Corrigé du contrôle de maths 1ère : second degré et dérivation à télécharger en PDF

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(\Delta = (-3)^2 – 4 \times 2 \times 1 = 9 – 8\), donc \(\Delta = 1\).
2. Un produit est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul. Donc \(x = 2\) ou \(x = -5\).
3. \(x^2 – 6x + 11 = (x-3)^2 – 9 + 11\), donc \(x^2 – 6x + 11 = (x-3)^2 + 2\).
4. \(f^{\prime}(x) = 3x^2 – 8x\).
5. \(g^{\prime}(x) = -\frac{1}{x^2}\), donc \(g^{\prime}(2) = -\frac{1}{4}\).
6. La forme canonique \(a(x-\alpha)^2 + \beta\) donne le sommet \((\alpha ; \beta)\). Ainsi, \(S(1 ; 3)\).
7. \(y = u^{\prime}(2)(x-2) + u(2) = -(x-2) + 5\), donc \(y = -x + 7\).
8. \(x^2 \geq\, 0\) donc \(x^2 + 1 \geq\, 1\). Ainsi, \(x^2 + 1\) est strictement positif pour tout réel \(x\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte.

Exercice 2 : Un trinôme sous toutes ses formes (4 points)

1. Avec \(a = -1\), \(b = 2\), \(c = 8\) : \(\Delta = 2^2 – 4 \times (-1) \times 8 = 4 + 32 = 36\).
   Or \(\Delta > 0\), donc le trinôme a deux racines :
   \(x_1 = \frac{-2 – 6}{2 \times (-1)} = \frac{-8}{-2} = 4\) et \(x_2 = \frac{-2 + 6}{2 \times (-1)} = \frac{4}{-2} = -2\).
   Les racines sont donc \(-2\) et \(4\).
2. \(f(x) = a(x – x_1)(x – x_2)\), donc \(f(x) = -(x+2)(x-4)\).
3. \(-(x-1)^2 + 9 = -(x^2 – 2x + 1) + 9 = -x^2 + 2x – 1 + 9 = -x^2 + 2x + 8 = f(x)\).
   Le sommet est donc \(S(1 ; 9)\). Comme \(a = -1 < 0\), la parabole est tournée vers le bas : 9 est le maximum de \(f\), atteint en \(x = 1\).
4. \(f(x) \geq\, 5 \iff -x^2 + 2x + 8 – 5 \geq\, 0 \iff -x^2 + 2x + 3 \geq\, 0\).
   Alors \(\Delta = 2^2 – 4 \times (-1) \times 3 = 4 + 12 = 16\), racines \(\frac{-2 – 4}{-2} = 3\) et \(\frac{-2 + 4}{-2} = -1\).
   Un trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines et du signe contraire entre les racines. Ici \(a = -1 < 0\), donc \(-x^2 + 2x + 3 \geq\, 0\) entre les racines.
   Ainsi, l’ensemble des solutions est \(S = [-1 ; 3]\).

Barème : a) 0,5 point pour \(\Delta\), 0,5 point pour les racines. Puis b) 0,5 point. Ensuite, c) 0,5 point pour la vérification, 0,5 point pour le sommet et la nature de l’extremum. Enfin, d) 0,5 point pour l’inéquation ramenée à 0, 0,5 point pour les racines, 0,5 point pour la règle de signe et l’intervalle.

Erreur fréquente : répondre \(]-\infty ; -1] \cup [3 ; +\infty[\) en oubliant que \(a\) est négatif.

Exercice 3 : Lire et calculer des nombres dérivés (4 points)

1. Le point \(A\) a pour coordonnées \((4 ; 2)\), donc \(f(4) = 2\). Ensuite, la tangente en \(B\) d’abscisse 2 est horizontale. Son coefficient directeur est nul, donc \(f^{\prime}(2) = 0\).
2. \(f^{\prime}(4)\) est le coefficient directeur de la tangente \(T\), qui passe par \(A(4 ; 2)\) et \(C(3 ; -2)\) :
   \(f^{\prime}(4) = \frac{y_A – y_C}{x_A – x_C} = \frac{2 – (-2)}{4 – 3} = 4\).
   Donc \(f^{\prime}(4) = 4\).
3. \(f^{\prime}(x) = 2x – 4\), donc \(f^{\prime}(4) = 8 – 4 = 4\). On retrouve bien \(f^{\prime}(4) = 4\).
4. \(f(1) = 1 – 4 + 2 = -1\) et \(f^{\prime}(1) = 2 – 4 = -2\).
   Alors \(y = f^{\prime}(1)(x – 1) + f(1) = -2(x-1) – 1 = -2x + 2 – 1\).
   La tangente a donc pour équation \(y = -2x + 1\).
5. Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur. On résout donc \(f^{\prime}(x) = 2\) : \(2x – 4 = 2\), soit \(x = 3\). Puis \(f(3) = 9 – 12 + 2 = -1\).
   Oui : au point de coordonnées \((3 ; -1)\).

Barème : a) 0,5 point par lecture. Puis b) 0,5 point pour la méthode (coefficient directeur de \(T\)), 0,5 point pour la valeur. Ensuite, c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour \(f(1)\) et \(f^{\prime}(1)\), 0,5 point pour l’équation. Enfin, e) 0,5 point.

Exercice 4 : Étude d’une fonction de degré 3 (4 points)

1. \(g^{\prime}(x) = 3x^2 – 6x – 9\).
2. \(\Delta = (-6)^2 – 4 \times 3 \times (-9) = 36 + 108 = 144 = 12^2\).
   Racines : \(x_1 = \frac{6 – 12}{6} = -1\) et \(x_2 = \frac{6 + 12}{6} = 3\), toutes deux dans \([-3 ; 5]\). Donc \(g^{\prime}(x) = 3(x+1)(x-3)\).
   Comme \(a = 3 > 0\), le trinôme est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.
   Ainsi, \(g^{\prime}(x) \geq\, 0\) sur \([-3 ; -1]\) et sur \([3 ; 5]\). De plus, \(g^{\prime}(x) \leq\, 0\) sur \([-1 ; 3]\), avec \(g^{\prime}(-1) = g^{\prime}(3) = 0\).
3. Calcul des valeurs utiles :
   \(g(-3) = -27 – 27 + 27 + 5 = -22\)
   \(g(-1) = -1 – 3 + 9 + 5 = 10\)
   \(g(3) = 27 – 27 – 27 + 5 = -22\)
   \(g(5) = 125 – 75 – 45 + 5 = 10\)
   Donc \(g\) est croissante sur \([-3 ; -1]\), décroissante sur \([-1 ; 3]\), croissante sur \([3 ; 5]\).

   

4. Sur \([-3 ; 5]\), le maximum de \(g\) est 10, atteint en \(x = -1\) et en \(x = 5\). Puis le minimum est \(-22\), atteint en \(x = -3\) et en \(x = 3\).

Barème : a) 0,5 point. Puis b) 0,5 point pour \(\Delta\), 0,5 point pour les racines, 0,5 point pour le signe. Ensuite, c) 0,5 point pour les variations, 1 point pour les quatre valeurs. Enfin, d) 0,5 point.

Erreur fréquente : oublier de calculer les images aux bornes \(-3\) et \(5\), et conclure à tort que 10 n’est atteint qu’en \(-1\).

Exercice 5 : Une courbe et sa tangente (4 points)

1. \(h(1) = 1 – 2 + 1 = 0\). Puis \(h^{\prime}(x) = 3x^2 – 4x\), donc \(h^{\prime}(1) = 3 – 4 = -1\).
   Alors \(T : y = h^{\prime}(1)(x – 1) + h(1) = -(x – 1) + 0\).
   \(T\) a donc pour équation \(y = -x + 1\).
2. D’une part, \(h(x) – (-x + 1) = x^3 – 2x^2 + 1 + x – 1 = x^3 – 2x^2 + x\).
   D’autre part, \(x(x-1)^2 = x(x^2 – 2x + 1) = x^3 – 2x^2 + x\).
   Les deux expressions sont donc égales : \(h(x) – (-x + 1) = x(x-1)^2\).

Questions c et d : position de la courbe par rapport à la tangente

3. Un carré est toujours positif : \((x-1)^2 \geq\, 0\), et il ne s’annule qu’en \(x = 1\). Le signe de \(x(x-1)^2\) est donc celui de \(x\) pour \(x \neq 1\) :
   • si \(x < 0\), la différence est strictement négative ;
   • si \(x = 0\) ou \(x = 1\), elle est nulle ;
   • si \(0 < x < 1\) ou \(x > 1\), elle est strictement positive.

   Ainsi, \(\mathcal{C}_h\) est au-dessous de \(T\) sur \(]-\infty ; 0[\) et au-dessus de \(T\) sur \(]0 ; 1[\) et sur \(]1 ; +\infty[\). Elles se coupent au point \((0 ; 1)\) et se touchent en \(A(1 ; 0)\).

4. Sur la figure, la courbe bleue passe sous la droite rouge à gauche de l’axe des ordonnées. Puis elle la coupe en \((0 ; 1)\) et reste au-dessus, en touchant \(T\) en \(A\) sans la traverser. La figure est donc cohérente avec le résultat du c).

Barème : a) 0,5 point pour \(h(1)\) et \(h^{\prime}(1)\), 0,5 point pour l’équation. Puis b) 0,5 point pour chaque développement. Ensuite, c) 0,5 point pour le signe du carré, 0,5 point pour le signe de la différence, 0,5 point pour la conclusion géométrique. Enfin, d) 0,5 point.

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Après le corrigé du contrôle : second degré et dérivation

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