Fonctions et variations : exercices 1ère maths corrigés en PDF

Mise à jour le 23 octobre 2020

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Des exercices sur la comparaison de fonction et le sens de variation d’une fonction numérique. Ces problèmes disposent d’une correction détaillée et sont à télécharger en PDF.

Exercice 1 – Sens de variation d’une fonction composée

Donner une décomposition de la fonction $f$ définie par $f(x) = (x-3)^2 +2$ qui permette d’en déduire son sens de variation sur l’intervalle $I =] - \infty ; 3]$ .

Exercice 2 – Sens de variation

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x(1-x)\,sur\,\mathbb{R}.$

1. Démontrer que $f(x)\leq\, \frac{1}{4}\,,\gamma x\in\mathbb{R}.$

2. En déduire que la fonction $f$ admet un maximum en $x=\frac{1}{2}.$

3. Démontrer que $f(x)=\frac{1}{4}-(x-\frac{1}{2})^2$ .

4. En déduire que $f$ est croissante sur l’intervalle $]-\infty;\frac{1}{2}[$ et décroissante sur $]\frac{1}{2};+\infty[$ .

Exercice 3 – Comparer deux fonctions

Le but de cet exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{1}{1+x^4}\,et\,g(x)=\frac{1}{1+x^2}$

1. Calculer $f(x)-g(x)$ .

2. En déduire l’intervalle sur lequel on a $f\geq\, g.$

Exercice 4 – Comparaison de fonctions

Le but de cet exercice est de comparer les deux fonctions f et g définies par :

$f(x)=\sqrt{1+x}$ et $g(x)=1+\frac{x}{2}$ sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

1. Montrer que $f(x)\geq\,,0$ et $g(x)\geq\,,0$ pour tout x appartenant à $[-1;+\infty[$ .

2. Calculer $,(f(x),,)^2$ et $,(g(x),,)^2$ .

3. Démontrer que $,(f(x),,)^2\leq\,,,(g(x),,)^2$ pour tout x appartenant à $[-1;+\infty[$ .

4. En déduire une comparaison de f et g sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

5. Tracer sur un même repère les représentations graphiques de f et g sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

Exercice 5 – Fonction composée

On considère la fonction f définie par $f(x) = x^2 - 1$ sur $\mathbb{R}$ .

Donner une formule explicite de la fonction $fog$ lorsque :

1. $g(x)=\sqrt{x-1}\,sur\,[1;+\infty[$ .

2. $g(x)=1-\frac{1}{x}\,sur\,\mathbb{R}^*$ .

Exercice 6 – Parité

Etudier la parité de chacune des fonctions suivantes :

$f(x)=x+\frac{1}{x}\,sur\,\mathbb{R}^*\\g(x)=x^2+\frac{1}{x}\,sur\,\mathbb{R}^*\\h(x)=x+\frac{1}{x^2}\,sur\,\mathbb{R}^*\\k(x)=x^2+\frac{1}{x^2}\,sur\,\mathbb{R}^*$

Exercice 7 – Etude de fonction numérique

Exercice 8

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2+6x+5$

1. Etudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre la courbe représentative de $f$ et la droite $D$ d’équation $y=\frac{1}{2}x-2$ .
Exercice 9

Etudier les variations sur $\mathbb{R}$ de la fonction f définie par $f(x)=3x-4x^3$ .

Exercice 10

Soit f la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=\frac{-4x-4}{x^2+2x+5}$ .

1. Etudier les variations de f sur $\mathbb{R}$ .

2. Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l’axe des abscisses .

3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de $f$ au point A.
Exercice 11

Etudier les variations sur ]-2 ; 1[ de la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\frac{-5x^2+4x-8}{x^2+x-2}$ .

Exercice 12 – Calcul de limites de fonctions

Determiner les limites suivantes :

1. $\lim_{x \to +\infty} -\frac{1}{x}$

2. $\lim_{x \to +\infty} -\frac{x^2}{2}$

3. $\lim_{x \to +\infty} 2+\frac{1}{x}$

4. $\lim_{x \to +\infty} -5x^3$

Exercice 13

Determiner les limites suivantes :
1. $\lim_{x \to -\infty} -\frac{1}{x}$

2. $\lim_{x \to -\infty} -\frac{x^2}{2}$

3. $\lim_{x \to -\infty} 2+\frac{1}{x}$

4. $\lim_{x \to -\infty} -5x^3$

5. $\lim_{x \to -\infty} -\sqrt{-x}$

6. $\lim_{x \to -\infty} -\frac{2}{-5x^3}$

Exercice 14

Déterminer les limites suivantes :
1. $\lim_{x \to 0^-} -\frac{1}{x}$

2. $\lim_{x \to {-3}^-} x+3$

3. $\lim_{x \to {2}^-} 2-x^2$

4. $\lim_{x \to {3}^+} \frac{1}{2x-6}$

5. $\lim_{x \to {3}^+} \frac{-7}{6-2x}$

Exercice 15

Déterminer les limites de sommes ou de differences suivantes :
1. $\lim_{x \to +\infty} x^2+3x+5$

2. $\lim_{x \to +\infty} 10-3x-x^2$

3. $\lim_{x \to +\infty} 3+\frac{1}{x}-\frac{6}{x^2}$

Exercice 16

Déterminer les limites de quotients et racines carrees suivantes :
1. $\lim_{x \to 0^-} \frac{3x^2+6x-5}{x^3}$

2. $\lim_{x \to 2^-} \frac{4x^2+2x-1}{x-2}$

3. $\lim_{x \to 6^-} 5x+6-\frac{7}{x-6}$

4. $\lim_{x \to {-3}^-} \frac{4-x^2}{(x+3)^2}$

5. $\lim_{x \to {6}^+} \sqrt{2x-12}$

6. $\lim_{x \to {3}^-} \sqrt{\frac{1}{3-x}}$

7. $\lim_{x \to {3}^+} 5x+3-\frac{1}{\sqrt{3-x}}$

Exercice 17

Préciser la limite des formes indeterminees suivantes :
1. $\lim_{x \to +\infty} x^2-3x+5$

2. $\lim_{x \to +\infty} 1-x^2+x^3$

3. $\lim_{x \to -\infty} x^2+5x-1$

4. $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+5x-9}{5x^2-1}$

5. $\lim_{x \to -\infty} \frac{8x^6-9}{5x^4-3}$

6. $\lim_{x \to +\infty} x-\sqrt{x}$

7. $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+2}-\sqrt{x}$

8. $\lim_{x \to -\infty} \sqrt{3-x}-\sqrt{4-x}$

Exercice 18 – Forme canonique et factorisée

Déterminer la forme canonique et factorisée de :

$f:x \mapsto 2x^2-2(\sqrt{3}-\sqrt{5})x-2\sqrt{15}$

Exercice 19 – Etude de fonctions du second degré

On note $f$ et $g$ deux fonctions polynômes du second degré, définies par :

$f:x,\mapsto ,2x^2,+2x-4$ et $g:x,\mapsto ,-(x+3)(x+2)$

On note $C_f$ et $C_g$ leur représentation graphique respectives dans un repère orthogonal $(O,\vec{i},\vec{j})$ .

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ puis celui de $g$ .

2. Déterminer la forme canonique puis factorisée de $f(x)$ .

3. Déterminer la forme développée puis canonique de $g(x)$ .

4. Déterminer les coordonées des points d’intersection entre $C_f$ et les axes du repère.

5. Déterminer les coordonées des points d’intersection entre $C_g$ et les axes du repère.

6. Dresser le tableau de variation de $f$ puis celui de $g$ .

7. Décrire $C_f$ puis $C_g$ .

8. Déterminer les coordonnées des points d’intersection entre $C_f$ et $C_g$ .

9. Etudier la position relative entre les deux courbes $C_f$ et $C_g$ .

Exercice 20 – Etude d’une fonction inverse et de l’hyperbole

f est la fonction $x \mapsto \frac{2}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$ .

g est la fonction $x \mapsto -x+3$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Dans un repère orthonormal $(O,i,j)$ , C et D sont les courbes représentant f et g.

1. Tracer les courbes C et D.

2. Démontrer que le point d’abscisse 1 de D appartient à C.

Trouver le second point d’intersection de ces courbes.

indication : Vérifier que x² – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2)

3. Vérifier les coordonnées de ces points d’intersection sur le graphique.

4. Construire l’ensemble des points M(x; y) tels que x² y² = 4.

5. Un rectangle a pour aire 2 m² et pour périmètre 6m.

En utilisant le graphique précédent, trouver sa longueur et sa largeur.

Exercice 21 – Etude d’une fonction

On considère la fonction f définie par :

$f(x)=\frac{(1-x^2)^2}{1+x^2}$

1. Déterminer son ensemble de définition.

2. Démontrer que f est une fonction positive sur $\mathbb{R}$ .

3. Etudier la parité de la fonction f.

4. Tracer soigneusement la représentation graphique Cf de la fonction f.

On se limitera à l’intervalle [- 3 ; 3 ].

5. Donner, par lecture graphique, la valeur du maximum de la fonction f sur :

a. l’intervalle [-1;1].

b. l’intervalle [-2;1].

6. Résoudre l’inéquation $f(x)\leq\,,1$ .

Exercice 22 – Comparaison de fonctions

Le but de cet exercice est de comparer les fonctions f et g définies par :

$f(x)=\sqrt{1+x}$ et $g(x)=1+\frac{x}{2}$ sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

1. Montrer que $f(x)\geq\,,0$ et $g(x)\geq\,,0$ pour tout $x\in[-1;+\infty[$ .

2. Calculer $(f(x))^2$ et $(g(x))^2$ .

3. démontrer que $(f(x))^2,\leq\,,(g(x))^2$ pour tout $x\in[-1;+\infty[$ .

4. En déduire une comparaison de f et g sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

5. Tracer sur un même repère les représentation graphique de f et g sur l’intervalle $[-1;+\infty[$ .

Exercice 23 – Parité

Etudier la parité des fonctions suivantes :

$f(x)=x+\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$

$g(x)=x+\frac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}^*$

Exercice 24 – Composée

On considère la fonction f définie par $f(x)=x^2-1$ sur $\mathbb{R}$ .

Donner une formule explicite de la fonction $fog$ lorsque :

$g(x)=\sqrt{1-x}$ sur $]-\infty;1]$ puis $g(x)=1-\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}^*$ .

Exercice 25 – Composée de fonctions de référence

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\sqrt{4x-1}$ sur $I=[\frac{1}{4};+\infty[.$

En considérant la fonction f comme la composée de fonctions de référence, préciser le sens de variations de f sur l’intervalle I.

Exercice 26 – Sens de variation d’une fonction composée

On donne $f(x)=-3x+1$ et $g(x)=\frac{1}{x}$ .

On définit la fonction $h$ définie sur $I=]-\infty;\frac{1}{3}[$ par $h=gof.$ .

1. Donner l’expression de $h(x)$ .

2. Déterminer le sens de variation de $h$ sur I .

Exercice 27 – Ensemble de définition d’une fonction composée

On considère les fonctions f et g définies par :

$f(x)=x^2-1\,et\,g(x)=\frac{x+1}{x}$ .

1. Calculer $gof(x)$ .

2. Quel est l’ensemble de définition de $gof$ ?

Exercice 28 – Fonction majorée

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=\frac{2x^2}{x^2+3}$ .

1. Déterminer les réels a et b tels que $f(x)=a+\frac{b}{x^2+3}$ .

2. Montrer que f est majorée par 2.

Exercice 29 – Forme canonique

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=3x^2-12x+21$

1. Déterminer la forme canonique de $f$ .

2. Décrire la courbe de $f$ .

Exercice 30 – Tracer la courbe de la somme de deux fonctions

u et v sont représentées ci-dessous.

Tracer sur ce graphique la courbe représentative de la fonction u + v.

Exercice 31 – Exploitation d’un tableau de variation

Voici le tableau de variations d’une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ :

On donne f( – 2) = – 1 et f(2) = 0.

On définit les fonctions suivantes :

$h:x \mapsto f(x)+2;r:x \mapsto f(x+2);p:x \mapsto f(2x);g:x \mapsto 2f(x)$

1. Donner les valeurs de g (1), h (2), p (1) et r ( – 1).

2. Etablir les tableaux de variations de h, r, p et g.

Exercice 32 – Fonction rationnelle

Soit la fonction $f$ définie par :

$f(x)=\frac{2x+3}{3x+2}$

1. Etudier les limites de f. Interpréter graphiquement.

2. Etudier les variations de f. Donner le tableau de variations complet.

3. Déterminer les éventuelles intersections de (Cf ) avec l’axe des abscisses.

Exercice 33 – Fonctions composées commutatives

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par :

$f(x)=2x^2-1$ et $g(x)=4x^3-3x.$

Démontrer que $fog=gof.$

Exercice 34 – Comparaison de racines

Soient $a,b$ dans $\mathbb{R}$ .

1. Développer $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2.$

2. Démontrer que $\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq\, \sqrt{a+b}.$

Corrigé de ces exercices sur les fonctions numériques

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