Voici dix-sept énoncés pour réviser la géométrie en 1ère, du plan jusqu’à l’espace. Les deux premiers exercices portent sur le triangle : droite d’Euler, homothétie, lieux géométriques et parallèles menées dans un triangle isocèle. Viennent ensuite trois solides (pyramide à base rectangulaire, pavé droit, pyramide à base carrée) où il faut trouver l’intersection de deux plans, prouver un parallélisme ou un alignement grâce à la colinéarité de vecteurs.
Les exercices 6 à 10 se placent dans un repère de l’espace : points coplanaires ou alignés, distances, nature d’un triangle ou d’un quadrilatère, isobarycentre. Les sept derniers reviennent au plan avec le vecteur normal d’une droite, l’équation cartésienne, le projeté orthogonal et les équations de cercles, qu’on reconnaît en faisant apparaître la forme canonique.
Cherchez chaque question au brouillon, avec une figure ou un logiciel comme GeoGebra, avant d’ouvrir le corrigé détaillé de la fiche : vous pourrez y comparer votre démarche, vos calculs de coordonnées et la rédaction de vos justifications.
L’essentiel : Pour s’entraîner sur « Géométrie dans l’espace » en Première, la fiche propose 20 exercices progressifs : cercle et lieux de points, homothéties et droites parallèles et pyramide à base rectangulaire. Le corrigé détaillé est sur une page séparée ; fiche gratuite à imprimer en PDF.
Exercice 1 – Cercle et lieux de points (géométrie dans l’espace)
Il est vivement recommandé d’utiliser un logiciel de géométrie…
1. Partie préliminaire :
on considère un triangle ABC, G son centre de gravité,
Ω le centre de son cercle circonscrit et H son orthocentre.
Montrer que H est l’image de Ω dans une homothétie de centre G dont on précisera le rapport.
2. On considère un cercle Γ de centre O, de rayon R, passant par un point fixe A.
Soient B et C deux points de Γ tels que la distance BC soit constante et égale à l.
a. Quel est le lieu géométrique des milieux I de [BC] ?
b. Quel est le lieu géométrique des centres de gravité G de ABC ?
c. Quel est le lieu géométrique des orthocentres H de ABC ?
3. Reprendre la partie 2. avec BC sur une droite ∆ ne passant pas par A, A fixe.
Exercice 2 – Homothéties et droites parallèles
ABC est un triangle isocèle (AB = AC).
E et F sont deux points du segment [BC].
Les parallèles à (AB) menées par E et F coupent (AC) en G et H respectivement.
Les parallèles à (AC) menées par E et F coupent (AB) en I et J respectivement.
1. Montrer que GH = IJ.
2. Quelle condition doivent vérifier E et F pour que (JG) et (IH) soient parallèles ?
Exercice 3 – Pyramide à base rectangulaire (géométrie dans l’espace)
La pyramide SABCD est à base rectangulaire.
On appelle I le milieu de [SA] et J le milieu de [SB].
Déterminer l’intersection des plans (DIJ) et (SAC).
Exercice 4 – Etude d’un pavé droit
ABCDEFGH est un pavé droit.
On note I le milieu de l’arête [AB] et J le point tel que\(\vec{HJ}=\frac{3}{4}\vec{AB}\) .
O est le centre de la face BCGF.
Démontrer que les droites (IH) et (JO) sont parallèles.
Exercice 5 – Etude d’une pyramide (géométrie dans l’espace)
SABCD est une pyramide à base carrée ABCD de centre O.
G est le centre de gravité du triangle SBD et E est le milieu du segment [SC].
Démontrer que les points A, G et E sont alignés.
Exercice 6 – Points coplanaires
L’espace est rapporté à un repère orthonormal direct \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) .
On considère les points :
A(1 ; 0 ; – 1) B( – 1 ; 0 ; 0) C(1 ; – 6 ; 4) D(4 ; – 9 ; 5) E(3 ; – 6 ; 3)
1. Montrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.
2. Montrer que le point D appartient à la droite (AE).
3. Montrer que ABCE est un parallélogramme. Est-ce un rectangle ? Est-ce un carré ?
Exercice 7 – Points alignés (géométrie dans l’espace)
On donne A (1 ; – 2 ; 3), B (0 ; 4 ; 4) et C (4 ; – 20 ; 9).
Les points A, B et C sont-ils alignés ?
Exercice 8 – Nature d’un triangle
On donne A(1 ; 1 ; 3), \(B(\sqrt{2}+1;0;2)\) et \(C(\sqrt{2}+1;2;2)\).
Quelle est la nature du triangle ABC ?
Exercice 9 – Droites parallèles (géométrie dans l’espace)
On donne A( – 3 ; 1 ; 4), B( – 2 ; – 1 ; 7), C( – 4 ; – 1 ; – 2) et D(- 5 ;- 5 ; 4).
Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles ?
Exercice 10 – Calculer les coordonnées d’un barycentre
On donne A(2 ; – 1 ; 3), B(1 ; 2 ; 0), C( – 2 ; 1 ; 2) et D( -1 ; – 2 ; 5).
1. ABCD est-il un parallélogramme ? Un rectangle ?
2. Calculer les coordonnées de l’isobarycentre du quadrilatère ABCD.
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Exercice 11 (géométrie dans l’espace)
Déterminer un vecteur normal à chacune des droites données par les équations cartésiennes
ci-dessous.
a) 2x+y – 3 = 0 b) – 3x + 5y = 0
c) 5x – 3y + 2 =0 d) – 2x – 4y + 1 =0
Exercice 12 :
déterminer un vecteur normal à chacune des droites définies par les deux points donnés.
a) B(- 3 ; 2) et C(1 ; – 2) b) F(1 ; 0) et G( – 3 ; 4)
c) M(0; – 2) et N(5 ; 4) d) H( – 2;3) et K( – 1; – 5)
Exercice 13 (géométrie dans l’espace)
Dans chacun des cas, déterminer une équation cartésienne de la droite passant par le point donné
et de vecteur normal \(\vec{n}\) donné.
a) \(A(-\frac{2}{3};\frac{1}{3})\) et \(\vec{n}(2;3)\).
b) \(G(\frac{3}{2};-4)\) et \(\vec{n}(-5;1)\).
c) \(D(-\sqrt{3};-1)\) et \(\vec{n}(3;-2)\).
Exercice 14 :
On considère la droite d d’équation cartésienne 3x + y – 4 = 0 et le point B(2; – 3).
1)Donner un vecteur normal à la droite d.
2)En déduire une équation de la droite perpendiculaire à d passant par B.
3)En déduire les coordonnées du point K, projeté orthogonal du point B sur la droite d donnée.
Exercice 15 :
Pour chacune des équations suivantes, retrouver dans le tableau quel est son centre et son rayon.
a) \(x^2-4x+y^2+2y+1=0\).
b) \(x^2+6x+y^2-4y+7=0\).
c) \(x^2-2x+y^2-6y+9=0\).
d) \(x^2+8x+y^2+4y+15=0\).
| Centre | Rayon |
|---|---|
| E(1 ; 3) | \(r=2\) |
| F(−4 ; −2) | \(r=1\) |
| G(−3 ; 2) | \(r=\sqrt{6}\) |
| H(2 ; −1) | \(r=\sqrt{5}\) |
Exercice 16 :
Dans chacun des cas suivants, déterminer le centre et le rayon du cercle si l’équation donnée
correspond bien à un cercle.
a) \(x^2+3x+y^2-4y=0\)
b) \(x^2-x+y^2-3y+1=0\)
c) \(x^2+8x+y^2+3y+16=0\)
d) \(x^2+6x+y^2-4y+14=0\)
Exercice 17 :
On considère les équations suivantes :
\(x^2+2x+y^2-2y-2=0\) et \(x^2-6x+y^2+4y+4=0\).
1)Montrer que ces équations sont celles de deux cercles.
2)Pour chacun d’entre eux, donner son centre et son rayon.
3)Calculer la distance entre les deux centres.
4)Que peut-on en déduire sur la position des deux cercles ? Justifier.
Exercice 18 – Section d’un cube (géométrie dans l’espace)
ABCDEFGH est un cube d’arête 1. On munit l’espace du repère orthonormé \((A\,;\,\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\). Les points I, J et K sont les milieux respectifs de [EF], [FG] et [BC].
![Cube ABCDEFGH en perspective cavalière avec les milieux I de [EF], J de [FG] et K de [BC] et le triangle IJK](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/exo-figures/fb122f5591c8a.svg)
1. Donner les coordonnées des points A, B, C, D, E, F, G, H, puis celles de I, J et K.
2. Montrer que les droites (IJ) et (AC) sont parallèles.
3. Calculer les longueurs IJ, JK et IK. En déduire la nature du triangle IJK, puis son aire.
4. Calculer les coordonnées du centre de gravité du triangle IJK.
Exercice 19 – Pyramide régulière et milieux
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère la pyramide SABCD de base le carré ABCD, avec \(A(0\,;0\,;0)\), \(B(4\,;0\,;0)\), \(C(4\,;4\,;0)\), \(D(0\,;4\,;0)\) et \(S(2\,;2\,;3)\). Les points M et N sont les milieux respectifs de [SC] et [SD].
![Pyramide SABCD à base carrée avec M milieu de [SC] et N milieu de [SD]](https://mathovore.fr/wp-content/uploads/exo-figures/f58e2b66c9afa.svg)
1. Calculer les longueurs SA, SB, SC et SD. Que peut-on en déduire ?
2. Déterminer les coordonnées de M et de N. Montrer que (MN) est parallèle à (AB), et calculer MN.
3. Calculer le volume de la pyramide et l’aire d’une face latérale.
4. Soit P le point de [SA] tel que \(\vec{SP}=\dfrac{1}{4}\vec{SA}\). Calculer les coordonnées de P et la longueur SP.
Exercice 20 – La valise et son pavé droit
Une valise a la forme d’un pavé droit ABCDEFGH de dimensions \(AB=80\) cm, \(AD=50\) cm et \(AE=30\) cm. On munit l’espace du repère orthonormé \((A\,;\,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\), où \(\vec{\imath}=\dfrac{1}{80}\vec{AB}\), \(\vec{\jmath}=\dfrac{1}{50}\vec{AD}\) et \(\vec{k}=\dfrac{1}{30}\vec{AE}\).
1. Donner les coordonnées des huit sommets.
2. Calculer la longueur de la diagonale [AG] (valeur exacte, puis arrondie au centimètre). Peut-on ranger dans la valise un parapluie de 95 cm ? une canne de 100 cm ?
3. Montrer que les segments [AG], [BH], [CE] et [DF] ont le même milieu \(\Omega\) dont on donnera les coordonnées.
4. Calculer les longueurs des côtés du triangle BDG. Est-il isocèle ? rectangle ?
5. Le point P est sur [AG] avec \(AP=\dfrac{2}{5}AG\). Calculer ses coordonnées.
Bien travailler avec géométrie dans l’espace
Tout d’abord, fais l’exercice sans regarder la solution. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur géométrie dans l’espace vaut mieux qu’une longue séance.
Par exemple, refais un exercice raté deux jours plus tard. Enfin, pour aller plus loin, l’article Géométrie dans l’espace de Wikipédia présente la notion autrement. Également, tu peux continuer avec les équations et inéquations du second degré : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
