Le raisonnement par récurrence : cours de maths en terminale en PDF.
Mis à jour le 24 août 2025
1.Principe de récurrence et ses axiomes :
Soit P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n.
Si les deux conditions suivantes sont réunies :
,
• P(n) est vraie pour le rang n = 0 ;
• Si pour tout entier n, P(n) est vérifiée implique P(n+1) est vérifiée ;
Alors pour tout entier n, P(n) est vraie.
Exemple :
On considère la suite définie par :
Montrons par récurrence, sur l’entier n, que :
Soit la propriété de récurrence suivante :
Initialisation :
Montrons que est vraie.
D’après les hypothèses,
Donc vraie .
Hérédité de la propriété :
Supposons qu’il existe un entier tel que
soit vraie.
Montrons que reste vraie .
Comme est vraie.
alors
donc est vraie .
Conclusion :
(
donc d’après le principe de récurrence :
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