Equations et inéquations du second degré : cours de maths en 1ère S

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Les équations et inéquations du second degré dans un cours de maths en 1ère S où nous aborderons la résolution avec le discriminant delta et la factorisation d’un polynôme du second de gré ainsi que l’étude de son signe. Dans cette leçon en première S, nous étudierons l’interprétation graphique.

Dans tout ce chapitre, nous considérerons a un réel non nul.

I. Résolution de l’équation du second degré :

1. Définition et vocabulaire :

Définition :

Une équation du second degré, à une inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax²+bx+c=0, où a,b,c sont trois réels donnés avec a équation 0.
Résoudre l’équation ax²+bx+c = 0, c’est trouver tous les nombres p tels que ap²+bp+c=0.

Un tel nombre p est dit solution ou encore racine de l’équation.

2. Résolution de l’équation du second degré :

Posons f(x) = ax²+bx+c avec a non nul 0.

2.1. Ecriture de f(x) sous forme canonique :

Définition :

Puisque a\neq0, f()=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) ou x^2+\frac{b}{a}x=(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}

donc f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}].

Cette dernière écriture est appelée forme canonique de f.

2.2. Résolution de l’équation ax²+bx+c=0 :

Propriété :

On pose \Delta,=b^2-4ac   ainsi  f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta,}{4a^2}]

1er cas :

Si \Delta,<0 alors \frac{\Delta,}{4a^2}<0.

Le nombre entre crochets est strictement positif donc l’équation f(x)=0 n’a pas de solution.

2ème cas :

Si \Delta,=0  alors  f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2 .

Puisque a\neq,0, l’équation f(x)=0 a une solution et une seule :

x=-\frac{b}{2a}.

3eme cas :

Si \Delta,>0 alors \Delta,=(\sqrt{\Delta,})^2  et :

f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta,}{4a^2}],\\f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{\sqrt{\Delta},}{2a})^2],\\f(x)=a(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta},}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta},}{2a})

f(x)=a(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta},}{2a})(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta},}{2a}-)

Si l’on pose :

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta},}{2a}   et    x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta},}{2a}

alors f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).

Donc puisque  a\neq,0, l’équation f(x)=0 a deux solutions distinctes  x_1 et x_2.

Définition :

Le nombre b^2-4ac est appelé discriminant de l’équation du second degré ax^2+bx+c ou du trinôme ax^2+bx+c.

On le note \Delta ( lire « delta »).

Théorème :

a. Lorsque \Delta,<0, l’équation n’a pas de solution dans \mathbb{R}.

b. Lorsque \Delta,=0, l’équation a une racine double : x_1=\frac{-b,}{2a}.

c. Lorsque \Delta,>0, l’équation a deux solutions :

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta},}{2a}   et    x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta},}{2a} .

II. Factorisation et signe du trinôme :

1. Factorisation du trinôme :

Nous avons vu, au cours de la démonstration du théorème 1 que si

\Delta,>0 alors f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).

Théorème 2 : factorisation du trinôme.

Lorsque l’équation f(x)=ax²+bx+c=0 a deux solutions x_1 et x_2 ( dans le cas \Delta,>0) alors,

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

2. Signe du trinôme :

Théorème
  • Lorsque \Delta,<0, f(x) est toujours du signe de a.
  • Lorsque \Delta,=0, f(x) est du signe de a
  • Lorsque \Delta,<0, f(x) est du signe de a, sauf lorsque x est entre les racines, auquel cas f(x) et a sont de signes contraires.

Application :

Pour résoudre une inéquation du second degré, on determine le signe du trinôme associé.

III. Représentations graphiques des fonctions trinômes :

Définition :

La courbe de la fonctionf : x \mapsto   ax^2+bx+c est une parabole.Cette parabole est tournée vers le haut lorsque a>0 et tournée vers le bas lorsque a<0.

Synthèse :

synthèse trinôme équation second degré

Exemples :

Résoudre x^2+3x+3>0

Solution :

équations = – 3 puisque trinôme<0, le trinôme n’a pas de racine dans nombre réel.

De plus a=1 donc a>0 ainsi x²+3x+3>0 pour tout x réel et S=ensemble solution.

Résoudre –x²+3x-2 Résoudre l'équation 0 équation à résoudre =1, l’équation –x²+3x-2=0 a deux racines équation du second degré = 1 et résolution d'équation = 2 .

a=-1 donc a<0 ainsi l’ensemble solution est l’intervalle [1 ;2].

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