Ce contrôle de maths de 1ère porte sur le thème suivant : ensembles, logique et raisonnement.
Le nouveau programme de première nomme clairement le vocabulaire ensembliste et la logique : ce sujet vérifie que tu les maîtrises. Tu vas manipuler des intervalles (intersection, réunion, complémentaire), compléter un diagramme de Venn, puis écrire la négation d’une proposition, sa réciproque et sa contraposée.
La fin du sujet est consacrée au raisonnement : une preuve par disjonction de cas sur la parité, puis la démonstration guidée, par l’absurde, que \(\sqrt{2}\) n’est pas un rationnel. Soigne la rédaction : ici, la justification compte autant que la réponse.
- Niveau : 1ère
- Chapitre : Automatismes, ensembles et logique
- Durée conseillée : 1 heure
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 3 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Représenter : écrire et dessiner des intervalles, utiliser un diagramme de Venn
- Communiquer : employer le vocabulaire ensembliste et les connecteurs « et », « ou »
- Raisonner : formuler la négation, la réciproque et la contraposée d’une proposition
- Raisonner : conduire un raisonnement par disjonction de cas ou par l’absurde
- Chercher : trouver un contre-exemple pour réfuter une affirmation
Exercice 1 : Intervalles et ensembles (4 points)
Calculatrice interdite pour tout le sujet.
On considère les intervalles \(I = [-2 \,;\, 5[\) et \(J = ]1 \,;\, +\infty[\), ainsi que l’ensemble \(K\) représenté sur la droite graduée ci-dessous.
- Écrire \(K\) sous la forme d’un intervalle, puis traduire « \(x \in K\) » par un encadrement de \(x\). (0,5 point)
- Recopier et compléter par \(\in\) ou \(\notin\) : 5 … \(I\) ; \(\pi\) … \(J\). (0,5 point)
- Déterminer \(I \cap J\) et \(I \cup J\). On pourra représenter \(I\) et \(J\) sur une même droite graduée. (1,5 point)
- Déterminer le complémentaire \(\overline{I}\) de \(I\) dans \(\mathbb{R}\). (0,5 point)
- L’affirmation « \(K \subset I\) » est-elle vraie ? Justifier. (1 point)
Exercice 2 : Sport et musique (4 points)
Dans une classe de 30 élèves, 18 élèves pratiquent un sport en club, 12 élèves pratiquent un instrument de musique, et 7 élèves font les deux. On note \(E\) l’ensemble des élèves de la classe, \(S\) l’ensemble des élèves qui pratiquent un sport et \(M\) l’ensemble de ceux qui pratiquent un instrument.
- Recopier le diagramme et compléter chacune des quatre zones par le nombre d’élèves correspondant. (1 point)
- Décrire par une phrase l’ensemble \(S \cup M\), puis donner son nombre d’éléments. (1 point)
- Décrire par une phrase l’ensemble \(\overline{S \cup M}\) (complémentaire de \(S \cup M\) dans \(E\)), puis donner son nombre d’éléments. (1 point)
- Écrire à l’aide des symboles \(\cap\) et du complémentaire l’ensemble des élèves qui pratiquent un instrument mais pas de sport, puis donner son nombre d’éléments. (1 point)
Exercice 3 : Propositions, négations et implications (5 points)
- Écrire la négation de la proposition : « Tous les élèves de la classe ont un téléphone portable. » (1 point)
- \(x\) désigne un nombre réel. Écrire la négation de la proposition : « \(x > 2\) et \(x \leq\, 5\) ». (1 point)
- On considère la proposition \(P\) : « Si un entier \(n\) est un multiple de 6, alors \(n\) est pair. »
- Justifier que \(P\) est vraie. (0,5 point)
- Énoncer la réciproque de \(P\) et montrer qu’elle est fausse. (1 point)
- Énoncer la contraposée de \(P\). Est-elle vraie ? (0,5 point)
- Lucas affirme : « Pour tout nombre réel \(x\), \(x^2 \geq\, x\). » A-t-il raison ? Justifier. (1 point)
Exercice 4 : Un raisonnement par disjonction de cas (3 points)
On rappelle qu’un entier pair s’écrit \(2k\) et qu’un entier impair s’écrit \(2k + 1\), avec \(k\) entier.
- Démontrer que, pour tout entier \(n\), le produit \(n(n + 1)\) est pair. On distinguera deux cas selon la parité de \(n\). (2 points)
- En déduire que, pour tout entier \(n\), le nombre \(n^2 + 3n + 1\) est impair. (1 point)
Exercice 5 : La racine carrée de 2 (4 points)
On veut démontrer que \(\sqrt{2}\) n’est pas un nombre rationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction de deux entiers.
- Démontrer que, si \(n\) est un entier impair, alors \(n^2\) est impair. Quelle propriété sur les entiers pairs obtient-on alors par contraposée ? (1 point)
On raisonne maintenant par l’absurde : on suppose que \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\), où \(p\) et \(q\) sont des entiers naturels non nuls et où la fraction \(\frac{p}{q}\) est irréductible.
- Démontrer que \(p^2 = 2q^2\). (0,5 point)
- En déduire que \(p\) est pair. On écrit alors \(p = 2k\), avec \(k\) entier : démontrer que \(q^2 = 2k^2\), puis que \(q\) est pair. (1,5 point)
- Expliquer pourquoi on aboutit à une contradiction, et conclure. (1 point)
Réviser avant le contrôle : ensembles, logique et raisonnement
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