Corrigé du contrôle de maths Terminale : fonctions sinus et cosinus

Exercice 1 : Le cercle trigonométrique (4 points)

1. D’abord, on lit les coordonnées des points sur les axes. Ainsi, \(A(\frac{\sqrt{3}}{2}\,;\frac{1}{2})\) est dans le premier quart de cercle, \(B(-\frac{\sqrt{2}}{2}\,;\frac{\sqrt{2}}{2})\) dans le deuxième. De même, \(C(-\frac{\sqrt{3}}{2}\,;-\frac{1}{2})\) est dans le troisième et \(D(\frac{1}{2}\,;-\frac{\sqrt{3}}{2})\) dans le quatrième.
   Donc \(A\) est associé à \(\frac{\pi}{6}\), \(B\) à \(\frac{3\pi}{4}\), \(C\) à \(\frac{7\pi}{6}\) et \(D\) à \(\frac{5\pi}{3}\).
2. En effet, le cosinus est l’abscisse du point et le sinus son ordonnée. On lit donc :
   \(\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\) ;
   \(\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) ;
   \(\cos\frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac{1}{2}\) ;
   \(\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}\) et \(\sin\frac{5\pi}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
   Ce sont donc les huit valeurs ci-dessus.
3. D’abord, deux réels qui diffèrent d’un multiple de \(2\pi\) sont associés au même point. Ainsi :
   \(\frac{25\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 4\pi\) : point \(A\).
   \(-\frac{5\pi}{6} = \frac{7\pi}{6} – 2\pi\) : point \(C\).
   \(-\frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} – 2\pi\) : point \(D\).

Barème : a) 1 point : 0,25 point par point ; b) 2 points : 0,25 point par valeur exacte ; c) 1 point : 0,5 point pour la justification par les multiples de \(2\pi\), 0,5 point pour les trois points.

Exercice 2 : Parité et périodicité (3 points)

1. D’abord, \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à 0. Ensuite, pour tout réel \(x\), la fonction cosinus étant paire :
   \(f(-x) = \cos(-3x) – 2\cos(-x) = \cos(3x) – 2\cos x = f(x)\).
   Donc la fonction \(f\) est paire.
2. Pour tout réel \(x\) : \(f(x + 2\pi) = \cos(3x + 6\pi) – 2\cos(x + 2\pi)\). Or \(6\pi = 3 \times 2\pi\) et cosinus est \(2\pi\)-périodique. Ainsi, \(\cos(3x + 6\pi) = \cos(3x)\) et \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\).
   Par conséquent, \(f(x + 2\pi) = f(x)\) : \(f\) est périodique de période \(2\pi\).
3. Pour tout réel \(x\), \(g(-x) = (-x)^2\sin(-x) = x^2 \times (-\sin x) = -g(x)\). Donc la fonction \(g\) est impaire.
4. Comme \(f\) est \(2\pi\)-périodique, il suffit de l’étudier sur un intervalle de longueur \(2\pi\), par exemple \([-\pi\,;\pi]\). On obtient ensuite toute la courbe par des translations de vecteurs \(2k\pi\,\vec{i}\) (\(k\) entier). De plus, comme \(f\) est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. Ainsi, la partie sur \([-\pi\,;0]\) se déduit de celle sur \([0\,;\pi]\). L’étude sur \([0\,;\pi]\) suffit donc.

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour le calcul de \(f(-x)\), 0,5 point pour la parité de cosinus citée et la conclusion ; b) 0,5 point ; c) 0,5 point ; d) 1 point : 0,5 point pour la translation, 0,5 point pour la symétrie axiale.

Exercice 3 : Dériver avec sin et cos (3 points)

1. \(\sin^{\prime} = \cos\) et \(\cos^{\prime} = -\sin\), donc \(f^{\prime}(x) = 3\cos x – 2 \times (-\sin x)\). Ainsi, \(f^{\prime}(x) = 3\cos x + 2\sin x\).
2. \(g = \cos u\) avec \(u(x) = 2x – \frac{\pi}{3}\) et \(u^{\prime}(x) = 2\). Or \((\cos u)^{\prime} = -u^{\prime}\sin u\), donc : \(g^{\prime}(x) = -2\sin(2x – \frac{\pi}{3})\).
3. \(h = uv\) avec \(u(x) = x\) et \(v(x) = \cos x\) : \(h^{\prime}(x) = 1 \times \cos x + x \times (-\sin x)\). Ainsi, \(h^{\prime}(x) = \cos x – x\sin x\).

Erreur fréquente : oublier le facteur \(u^{\prime}(x) = 2\) au b) et écrire \(-\sin(2x – \frac{\pi}{3})\).

Barème : 1 point par dérivée : 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 4 : Limites et nombre dérivé (3 points)

1. D’abord, la fonction sinus est dérivable en 0, avec \(\sin 0 = 0\) et \(\sin^{\prime}(0) = \cos 0 = 1\). Or \(\frac{\sin x}{x} = \frac{\sin x – \sin 0}{x – 0}\) est le taux d’accroissement de sinus entre 0 et \(x\). Il tend donc vers le nombre dérivé en 0.
   \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \sin^{\prime}(0) = 1\).
2. Ici, on pose \(u(x) = \sin(3x)\), dérivable avec \(u(0) = 0\) et \(u^{\prime}(x) = 3\cos(3x)\), donc \(u^{\prime}(0) = 3\). Alors \(\frac{\sin(3x)}{x} = \frac{u(x) – u(0)}{x – 0}\) tend vers \(u^{\prime}(0)\).
   \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3\). (On peut aussi écrire \(\frac{\sin(3x)}{x} = 3 \times \frac{\sin(3x)}{3x}\) et utiliser a).)
3. \(\frac{\cos x – 1}{x} = \frac{\cos x – \cos 0}{x – 0}\) est le taux d’accroissement de cosinus en 0. Il tend alors vers \(\cos^{\prime}(0) = -\sin 0 = 0\).
   \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos x – 1}{x} = 0\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour le taux d’accroissement reconnu, 0,5 point pour la limite ; b) 1 point ; c) 1 point : 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 5 : Équations trigonométriques (3 points)

1. On sait que \(\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}\). Ainsi, les points du cercle d’abscisse \(\frac{1}{2}\) sont associés à \(\frac{\pi}{3}\) et à \(-\frac{\pi}{3}\). Cela donne \(2\pi – \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}\) dans \([0\,;2\pi[\).
   \(S = \{\frac{\pi}{3}\,;\frac{5\pi}{3}\}\).
2. \(\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Ensuite, les points d’ordonnée \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) sont associés à \(-\frac{\pi}{4}\) et à \(\pi + \frac{\pi}{4}\). Dans \([0\,;2\pi[\) : \(-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}\) et \(\frac{5\pi}{4}\).
   \(S = \{\frac{5\pi}{4}\,;\frac{7\pi}{4}\}\).
3. D’abord, on pose \(X = \sin x\) : \(2X^2 – X – 1 = 0\). \(\Delta = 1 + 8 = 9\), donc \(X = \frac{1 + 3}{4} = 1\) ou \(X = \frac{1 – 3}{4} = -\frac{1}{2}\).
   Puis \(\sin x = 1\) donne \(x = \frac{\pi}{2}\) ; enfin, \(\sin x = -\frac{1}{2}\) donne \(x = \frac{7\pi}{6}\) ou \(x = \frac{11\pi}{6}\).
   \(S = \{\frac{\pi}{2}\,;\frac{7\pi}{6}\,;\frac{11\pi}{6}\}\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point par solution ; b) 1 point : 0,5 point par solution ; c) 1 point : 0,5 point pour les valeurs de \(X\), 0,5 point pour les trois solutions.

Exercice 6 : Étude d’une fonction trigonométrique (4 points)

1. D’abord, la dérivée de \(\cos(2x)\) est \(-2\sin(2x)\) et celle de \(2\cos x\) est \(-2\sin x\). Donc :
   \(f^{\prime}(x) = -2\sin(2x) – 2\sin x = -2 \times 2\sin x\cos x – 2\sin x = -4\sin x\cos x – 2\sin x\).
   Enfin, en factorisant par \(-2\sin x\) : \(f^{\prime}(x) = -2\sin x(2\cos x + 1)\).
2. Sur \([0\,;\pi]\), \(\sin x \geq\, 0\), avec égalité seulement en 0 et en \(\pi\). Donc \(-2\sin x \leq\, 0\).
   \(2\cos x + 1 > 0 \iff \cos x > -\frac{1}{2}\). Or, sur \([0\,;\pi]\), cosinus est décroissante et \(\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}\). Ainsi, \(2\cos x + 1 > 0\) sur \([0\,;\frac{2\pi}{3}[\) et \(2\cos x + 1 < 0\) sur \(]\frac{2\pi}{3}\,;\pi]\).
   Donc \(f^{\prime}(x) < 0\) sur \(]0\,;\frac{2\pi}{3}[\) et \(f^{\prime}(x) > 0\) sur \(]\frac{2\pi}{3}\,;\pi[\).
   Enfin, \(f(0) = 1 + 2 = 3\) ; \(f(\frac{2\pi}{3}) = \cos\frac{4\pi}{3} + 2\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} – 1 = -\frac{3}{2}\) ; \(f(\pi) = \cos(2\pi) + 2\cos\pi = 1 – 2 = -1\).

   \(x\)	\(0\)		\(\frac{2\pi}{3}\)		\(\pi\)
   signe de \(f^{\prime}(x)\)	\(0\)	\(-\)	\(0\)	\(+\)	\(0\)
   variations de \(f\)	\(3\)	décroissante	\(-\frac{3}{2}\)	croissante	\(-1\)

   Donc \(f\) est décroissante sur \([0\,;\frac{2\pi}{3}]\) et croissante sur \([\frac{2\pi}{3}\,;\pi]\), de minimum \(-\frac{3}{2}\).

3. Sur \([\frac{2\pi}{3}\,;\pi]\), \(f\) est croissante et \(f(x) \leq\, f(\pi) = -1 < 0\). Par conséquent, l’équation n’a pas de solution sur cet intervalle.
   Ensuite, sur \([0\,;\frac{2\pi}{3}]\), \(f\) est continue et strictement décroissante. De plus, \(f(0) = 3 > 0\) et \(f(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{3}{2} < 0\). Alors, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur cet intervalle.
   Ainsi, l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([0\,;\pi]\).
   Enfin, à la calculatrice : \(f(1{,}19) \approx 0{,}020 > 0\) et \(f(1{,}20) \approx -0{,}013 < 0\). \(1{,}19 < \alpha < 1{,}20\).

Barème : a) 1 point : 0,5 point pour la dérivée, 0,5 point pour la factorisation ; b) 1,5 point : 0,5 point pour le signe de \(2\cos x + 1\), 0,5 point pour le tableau, 0,5 point pour les valeurs exactes ; c) 1,5 point : 0,5 point pour l’intervalle sans solution, 0,5 point pour le corollaire du TVI rédigé, 0,5 point pour l’encadrement.

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