Contrôle de maths 1ère : variations, extremums et étude de fonctions

Exercice 1 : Une courbe et trois dérivées possibles (3 points)

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En haut, on a tracé la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’une fonction \(f\) dérivable sur \([-2{,}5\,;3{,}5]\). En dessous, trois courbes sont proposées ; l’une d’elles est la courbe de la fonction dérivée \(f^{\prime}\).

1. Dresse le tableau de variations de \(f\) sur \([-2{,}5\,;3{,}5]\), avec les valeurs lues sur le graphique. (1 point)
2. Laquelle des trois courbes représente \(f^{\prime}\) ? Justifie ton choix et explique pourquoi les deux autres ne conviennent pas. (2 points)

Exercice 2 : Étude d’un polynôme de degré 3 (5 points)

Soit \(f\) la fonction définie sur \([-3\,;4]\) par \(f(x) = 2x^3 – 3x^2 – 12x + 5\).

1. Calcule \(f^{\prime}(x)\) et montre que \(f^{\prime}(x) = 6(x + 1)(x – 2)\). (1 point)
2. Étudie le signe de \(f^{\prime}(x)\) sur \([-3\,;4]\). (1 point)
3. Dresse le tableau de variations complet de \(f\) sur \([-3\,;4]\). (1,5 point)
4. Précise les extremums locaux de \(f\) et la valeur en laquelle chacun est atteint. (0,5 point)
5. En t’appuyant sur le tableau de variations, détermine le nombre de solutions de l’équation \(f(x) = 0\) sur \([-3\,;4]\). (1 point)

Exercice 3 : Une fonction rationnelle et une inégalité (4 points)

Soit \(g\) la fonction définie sur \([\dfrac{1}{2}\,;8]\) par \(g(x) = x + \dfrac{4}{x}\).

1. Montre que, pour tout \(x\) de \([\dfrac{1}{2}\,;8]\), \(g^{\prime}(x) = \dfrac{(x – 2)(x + 2)}{x^2}\). (1,5 point)
2. Étudie le signe de \(g^{\prime}(x)\) et dresse le tableau de variations de \(g\) sur \([\dfrac{1}{2}\,;8]\). (1,5 point)
3. Déduis-en que, pour tout \(x\) de \([\dfrac{1}{2}\,;8]\), \(x + \dfrac{4}{x} \geq\, 4\). Pour quelle valeur de \(x\) a-t-on l’égalité ? (1 point)

Exercice 4 : Parité de fonctions (3 points)

1. Montre que la fonction \(u\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(u(x) = x^4 – 3x^2 + 1\) est paire. (1 point)
2. Montre que la fonction \(w\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(w(x) = x^3 – 5x\) est impaire. (1 point)
3. La fonction \(k\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(k(x) = x^2 + x\) est-elle paire ? impaire ? Justifie. (0,5 point)
4. Une fonction \(p\) est définie et paire sur \([-3\,;3]\). Sa courbe n’est tracée ci-dessous que sur \([0\,;3]\). Explique comment compléter la courbe sur \([-3\,;0]\), puis donne \(p(-2)\). (0,5 point)

   

Exercice 5 : Concentration d’un médicament (5 points)

On injecte un médicament à un patient. La concentration du médicament dans le sang, en milligrammes par litre (mg/L), \(t\) heures après l’injection, est modélisée par la fonction \(C\) définie sur \([0\,;10]\) par \(C(t) = \dfrac{10t}{t^2 + 4}\).

1. Montre que, pour tout \(t\) de \([0\,;10]\), \(C^{\prime}(t) = \dfrac{10(2 – t)(2 + t)}{(t^2 + 4)^2}\). (1,5 point)
2. Dresse le tableau de variations de \(C\) sur \([0\,;10]\), avec les valeurs exactes. (1 point)
3. Au bout de combien de temps la concentration est-elle maximale ? Quelle est cette concentration maximale ? (0,5 point)
4. À l’aide du tableau, détermine le nombre de solutions de l’équation \(C(t) = 1\) sur \([0\,;10]\). (0,5 point)
5. Le médicament est efficace lorsque la concentration est supérieure ou égale à \(2\) mg/L. Résous l’inéquation \(C(t) \geq\, 2\) sur \([0\,;10]\) et donne la durée d’efficacité du médicament. (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : variations, extremums et étude de fonctions

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Généralités sur les fonctions numériques » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés fonctions et variations.

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