Ce contrôle de maths de 1ère porte sur le thème suivant : second degré et dérivation.
Ce sujet bilan réunit deux chapitres de première : le second degré et la dérivation. Tu y retrouves le discriminant, les trois formes d’un trinôme et la résolution d’une inéquation, puis le nombre dérivé lu sur un graphique et l’équation d’une tangente.
Les deux derniers exercices mêlent les deux chapitres : la dérivée d’un polynôme de degré 3 est un trinôme, dont le signe donne les variations ; enfin, une factorisation permet de savoir si une courbe est au-dessus ou au-dessous de sa tangente. Commence par les automatismes sans calculatrice et soigne tes tableaux de signes.
- Niveau : 1ère
- Chapitres : Équations et inéquations du second degré + Dérivée d’une fonction
- Durée conseillée : 1 heure 30
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 4 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : discriminant, racines, forme canonique et forme factorisée d’un trinôme ; fonction dérivée d’un polynôme
- Représenter : lire un nombre dérivé comme coefficient directeur d’une tangente sur un graphique
- Raisonner : déduire les variations d’une fonction du signe de sa dérivée étudié avec le second degré
- Chercher : étudier la position relative d’une courbe et de sa tangente par le signe d’une différence
- Communiquer : présenter un tableau de signes et de variations complet
Exercice 1 : Automatismes (4 points)
Calculatrice interdite pour cet exercice. Calculatrice autorisée pour les exercices 2 à 5.
Donne directement le résultat, sans justification.
- Calcule le discriminant du trinôme \(2x^2 – 3x + 1\). (0,5 point)
- Donne les solutions de l’équation \((x-2)(x+5) = 0\). (0,5 point)
- Écris \(x^2 – 6x + 11\) sous forme canonique. (0,5 point)
- Donne la dérivée de \(f(x) = x^3 – 4x^2 + 7\). (0,5 point)
- On pose \(g(x) = \frac{1}{x}\) pour \(x \neq 0\). Calcule \(g^{\prime}(2)\). (0,5 point)
- Donne les coordonnées du sommet de la parabole d’équation \(y = -2(x-1)^2 + 3\). (0,5 point)
- On sait que \(u(2) = 5\) et \(u^{\prime}(2) = -1\). Donne l’équation réduite de la tangente à la courbe de \(u\) au point d’abscisse 2. (0,5 point)
- Donne le signe de \(x^2 + 1\) pour tout réel \(x\). (0,5 point)
Exercice 2 : Un trinôme sous toutes ses formes (4 points)
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = -x^2 + 2x + 8\).
- Calcule le discriminant de \(f(x)\) et détermine les racines du trinôme. (1 point)
- Déduis-en la forme factorisée de \(f(x)\). (0,5 point)
- Montre que \(f(x) = -(x-1)^2 + 9\). Donne les coordonnées du sommet de la parabole et précise s’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum. (1 point)
- Résous dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(f(x) \geq\, 5\). (1,5 point)
Exercice 3 : Lire et calculer des nombres dérivés (4 points)
On a tracé ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_f\) d’une fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\), sa tangente \(T\) au point \(A\) d’abscisse 4 (en rouge), qui passe par le point \(C\), et sa tangente au point \(B\) (en vert), qui est horizontale.
- Par lecture graphique, donne \(f(4)\) et \(f^{\prime}(2)\). (1 point)
- Par lecture graphique, détermine \(f^{\prime}(4)\) en expliquant ta démarche. (1 point)
- On admet que \(f(x) = x^2 – 4x + 2\). Calcule \(f^{\prime}(x)\) et vérifie la valeur de \(f^{\prime}(4)\). (0,5 point)
- Détermine l’équation réduite de la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d’abscisse 1. (1 point)
- Existe-t-il un point de \(\mathcal{C}_f\) où la tangente est parallèle à la droite d’équation \(y = 2x\) ? Si oui, donne ses coordonnées. (0,5 point)
Exercice 4 : Étude d’une fonction de degré 3 (4 points)
Soit \(g\) la fonction définie sur l’intervalle \([-3 ; 5]\) par \(g(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 5\).
- Calcule \(g^{\prime}(x)\). (0,5 point)
- Étudie le signe de \(g^{\prime}(x)\) sur \([-3 ; 5]\) à l’aide du discriminant. (1,5 point)
- Dresse le tableau de variations complet de \(g\) sur \([-3 ; 5]\). (1,5 point)
- Donne le maximum et le minimum de \(g\) sur \([-3 ; 5]\), et les valeurs de \(x\) où ils sont atteints. (0,5 point)
Exercice 5 : Une courbe et sa tangente (4 points)
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = x^3 – 2x^2 + 1\), de courbe \(\mathcal{C}_h\). On note \(A\) le point de \(\mathcal{C}_h\) d’abscisse 1 et \(T\) la tangente à \(\mathcal{C}_h\) en \(A\).
- Montre que \(T\) a pour équation \(y = -x + 1\). (1 point)
- Montre que, pour tout réel \(x\), \(h(x) – (-x + 1) = x(x-1)^2\). (1 point)
- Étudie le signe de \(x(x-1)^2\) selon les valeurs de \(x\), puis déduis-en la position relative de \(\mathcal{C}_h\) et de \(T\). (1,5 point)
- La figure est-elle cohérente avec ta réponse ? Explique. (0,5 point)
Réviser avant le contrôle : second degré et dérivation
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Equations et inéquations du second degré » en 1ère et « Dérivée d’une fonction » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés les équations et inéquations du second degré, dérivée d’une fonction.
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