Pour tout entier \(n \geq\, 1\), \(-1 \leq\, \sin(n) \leq\, 1\), donc, en divisant par \(n \gt 0\) : \(-\dfrac{1}{n} \leq\, u_n \leq\, \dfrac{1}{n}\). Les suites \((-\dfrac{1}{n})\) et \((\dfrac{1}{n})\) tendent vers 0 ; d’après le théorème des gendarmes, \((u_n)\) converge vers 0. Elle admet donc une limite.

5. Affirmation 5 : fausse.

Les deux courbes se coupent quand \(-x^2 + 4x + 1 = x + 1\), soit \(-x^2 + 3x = 0\), c’est-à-dire \(x(3 – x) = 0\) : en \(x = 0\) et \(x = 3\). Sur \([0\ ;\ 3]\), \((-x^2 + 4x + 1) – (x + 1) = x(3 – x) \geq\, 0\) : la parabole est au-dessus de la droite. L’aire du domaine grisé vaut donc

\[\int_{0}^{3}(-x^2 + 3x)\text{d}x = [-\dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2}]_{0}^{3} = -9 + \dfrac{27}{2} = \dfrac{9}{2} = 4{,}5.\]

L’aire vaut 4,5 unités d’aire, et non 6,5.

Les autres sujets du bac de maths 2026

Bac de maths 2027 : tous les sujets Cours de terminale Exercices de terminale

Voter... post

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «bac de maths 2026 en Polynésie (jour 2) : sujet et corrigé» au format PDF.