Dans tout ce chapitre, nous considérerons a un réel non nul.
I. Résolution de l’équation du second degré :
1. Définition et vocabulaire :
- Une équation du second degré, à une inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme
, où sont trois réels donnés avec . - Résoudre l’équation , c’est trouver tous les nombres tels que .
- Un tel nombre p est dit solution ou encore racine de l’équation.
2. Résolution de l’équation du second degré :
Posons f(x) = ax²+bx+c avec .
2.1. Ecriture de f(x) sous forme canonique :
Puisque , ou
donc .
Cette dernière écriture est appelée forme canonique de f.
2.2. Résolution de l’équation ax²+bx+c=0 :
On pose ainsi
Premier cas :
Si alors .
Le nombre entre crochets est strictement positif donc l’équation f(x)=0 n’a pas de solution.
Second cas :
Si alors .
Puisque , l’équation f(x)=0 a une solution et une seule :
.
Troisième cas :
Si alors et :
Si l’on pose :
et alors .
Donc puisque , l’équation f(x)=0 a deux solutions distinctes et .
Le nombre est appelé discriminant de l’équation du second degré ou du trinôme .
On le note ( lire « delta »).
a. Lorsque , l’équation n’a pas de solution dans .
b. Lorsque , l’équation a une racine double : .
c. Lorsque , l’équation a deux solutions :
et .
II. Factorisation et signe du trinôme :
1. Factorisation du trinôme :
Nous avons vu, au cours de la démonstration du théorème 1 que si
alors .
Lorsque l’équation f(x)=ax²+bx+c=0 a deux solutions et ( dans le cas ) alors,
2. Signe du trinôme :
- Lorsque , est toujours du signe de a.
- Lorsque , est du signe de a
- Lorsque , est du signe de a, sauf lorsque x est entre les racines, auquel cas f(x) et a sont de signes contraires.
Application :
Pour résoudre une inéquation du second degré, on détermine le signe du trinôme associé.
III. Représentations graphiques des fonctions trinômes :
La courbe de la fonction est une parabole. Cette parabole est tournée vers le haut lorsque et tournée vers le bas lorsque .
Synthèse :
Exemples :
Résoudre
Solution :
puisque , le trinôme n’a pas de racine dans .
De plus a=1 donc a>0 ainsi pour tout réel et .
Résoudre l’inéquation du second degré .
Nous avons .
L’équation a deux racines qui son t:
.
Nous avons donc ainsi l’ensemble solution de l’inéquation du second degré est l’intervalle .
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