Voici le corrigé du contrôle de maths de Terminale sur le thème : raisonnement par récurrence et suites.
Cette correction montre la rédaction attendue au bac pour chaque récurrence : on nomme la propriété \(P(n)\), on vérifie l’initialisation, puis on suppose \(P(n)\) vraie pour un entier \(n\) fixé et on en déduit \(P(n+1)\). Le point délicat de l’hérédité est souligné à chaque fois : utiliser l’hypothèse au bon endroit.
Pour la suite définie par une fonction, on s’appuie sur la croissance de f pour transmettre l’encadrement d’un rang au suivant, et la figure montre l’escalier des premiers termes. Le barème suit chaque exercice.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths terminale : raisonnement par récurrence et suites.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Une formule explicite | 3 points |
| Exercice 2 : Une inégalité avec les puissances de 2 | 4 points |
| Exercice 3 : Suite définie par une fonction | 6 points |
| Exercice 4 : Vrai ou faux sur les suites | 3 points |
| Exercice 5 : Les carrés de tuiles de Maëlys | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Une formule explicite (3 points)
- D’abord, \(u_1 = 3u_0 – 2 = 3 \times 2 – 2 = 4\). Ensuite, \(u_2 = 3u_1 – 2 = 3 \times 4 – 2 = 10\). \(u_1 = 4\) et \(u_2 = 10\).
- Pour tout entier naturel \(n\), on note \(P(n)\) la propriété : « \(u_n = 3^n + 1\) ».
Initialisation : \(3^0 + 1 = 1 + 1 = 2 = u_0\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit \(n\) un entier naturel fixé. On suppose que \(P(n)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_n = 3^n + 1\) (hypothèse de récurrence). On montre alors que \(P(n+1)\) est vraie, c’est-à-dire \(u_{n+1} = 3^{n+1} + 1\).
Ainsi, \(u_{n+1} = 3u_n – 2 = 3(3^n + 1) – 2 = 3^{n+1} + 3 – 2 = 3^{n+1} + 1\).
Donc \(P(n+1)\) est vraie : la propriété est héréditaire.
Conclusion : \(P(0)\) est vraie et la propriété est héréditaire, donc par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = 3^n + 1\).
Barème : a) 0,25 point par terme ; b) 0,5 point pour l’initialisation, 1,5 point pour l’hérédité (dont 0,5 point pour l’utilisation explicite de l’hypothèse de récurrence), 0,5 point pour la conclusion.
Exercice 2 : Une inégalité avec les puissances de 2 (4 points)
- Pour tout entier naturel \(n\), on note \(P(n)\) : « \(2^n \geq\, n + 1\) ».
Initialisation : \(2^0 = 1\) et \(0 + 1 = 1\), donc \(2^0 \geq\, 0 + 1\) : \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit \(n\) un entier naturel tel que \(2^n \geq\, n + 1\). On veut alors montrer que \(2^{n+1} \geq\, n + 2\).
En multipliant par 2, qui est positif, on obtient ainsi : \(2^{n+1} = 2 \times 2^n \geq\, 2(n + 1) = 2n + 2\).
Or \(2n + 2 – (n + 2) = n \geq\, 0\), donc \(2n + 2 \geq\, n + 2\).
Par transitivité, on a donc \(2^{n+1} \geq\, n + 2\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(2^n \geq\, n + 1\).
- Soit \(M\) un réel quelconque. Il existe un entier naturel \(n\) tel que \(n \geq\, M\) (par exemple \(n = 0\) si \(M \leq\, 0\), ou un entier supérieur à \(M\) sinon). Pour cet entier, d’après a), \(2^n \geq\, n + 1 > n \geq\, M\), donc \(2^n > M\). Ainsi, aucun réel \(M\) ne majore tous les termes : la suite \((2^n)\) n’est pas majorée.
Erreur fréquente : dans l’hérédité, écrire \(2^{n+1} \geq\, n + 2\) dès la première ligne, c’est-à-dire partir de ce qu’on veut démontrer. Au contraire, on part de l’hypothèse \(2^n \geq\, n + 1\) et on arrive à la conclusion.
Barème : a) 0,5 point pour l’initialisation, 2 points pour l’hérédité (1 point pour la multiplication par 2, 1 point pour la comparaison de \(2n + 2\) et \(n + 2\)), 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour le choix de l’entier \(n\), 0,5 point pour l’enchaînement des inégalités et la conclusion.
Exercice 3 : Suite définie par une fonction (6 points)
- On part de \(u_0 = 0\) sur l’axe des abscisses. Puis on monte verticalement jusqu’à la courbe : l’ordonnée obtenue est \(f(u_0) = u_1\). Ensuite, on la reporte sur l’axe des abscisses grâce à la droite \(y = x\), et on recommence.
On lit alors \(u_1 \approx 1{,}7\), \(u_2 \approx 2{,}5\) et \(u_3 \approx 2{,}8\). On conjecture donc que la suite \((u_n)\) est croissante (et que ses termes se rapprochent de 3).
- La fonction \(x \mapsto 2x + 3\) est affine de coefficient \(2 > 0\), donc croissante, et elle est positive sur \([0\,;+\infty[\). De plus, la fonction racine carrée est croissante sur \([0\,;+\infty[\). Par composition, \(f\) est donc croissante sur \([0\,;+\infty[\).
On peut aussi dériver : \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2}{2\sqrt{2x + 3}} = \dfrac{1}{\sqrt{2x + 3}} > 0\).
De plus \(f(3) = \sqrt{2 \times 3 + 3} = \sqrt{9} = 3\). \(f\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\) et \(f(3) = 3\).
- Pour tout entier naturel \(n\), on note \(P(n)\) : « \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\) ».
Question c : la récurrence sur l’encadrement
Initialisation : \(u_0 = 0\) et \(u_1 = f(0) = \sqrt{3} \approx 1{,}73\). On a bien \(0 \leq\, 0 \leq\, \sqrt{3} \leq\, 3\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit \(n\) un entier naturel tel que \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\). La fonction \(f\) est croissante sur \([0\,;+\infty[\), donc elle conserve l’ordre :
\(f(0) \leq\, f(u_n) \leq\, f(u_{n+1}) \leq\, f(3)\), c’est-à-dire \(\sqrt{3} \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 3\).
Comme \(0 \leq\, \sqrt{3}\), on obtient alors \(0 \leq\, u_{n+1} \leq\, u_{n+2} \leq\, 3\) : \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, u_{n+1} \leq\, 3\).
- Pour tout \(n\), \(u_n \leq\, u_{n+1}\) : la suite \((u_n)\) est croissante. Ensuite, pour tout \(n\), \(0 \leq\, u_n \leq\, 3\) : la suite est minorée par 0 et majorée par 3, donc bornée.
Erreur fréquente : appliquer \(f\) aux inégalités sans dire que \(f\) est croissante sur l’intervalle qui contient tous les nombres en jeu. En effet, c’est cet argument qui permet de conserver l’ordre.
Barème : a) 1 point pour la construction avec les traits, 0,5 point pour la conjecture ; b) 0,75 point pour la croissance justifiée, 0,25 point pour \(f(3)\) ; c) 0,5 point pour l’initialisation, 1,5 point pour l’hérédité (croissance de \(f\) citée), 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour le sens de variation, 0,5 point pour le caractère borné.
Exercice 4 : Vrai ou faux sur les suites (3 points)
- Pour tout \(n\), \((-1)^n\) vaut \(1\) ou \(-1\), donc \(-1 \leq\, (-1)^n \leq\, 1\) et \(1 \leq\, a_n \leq\, 3\). Ainsi, la suite est minorée par 1 et majorée par 3. Affirmation 1 vraie.
- Si \((b_n)\) est croissante, alors pour tout entier naturel \(n\), \(b_n \geq\, b_0\) (on le démontre par récurrence : \(b_0 \geq\, b_0\), et si \(b_n \geq\, b_0\) alors \(b_{n+1} \geq\, b_n \geq\, b_0\)). La suite est donc minorée par son premier terme \(b_0\). Affirmation 2 vraie.
- \(w_3 = 9 – 18 + 1 = -8\) et \(w_4 = 16 – 24 + 1 = -7\). On a \(w_4 > w_3\), donc la suite n’est pas décroissante. En effet, \(w_{n+1} – w_n = (n+1)^2 – 6(n+1) + 1 – n^2 + 6n – 1 = 2n – 5\), qui est positif dès que \(n \geq\, 3\). Affirmation 3 fausse.
Barème : pour chaque affirmation, 0,25 point pour la réponse vrai ou faux, 0,75 point pour la justification (un contre-exemple suffit pour l’affirmation 3).
Exercice 5 : Les carrés de tuiles de Maëlys (4 points)
- \(u_1 = u_0 + 2 \times 0 + 3 = 1 + 3 = 4\), \(u_2 = u_1 + 2 \times 1 + 3 = 4 + 5 = 9\) et \(u_3 = u_2 + 2 \times 2 + 3 = 9 + 7 = 16\). On reconnaît alors les carrés \(1^2\), \(2^2\), \(3^2\), \(4^2\) : on conjecture que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = (n + 1)^2\).
- Pour tout entier naturel \(n\), on note \(P(n)\) : « \(u_n = (n + 1)^2\) ».
Initialisation : \((0 + 1)^2 = 1 = u_0\), donc \(P(0)\) est vraie.
Hérédité : soit \(n\) un entier naturel tel que \(u_n = (n + 1)^2\). Alors :
\(u_{n+1} = u_n + 2n + 3 = (n + 1)^2 + 2n + 3 = n^2 + 2n + 1 + 2n + 3 = n^2 + 4n + 4 = (n + 2)^2\).
Or \((n + 2)^2 = ((n + 1) + 1)^2\), donc \(P(n+1)\) est vraie.
Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n = (n + 1)^2\).
- L’étape \(n\) demande \((n + 1)^2\) tuiles. Or \(45^2 = 2\,025 \leq\, 2\,026\) et \(46^2 = 2\,116 > 2\,026\). L’étape pour laquelle \(n + 1 = 45\) est donc réalisable et la suivante ne l’est pas, car la suite \((u_n)\) est croissante. La dernière étape que Maëlys peut réaliser est l’étape 44, avec 2 025 tuiles (il lui en reste une).
Erreur fréquente : en c), répondre « étape 45 » en oubliant que l’étape \(n\) est un carré de côté \(n + 1\).
Barème : a) 0,5 point pour les trois termes, 0,5 point pour la conjecture ; b) 0,5 point pour l’initialisation, 1 point pour l’hérédité, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour l’encadrement par 45 et 46 au carré, 0,5 point pour la réponse étape 44.
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Après le corrigé du contrôle : raisonnement par récurrence et suites
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