Raisonnement par récurrence : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.
Mis à jour le 9 mai 2025
Exercice 1 :
Soit la suite définie par
Démontrer par récurrence que :
soit la propriété de récurrence :
Initialisation : P(0)
donc P(0) vraie.
Supposons qu’il existe tel que P(n) soit vraie, Montrons P(n+1) reste vraie.
donc P(n+1) reste vraie
Exercice 2 :
Soit la suite définie par
Démontrer par récurrence que :
soit la proprieacute:té de récurrence :
Initialisation : P(0)
donc P(0) vraie.
Supposons qu’il existe tel que P(n) soit vraie, Montrons P(n+1) reste vraie.
donc P(n+1) reste vraie
Exercice 3 :
On pose :
a. Calculer
b. Exprimer en fonction de
.
c. Démontrer par récurrence que :
soit la proprieacute:té de récurrence :
Initialisation : P(1)
donc P(1) vraie.
Supposons qu’il existe tel que P(n) soit vraie, Montrons P(n+1) reste vraie.
donc P(n+1) reste vraie
Exercice 4 :
1. Le résultat est vrai pour n = 1 car :
Et on sait que et
.
Supposons maintenant que le résultat soit vrai pour un certain entier naturel n. On a :
par la formule obtenue pour n=1
Donc, le résultat est bien vrai pour tout entier naturel n.
2. Quand k = n, on a :
3. L’hypothèse est vraie pour n = 1 car :
Supposons maintenant que le résultat soit vrai pour un certain entier naturel n. On a :
par la formule obtenue pour la question 1,
et donc :
Donc, le résultat est vrai pour tout entier naturel n.
Exercice 5 :
1. Soient a et x deux nombres tels que et
.
On suppose par l’absurde que .
Alors il existe deux entiers relatifs p et q avec tels que
.
On peut réarranger cette équation pour obtenir , qui est donc un nombre rationnel puisque p, q et a sont des nombres rationnels, ce qui contredit l’hypothèse que
.
Donc, .
2. Soient a et x deux nombres tels que et
.
On suppose par l’absurde que .
Alors il existe deux entiers relatifs p et q avec tels que
.
On peut réarranger cette équation pour obtenir , qui est donc un nombre rationnel puisque p, q et a sont des nombres rationnels, ce qui contredit l’hypothèse que
.
Donc, .
Exercice 6 :
Pour n = 0, on a :
et
Donc la formule est vraie pour n = 0.
Supposons maintenant que la formule soit vraie pour un certain entier naturel n quelconque. Nous allons démontrer qu’elle est vraie pour n+1. On a :
Par hypothèse de récurrence, on a :
Ainsi,
En factorisant par (1-x), on a :
Et donc :
Donc la formule est vraie pour tout entier naturel n.
Exercice 7 :
Pour n = 1, on a :
et
La formule est donc vraie pour n = 1.
Supposons maintenant que la formule soit vraie pour un certain entier naturel n quelconque. Nous allons démontrer qu’elle est vraie pour n+1. On a :
Par hypothèse de récurrence, on a :
Donc,
En factorisant par 4, on a :
En simplifiant, on obtient :
Donc la formule est vraie pour tout entier naturel n.
Exercice 8 :
Pour n = 0, on a :
Donc la formule est vraie pour n = 0.
Supposons maintenant que la formule soit vraie pour un certain entier naturel n quelconque. Nous allons démontrer qu’elle est vraie pour n+1.
On a :
Par hypothèse de récurrence, on a :
Donc,
En développant le membre de droite, on obtient :
Comme x est positif, est positif ou nul. On peut donc écrire :
La formule est donc vraie pour tout entier naturel n.
Remarque : cette inégalité est appelée inégalité de Bernoulli.
Exercice 9 :
1. La contraposée de la proposition précédente est :
Si l’entier n est impair, alors est divisible par 8.
2. Supposons que n soit impair, c’est-à-dire n = 2k+1 pour un certain entier naturel k.
Alors :
Donc est divisible par 4.
Pour montrer qu’il est divisible par 8, il suffit de remarquer que est pair pour tout entier k.
En effet, pour k pair, on a pair et k pair donc
pair.
Pour k impair, on a impair et k impair donc
pair.
Donc est pair dans tous les cas et n^2-1 est divisible par 8.
Donc la contraposée est vraie.
3. On peut en déduire que si n’est pas divisible par 8, alors n est pair.
En effet, si n était impair, alors d’après la contraposée, serait divisible par 8, ce qui est contraire à l’hypothèse de départ.
Donc si n’est pas divisible par 8, alors n est pair.
Exercice 10 :
1. Nous allons utiliser une démonstration par récurrence.
Vérifions la propriété pour n = 1 :
La propriété est vérifiée au rang 1.
Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel k, c’est-à-dire :
Prouvons que la propriété est vraie pour k+1 :
Donc la propriété est vraie pour tout entier naturel n.
2. En utilisant la formule obtenue à la question 1, on peut calculer :
Donc A vaut 3025.
Multiples :
Pour tout entier n, on a :
Un produit de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3, car il contient un multiple de 3.
Par conséquent, est toujours divisible par 3, et donc
est un multiple de 3 pour tout entier n.
Exercice 11 :
1. Nous allons utiliser la formule du binôme de Newton pour développer :
On peut ordonner les termes en partant du terme de plus haut degré () et en descendant jusqu’au terme constant (1), ce qui donne :
2. Posons m = n+1. Alors on a :
Nous allons montrer que est un multiple de 5 pour tout entier n.
Remarquons que si n est divisible par 5, alors est clairement un multiple de 5 (car le dernier chiffre de
est 1).
Sinon, n n’est pas divisible par 5, donc son reste dans la division par 5 est 1, 2, 3 ou 4.
Nous allons distinguer ces 4 cas :
– Si n a pour reste 1 dans la division par 5, alors a pour reste 1 dans la division par 5, et de même pour
,
et 10n.
Donc a pour reste 0 dans la division par 5.
– Si n a pour reste 2 dans la division par 5, alors a pour reste 1 dans la division par 5, et de même pour
,
et 10n.
Donc a pour reste 0 dans la division par 5.
– Si n a pour reste 3 dans la division par 5, alors n^4 a pour reste 1 dans la division par 5, et de même pour 5n^3 et 10n.
On remarque que a pour reste 0 dans la division par 5 car il se termine par 00, et que 4 a pour reste -1 dans la division par 5.
Donc a pour reste 0 dans la division par 5.
– Si n a pour reste 4 dans la division par 5, alors a pour reste 1 dans la division par 5, et de même pour
et 10n.
On remarque que a pour reste 0 dans la division par 5 car il se termine par 00, et que 4 a pour reste -1 dans la division par 5.
Donc a pour reste 0 dans la division par 5.
Dans tous les cas, est un multiple de 5.
Donc est divisible par 5 pour tout entier m, et donc
est un multiple de 5 pour tout entier n.
Exercice 12 :
Nous allons procéder par récurrence.
Vérifions la propriété pour n = 1 :
La propriété est vérifiée au rang 1.
Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel k, c’est-à-dire :
Prouvons que la propriété est vraie pour k+1 :
Donc la propriété est vraie pour tout entier naturel n.
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