Contrôle de maths 1ère : étude de fonctions avec l’exponentielle

Exercice 1 : Dériver sans se tromper (4 points)

Calculatrice autorisée pour les valeurs approchées.

Chacune des fonctions suivantes est dérivable sur l’intervalle indiqué. Calcule sa dérivée et donne-la sous une forme factorisée quand c’est possible.

1. \(f(x) = e^{3x-2}\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
2. \(g(x) = (x+1)e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
3. \(h(x) = 5e^{-0{,}2x}\) sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
4. \(k(x) = \dfrac{e^{x}}{x}\) sur \(]0 \,;\, +\infty[\). (1 point)

Exercice 2 : Équations et inéquations (3 points)

1. Écris \(A = (e^{x})^2 \times e^{-3x+1}\) sous la forme \(e^{ax+b}\). (1 point)
2. Résous dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(e^{2x-1} = e\). (1 point)
3. Résous dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(e^{x^2} \leq\, e^{4x-3}\). (1 point)

Exercice 3 : La courbe au-dessus de sa tangente (4 points)

On a tracé ci-dessous la courbe de la fonction exponentielle et sa tangente \(T\) au point d’abscisse 0.

1. Détermine une équation de la tangente \(T\). (1 point)
2. On pose \(g(x) = e^{x} – x – 1\) pour tout réel \(x\). Calcule \(g^{\prime}(x)\) et étudie son signe. (1,5 point)
3. Dresse le tableau de variations de \(g\) et donne son minimum. (1 point)
4. Déduis-en la position de la courbe de l’exponentielle par rapport à \(T\), puis que \(e^{-0{,}5} \geq\, 0{,}5\). (0,5 point)

Exercice 4 : Étude complète d’une fonction (5 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (2-x)e^{x}\). Sa courbe \(C_f\) est tracée ci-dessous sur l’intervalle \([-4 \,;\, 2{,}5]\).

1. Étudie le signe de \(f(x)\) selon les valeurs de \(x\). (1 point)
2. Montre que pour tout réel \(x\), \(f^{\prime}(x) = (1-x)e^{x}\). (1,5 point)
3. Dresse le tableau de variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) (sans les limites) et donne la valeur exacte de son maximum, puis une valeur approchée au centième. (1,5 point)
4. Détermine une équation de la tangente à \(C_f\) au point d’abscisse 0. (1 point)

Exercice 5 : Le refroidissement d’un café (4 points)

Lina se sert un café dans une pièce à \(20\,^\circ\text{C}\). La température du café, en degrés Celsius, \(t\) minutes après avoir été servi, est modélisée par

\[T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t} \text{ pour } t \geq\, 0.\]

1. Quelle est la température du café au moment où il est servi ? (0,5 point)
2. Calcule \(T^{\prime}(t)\) et déduis-en le sens de variation de \(T\) sur \([0 \,;\, +\infty[\). (1 point)
3. Calcule la température du café au bout de 10 minutes, arrondie au dixième de degré. (0,5 point)
4. Lina boit son café quand il est à \(50\,^\circ\text{C}\) ou moins. À l’aide de la calculatrice, détermine à partir de quelle minute entière elle peut le boire. Justifie. (1,5 point)
5. Vers quelle température le café semble-t-il se stabiliser ? Explique ce résultat avec l’expression de \(T(t)\). (0,5 point)

Réviser avant le contrôle : étude de fonctions avec l’exponentielle

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La fonction exponentielle » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés fonction exponentielle.

Retrouve tous les contrôles de maths en 1ère classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 1ère sur ce thème

• Contrôle de maths 1ère : propriétés algébriques de l’exponentielle
• Contrôle de maths 1ère : suites et fonction exponentielle

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 1rePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 1re à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗