Contrôle de maths 1ère : définitions et calculs du produit scalaire

Exercice 1 : Avec les coordonnées (4 points)

Calculatrice interdite.

Dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs \(\vec{u}(3 \,;\, -2)\), \(\vec{v}(4 \,;\, 6)\) et \(\vec{w}(-1 \,;\, 5)\).

1. Calcule \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). Que peut-on en déduire pour les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ? (1 point)
2. Calcule \(\vec{u} \cdot \vec{w}\) et la norme \(\|\vec{u}\|\). (1 point)
3. Détermine le réel \(m\) pour lequel le vecteur \(\vec{a}(m \,;\, 2)\) est orthogonal à \(\vec{w}\). (1 point)
4. On donne les points \(A(1 \,;\, 2)\), \(B(4 \,;\, 0)\) et \(C(3 \,;\, 5)\). Calcule \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) et déduis-en la nature du triangle \(ABC\). (1 point)

Exercice 2 : Avec le cosinus (3 points)

1. \(\|\vec{u}\| = 4\), \(\|\vec{v}\| = 5\) et une mesure de l’angle \((\vec{u}, \vec{v})\) est \(\dfrac{\pi}{3}\). Calcule \(\vec{u} \cdot \vec{v}\). (1 point)
2. Dans un triangle \(ABC\), \(AB = 6\), \(AC = 2\sqrt{2}\) et \(\widehat{BAC} = \dfrac{3\pi}{4}\). Calcule \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). (1 point)
3. \(\|\vec{u}\| = 2\), \(\|\vec{v}\| = 3\) et \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -3\sqrt{3}\). Détermine la mesure dans \([0 \,;\, \pi]\) de l’angle \((\vec{u}, \vec{v})\). (1 point)

Exercice 3 : Dans un carré (4 points)

\(ABCD\) est un carré de côté 4. \(I\) est le milieu de \([BC]\) et \(J\) est le milieu de \([CD]\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\) à l’aide d’un projeté orthogonal. (1 point)
2. Calcule \(\vec{AB} \cdot \vec{AI}\). (1 point)
3. Écris \(\vec{AI}\) et \(\vec{AJ}\) en fonction de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\), puis calcule \(\vec{AI} \cdot \vec{AJ}\) en utilisant la bilinéarité. (1,5 point)
4. Calcule \(AI\), puis déduis-en \(\cos \widehat{IAJ}\). (0,5 point)

Exercice 4 : Dans un triangle équilatéral (4 points)

\(ABC\) est un triangle équilatéral de côté 6 et \(H\) est le milieu de \([BC]\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Calcule \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). (1 point)
2. Justifie que \(H\) est le projeté orthogonal de \(A\) sur \((BC)\), puis calcule \(\vec{BA} \cdot \vec{BC}\). (1 point)
3. Que vaut \(\vec{AH} \cdot \vec{BC}\) ? Justifie. (0,5 point)
4. Calcule \(\vec{CA} \cdot \vec{AB}\). (1 point)
5. Calcule \(\vec{AH} \cdot \vec{AB}\). (0,5 point)

Exercice 5 : Normes, identités et diagonales (5 points)

Partie A. Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) vérifient \(\|\vec{u}\| = 3\), \(\|\vec{v}\| = 2\) et \(\vec{u} \cdot \vec{v} = -1\).

1. Calcule \((\vec{u} + \vec{v}) \cdot (\vec{u} – \vec{v})\). (1 point)
2. Calcule \(\|\vec{u} + \vec{v}\|\). (1 point)
3. Calcule \(\|2\vec{u} – \vec{v}\|\). (1 point)

Partie B. \(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB = 5\) et \(AD = 3\).

4. En écrivant \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\) et \(\vec{BD} = \vec{AD} – \vec{AB}\), calcule \(\vec{AC} \cdot \vec{BD}\). (1 point)
5. Déduis-en le cosinus de l’angle \((\vec{AC}, \vec{BD})\). Les diagonales sont-elles perpendiculaires ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : définitions et calculs du produit scalaire

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Le produit scalaire dans le plan » en 1ère et « Les suites numériques » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés produit scalaire.

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