Raisonnement par récurrence : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.

Exercice 1 :
Soit la suite définie par

Démontrer par récurrence que :

soit la propriété de récurrence :

Initialisation : P(0)

donc P(0) vraie.

Supposons qu’il existe tel que P(n) soit vraie, Montrons P(n+1) reste vraie.

donc P(n+1) reste vraie

Exercice 2 :

Soit la suite définie par

Démontrer par récurrence que :

soit la proprieacute:té de récurrence :

Initialisation : P(0)

donc P(0) vraie.

Supposons qu’il existe tel que P(n) soit vraie, Montrons P(n+1) reste vraie.

donc P(n+1) reste vraie

Exercice 3 :

On pose :

a. Calculer

b. Exprimer en fonction de .

c. Démontrer par récurrence que :

soit la proprieacute:té de récurrence :

Initialisation : P(1)

donc P(1) vraie.

Supposons qu’il existe tel que P(n) soit vraie, Montrons P(n+1) reste vraie.

donc P(n+1) reste vraie

Exercice 4 :

1. Le résultat est vrai pour n = 1 car :

Et on sait que et .

Supposons maintenant que le résultat soit vrai pour un certain entier naturel n. On a :

par la formule obtenue pour n=1

Donc, le résultat est bien vrai pour tout entier naturel n.

2. Quand k = n, on a :

3. L’hypothèse est vraie pour n = 1 car :

Supposons maintenant que le résultat soit vrai pour un certain entier naturel n. On a :

par la formule obtenue pour la question 1,
et donc :

Donc, le résultat est vrai pour tout entier naturel n.

Exercice 5 :

1. Soient a et x deux nombres tels que et .

On suppose par l’absurde que .

Alors il existe deux entiers relatifs p et q avec tels que .

On peut réarranger cette équation pour obtenir , qui est donc un nombre rationnel puisque p, q et a sont des nombres rationnels, ce qui contredit l’hypothèse que .

Donc, .

2. Soient a et x deux nombres tels que et .

On suppose par l’absurde que .

Alors il existe deux entiers relatifs p et q avec tels que .

On peut réarranger cette équation pour obtenir , qui est donc un nombre rationnel puisque p, q et a sont des nombres rationnels, ce qui contredit l’hypothèse que .

Donc, .

Exercice 6 :

Pour n = 0, on a :

et

Donc la formule est vraie pour n = 0.

Supposons maintenant que la formule soit vraie pour un certain entier naturel n quelconque. Nous allons démontrer qu’elle est vraie pour n+1. On a :

Par hypothèse de récurrence, on a :

Ainsi,

En factorisant par (1-x), on a :

Et donc :

Donc la formule est vraie pour tout entier naturel n.

Exercice 7 :

Pour n = 1, on a :

et

La formule est donc vraie pour n = 1.

Supposons maintenant que la formule soit vraie pour un certain entier naturel n quelconque. Nous allons démontrer qu’elle est vraie pour n+1. On a :

Par hypothèse de récurrence, on a :

Donc,

En factorisant par 4, on a :

En simplifiant, on obtient :

Donc la formule est vraie pour tout entier naturel n.

Exercice 8 :

Pour n = 0, on a :

Donc la formule est vraie pour n = 0.

Supposons maintenant que la formule soit vraie pour un certain entier naturel n quelconque. Nous allons démontrer qu’elle est vraie pour n+1.

On a :

Par hypothèse de récurrence, on a :

Donc,

En développant le membre de droite, on obtient :

Comme x est positif, est positif ou nul. On peut donc écrire :

La formule est donc vraie pour tout entier naturel n.

Remarque : cette inégalité est appelée inégalité de Bernoulli.

Exercice 9 :

1. La contraposée de la proposition précédente est :

Si l’entier n est impair, alors est divisible par 8.

2. Supposons que n soit impair, c’est-à-dire n = 2k+1 pour un certain entier naturel k.

Alors :

Donc est divisible par 4.

Pour montrer qu’il est divisible par 8, il suffit de remarquer que est pair pour tout entier k.

En effet, pour k pair, on a pair et k pair donc pair.

Pour k impair, on a impair et k impair donc pair.

Donc est pair dans tous les cas et n^2-1 est divisible par 8.

Donc la contraposée est vraie.

3. On peut en déduire que si n’est pas divisible par 8, alors n est pair.

En effet, si n était impair, alors d’après la contraposée, serait divisible par 8, ce qui est contraire à l’hypothèse de départ.

Donc si n’est pas divisible par 8, alors n est pair.

Exercice 10 :

1. Nous allons utiliser une démonstration par récurrence.

Vérifions la propriété pour n = 1 :

La propriété est vérifiée au rang 1.

Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel k, c’est-à-dire :

Prouvons que la propriété est vraie pour k+1 :

Donc la propriété est vraie pour tout entier naturel n.

2. En utilisant la formule obtenue à la question 1, on peut calculer :

Donc A vaut 3025.

Multiples :

Pour tout entier n, on a :

Un produit de trois entiers consécutifs est toujours divisible par 3, car il contient un multiple de 3.

Par conséquent, est toujours divisible par 3, et donc est un multiple de 3 pour tout entier n.

Exercice 11 :

1. Nous allons utiliser la formule du binôme de Newton pour développer :

On peut ordonner les termes en partant du terme de plus haut degré () et en descendant jusqu’au terme constant (1), ce qui donne :

2. Posons m = n+1. Alors on a :

Nous allons montrer que est un multiple de 5 pour tout entier n.

Remarquons que si n est divisible par 5, alors est clairement un multiple de 5 (car le dernier chiffre de est 1).

Sinon, n n’est pas divisible par 5, donc son reste dans la division par 5 est 1, 2, 3 ou 4.

Nous allons distinguer ces 4 cas :

– Si n a pour reste 1 dans la division par 5, alors a pour reste 1 dans la division par 5, et de même pour , et 10n.

Donc a pour reste 0 dans la division par 5.
– Si n a pour reste 2 dans la division par 5, alors a pour reste 1 dans la division par 5, et de même pour , et 10n.

Donc a pour reste 0 dans la division par 5.
– Si n a pour reste 3 dans la division par 5, alors n^4 a pour reste 1 dans la division par 5, et de même pour 5n^3 et 10n.

On remarque que a pour reste 0 dans la division par 5 car il se termine par 00, et que 4 a pour reste -1 dans la division par 5.

Donc a pour reste 0 dans la division par 5.
– Si n a pour reste 4 dans la division par 5, alors a pour reste 1 dans la division par 5, et de même pour et 10n.

On remarque que a pour reste 0 dans la division par 5 car il se termine par 00, et que 4 a pour reste -1 dans la division par 5.

Donc a pour reste 0 dans la division par 5.

Dans tous les cas, est un multiple de 5.

Donc est divisible par 5 pour tout entier m, et donc est un multiple de 5 pour tout entier n.

Exercice 12 :

Nous allons procéder par récurrence.

Vérifions la propriété pour n = 1 :

La propriété est vérifiée au rang 1.

Supposons maintenant que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel k, c’est-à-dire :

Prouvons que la propriété est vraie pour k+1 :

Donc la propriété est vraie pour tout entier naturel n.

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «raisonnement par récurrence : corrigé des exercices de maths en terminale en PDF.» au format PDF.

Réviser les leçons et les exercices avec nos Q.C.M :

 Mathovore c'est 14 122 542 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.