cours maths 1ere

Equations et inéquations du second degré : cours de maths en 1ère S

Les équations et inéquations du second degré dans un cours de maths en 1ère S où nous aborderons la résolution avec le discriminant delta et la factorisation d’un polynôme du second de gré ainsi que l’étude de son signe. Dans cette leçon en première S, nous étudierons l’interprétation graphique.

Dans tout ce chapitre, nous considérerons a un réel non nul.

I. Résolution de l’équation du second degré :

1. Définition et vocabulaire :

Définition :

Une équation du second degré, à une inconnue x, est une équation qui peut s’écrire sous la forme ax²+bx+c=0, où a,b,c sont trois réels donnés avec a 0Résoudre l’équation ax²+bx+c = 0, c’est trouver tous les nombres p tels que ap²+bp+c=0.

Un tel nombre p est dit solution ou encore racine de l’équation.

2. Résolution de l’équation du second degré :

Posons f(x) = ax²+bx+c avec a 0.

2.1. Ecriture de f(x) sous forme canonique :

Définition :

Puisque a\neq0, f()=a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}) ou x^2+\frac{b}{a}x=(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a^2}

donc f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2-4ac}{4a^2}].

Cette dernière écriture est appelée forme canonique de f.

2.2. Résolution de l’équation ax²+bx+c=0 :

Propriété :

On pose \Delta,=b^2-4ac   ainsi  f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta,}{4a^2}]

1er cas :

Si \Delta,<0 alors \frac{\Delta,}{4a^2}<0.

Le nombre entre crochets est strictement positif donc l’équation f(x)=0 n’a pas de solution.

2ème cas :

Si \Delta,=0  alors  f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2 .

Puisque a\neq,0, l’équation f(x)=0 a une solution et une seule :

x=-\frac{b}{2a}.

3eme cas :

Si \Delta,>0 alors \Delta,=(\sqrt{\Delta,})^2  et :

f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{\Delta,}{4a^2}],\\f(x)=a[(x+\frac{b}{2a})^2-(\frac{\sqrt{\Delta},}{2a})^2],\\f(x)=a(x+\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{\Delta},}{2a})(x+\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{\Delta},}{2a})

f(x)=a(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta},}{2a})(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta},}{2a}-)

Si l’on pose :

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta},}{2a}   et    x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta},}{2a}

alors f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).

Donc puisque  a\neq,0, l’équation f(x)=0 a deux solutions distinctes  x_1 et x_2.

Définition :

Le nombre b^2-4ac est appelé discriminant de l’équation du second degré ax^2+bx+c ou du trinôme ax^2+bx+c.

On le note \Delta ( lire « delta »).

Théorème :

a. Lorsque \Delta,<0, l’équation n’a pas de solution dans \mathbb{R}.

b. Lorsque \Delta,=0, l’équation a une racine double : x_1=\frac{-b,}{2a}.

c. Lorsque \Delta,>0, l’équation a deux solutions :

x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta},}{2a}   et    x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta},}{2a} .

II. Factorisation et signe du trinôme :

1. Factorisation du trinôme :

Nous avons vu, au cours de la démonstration du théorème 1 que si

\Delta,>0 alors f(x)=a(x-x_1)(x-x_2).

Théorème 2 : factorisation du trinôme.

Lorsque l’équation f(x)=ax²+bx+c=0 a deux solutions x_1 et x_2 ( dans le cas \Delta,>0) alors,

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)

2. Signe du trinôme :

Théorème
  • Lorsque \Delta,<0, f(x) est toujours du signe de a.
  • Lorsque \Delta,=0, f(x) est du signe de a
  • Lorsque \Delta,<0, f(x) est du signe de a, sauf lorsque x est entre les racines, auquel cas f(x) et a sont de signes contraires.

Application :

Pour résoudre une inéquation du second degré, on determine le signe du trinôme associé.

III. Représentations graphiques des fonctions trinômes :

Définition :

La courbe de la fonctionf : x \mapsto   ax^2+bx+c est une parabole.Cette parabole est tournée vers le haut lorsque a>0 et tournée vers le bas lorsque a<0.

Synthèse :

synthèse trinôme équation second degré

Exemples :

Résoudre x^2+3x+3>0

Solution :

= – 3 puisque <0, le trinôme n’a pas de racine dans .

De plus a=1 donc a>0 ainsi x²+3x+3>0 pour tout x réel et S=.

Résoudre –x²+3x-2 0 =1, l’équation –x²+3x-2=0 a deux racines = 1 et = 2 .

a=-1 donc a<0 ainsi l’ensemble solution est l’intervalle [1 ;2].


Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «equations et inéquations du second degré : cours de maths en 1ère S» au format PDF.



Télécharger nos applications gratuites avec tous les cours,exercices corrigés Application Mathovore sur Google Play Store. Application Mathovore sur Apple Store.

.

D'autres fiches similaires à equations et inéquations du second degré : cours de maths en 1ère S.

Mathovore vous permet de réviser en ligne et de progresser en mathématiques tout au long de l'année scolaire.
De nombreuses ressources destinées aux élèves désireux de combler leurs lacunes en maths et d'envisager une progression constante. Tous les cours en primaire, au collège, au lycée mais également, en maths supérieures et spéciales ainsi qu'en licence sont disponibles sur notre sites web de mathématiques.
Des documents similaires à equations et inéquations du second degré : cours de maths en 1ère S à télécharger ou à imprimer gratuitement en PDF avec tous les cours de maths du collège au lycée et post bac rédigés par des enseignants de l'éducation nationale.
Vérifiez si vous avez acquis le contenu des différentes leçons (définition, propriétés, téhorèmpe) en vous exerçant sur des milliers d'exercices de maths disponibles sur Mathovore et chacun de ces exercices dispose de son corrigé.
En complément des cours et exercices sur le thème equations et inéquations du second degré : cours de maths en 1ère S, les élèves de troisième pourront réviser le brevet de maths en ligne ainsi que pour les élèves de terminale pourront s'exercer sur les sujets corrigé du baccalauréat de maths en ligne.

Les dernières fiches mises à jour

Voici les dernières ressources mis à jour sur Mathovore (des cours, exercices, des contrôles et autres), rédigées par notre équipe d'enseignants.

Retrouvez nos cours de maths et exercices corrigés sur notre chaîne YouTube.

Inscription gratuite à Mathovore.  Mathovore c'est 2 006 348 cours et exercices de maths téléchargés en PDF et 167 981 membres.
Rejoignez-nous : inscription gratuite.

videos maths youtube
Mathovore

GRATUIT
VOIR