Suites : corrigé des exercices de maths en 1ère à télécharger en PDF

Exercice 1 (suites numériques corrigé)

Résoudre l’équation :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+…+\frac{1}{x^8}=0\)

Indication : calculer la somme puis remarquer que si x est solution alors x < 0.

Tout d’abord cette somme existe pour \(x\neq0\) .

Pour \(x=1\), la somme vaut \(1+1+\ldots+1=8\neq 0\) : 1 n’est donc pas solution. Par ailleurs, on suppose désormais \(x\neq 0\) et \(x\neq 1\).

C’est la somme de 8 termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme \(\frac{1}{x}\) et de raison \(\frac{1}{x}\) .

\(S=\frac{\frac{1}{x^9}-\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}-1}\)

\(S=\frac{\frac{1-x^8}{x^9} }{\frac{1-x}{x}}=0\)

\(\frac{1-x^8}{x^9}\times \frac{x}{1-x}=0\)

\(\frac{x(1-x^8)}{x^9(1-x)}=0\)

\(\frac{1-x^8}{x^8(1-x)}=0\)

\(1-x^8=0\) car un dénominateur est non nul.

\(x^8=1\), donc \(x=1\) ou \(x=-1\).

Or \(x=1\) a été exclu (la somme vaut alors 8). Vérification pour \(x=-1\) : \(-1+1-1+1-1+1-1+1=0\).

L’ensemble des solutions est \(S=\{-1\}\).

Exercice 2 :

Calculer la somme suivante :

\(S = 1^2 – 2^2 + 3^2 -4^2 + 5^2 – 6^2 +…. + 2 005^2 – 2 006^2.\)

Indication : regrouper les termes par deux.

On regroupe les termes deux par deux : il y a \(\dfrac{2006}{2}=1003\) groupes de la forme \((2k-1)^2-(2k)^2\) avec k allant de 1 à 1003.

Avec l’identité remarquable \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) :

\((2k-1)^2-(2k)^2=(2k-1-2k)(2k-1+2k)=-(4k-1)\)

Les nombres \(4k-1\) forment une suite arithmétique de raison 4 : 3, 7, 11, …, \(4\times 1003-1=4011\).

\(S=-(3+7+11+\ldots+4011)=-\dfrac{1003\times (3+4011)}{2}=-1003\times 2007\)

\(S=-2\,013\,021\)

Exercice 3 (suites numériques corrigé)

Calculer les sommes suivantes :

\(I_n = 1 + 3 + 5 +…+(2n – 1)\) somme des n premiers entiers naturels impairs.

Notons \(U_n=2n+1\) (c’est une suite arithmétique de raison r = 2 )

alors \(I_n=U_0+U_1+U_2+….+U_{n-1}\)

\(I_n=\frac{n(U_0+U_{n-1})}{2}=\frac{n(1+2n-1)}{2}=\frac{2n^2}{2}=n^2\)

\(P_n = 2 + 4 + 6+… + 2n\) somme des n premiers entiers naturels pairs.

Notons \(V_n=2n\) (C’est une suite arithmétique de raison r = 2 )

alors \(P_n=V_1+V_2+V_3+…+V_n\)

\(P_n=\frac{n(V_1+V_n)}{2}=\frac{n(2+2n)}{2}=n(n+1)\)

Conclusion : \(I_n=n^2\) et \(P_n=n(n+1)\).

Exercice 4 :

Soit \((U_n)\) la suite définie par :

\(U_n = n^4 – 6n^3 + 11n^2 – 5n\).

1. Puis calculer \(U_0,U_1,U_2,U_3\).

\(U_0=0^4-6\times 0^3 +11\times 0^2-5\times 0=0\)

\(U_1=1-6+11-5=1\)

\(U_2=16-48+44-10=2\)

\(U_3=81-162+99-15=3\)

\(U_0=0\), \(U_1=1\), \(U_2=2\) et \(U_3=3\).

2. Ensuite, la suite \((U_n)\) est-elle arithmétique ?

Il semble que la suite soit arithmétique de raison 1, mais il faut se méfier : calculons le terme suivant.

\(U_4=256-384+176-20=28\)

\(U_4-U_3=28-3=25\) alors que \(U_1-U_0=1\).

La différence entre deux termes consécutifs n’est pas constante : la suite \((U_n)\) n’est pas arithmétique.

Exercice 5 (suites numériques corrigé)

On considère la suite\((U_n)\) définie par \(U_n = 2^n -n\).

1. Puis calculer \(U_0,U_1,U_2.\)

\(U_0=2^0-0=1\)

\(U_1=2^1-1=1\)

\(U_2=2^2-2=2\)

2. De plus, la suite est-elle arithmétique ? Géométrique ?

\(U_1-U_0=0\) et \(U_2-U_1=1\) : ces différences ne sont pas égales, donc la suite n’est pas arithmétique.

\(\dfrac{U_1}{U_0}=1\) et \(\dfrac{U_2}{U_1}=2\) : ces quotients ne sont pas égaux, donc la suite n’est pas géométrique.

Calculons les termes suivants par curiosité :

\(U_3=2^3-3=5\)

\(U_4=2^4-4=12\)

\(U_5=2^5-5=27\)

Cette suite n’est ni arithmétique ni géométrique.

Exercice 6 :

1. Soit \((W_n)\) la suite définie par \(W_n=U_n+V_n\) .

Démontrer que \((W_n)\) est une suite géométrique .

\(W_n=U_n+V_n=\dfrac{3\times 2^n-4n+3+3\times 2^n+4n-3}{2}\)

\(W_n=\dfrac{3\times 2^n+3\times 2^n}{2}=\dfrac{2\times 3\times 2^n}{2}=3\times 2^n\)

et

\(\frac{W_{n+1}}{W_n}=\frac{3\times 2^{n+1}}{3\times 2^n}=2\)

ainsi

\(W_{n+1} =2W_n\)

donc la suite \(( W_n )\) est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme \(W_0=3\).

Exercice 7 (suites numériques corrigé)

1. Ensuite, calculer \(U_2,U_3,U_4.\)

\(U_2=qU_1=-2\times 1=-2\)

\(U_3=qU_2=-2\times (-2 )=4\)

\(U_4=qU_3=-2\times 4=-8\)

2. Par ailleurs, calculer \(U_{20}\) .

\(U_{20}=U_1\times q^{19}=(-2)^{19}=-524288\)

3. Puis calculer la somme \(S=U_1+U_2+U_3+…+U_{20}\) .

\(S=U_1\times \dfrac{1-q^{20}}{1-q}=\dfrac{1-(-2)^{20}}{1-(-2)}=\dfrac{1-1\,048\,576}{3}\)

\(S=-349\,525\)

Exercice 8 :

1. A l’aide de votre calculatrice, calculer \(U_1,U_2,U_3,U_4,U_5,U_{100},U_{1000},U_{100000}\) .

Valeurs arrondies au millionième :

n	1	2	3	4	5	100	1 000	100 000
\(U_n\)	0,414214	0,317837	0,267949	0,236068	0,213422	0,049876	0,015807	0,001581

Quelle conjecture peut-on faire sur le sens de variation de la suite ? Pour une éventuelle limite ?

On peut conjecturer que la suite \((U_n )\) est décroissante et qu’elle tend vers 0.

2. Démontrer que pour tout n non nul,

\(U_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) .

Nous avons, en multipliant par la quantité conjuguée :

\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\times (\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) et utilisons l’identité remarquable \(a^2-b^2=\,(\,a-b)\,(a+b)\).

\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\sqrt{n+1}^2-\sqrt{n}^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)

\(U_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)

3. Ensuite, en déduire le sens de variation de la suite \((U_n)\) .

\(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\frac{1 }{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}}{\frac{1 }{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}\lt 1\) car \(\sqrt{n}\lt\sqrt{n+2}\) (la fonction racine carrée est croissante).

or \(U_n\gt 0\) donc en multipliant l’inégalité par \(U_n\gt 0\) , nous obtenons :

\(U_{n+1}\lt U_n\)

Conclusion : la suite \((U_n )\) est décroissante .

4. En utilisant le résultat de la question 2., montrer que, pour tout entier naturel n non nul,

\(U_n\leq\,\,\, \frac{1}{2\sqrt{n}}\).

Nous avons \(\sqrt{n}+\sqrt{n}\leq\,\,\, \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\Leftrightarrow 2\sqrt{n}\leq\,\,\, \sqrt{n}+\sqrt{n+1}\)

\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\leq\,\,\,\frac{1}{2\sqrt{n}}\) (la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\))

\(\Rightarrow U_n\leq\,\,\,\frac{1}{2\sqrt{n}}\)

5. En déduire que la suite \((U_n)\) est convergente et préciser sa limite.

Nous avons donc :

\(0\leq\,\,\, U_n\leq\,\,\,\frac{1}{2\sqrt{n}}\) et \(\lim_{n\to+\infty }\frac{1}{2\sqrt{n}}=0\)

donc d’après le théorème des gendarmes, on en conclut que \(\lim_{n\to+\infty }U_n=0\).

Exercice 9 (suites numériques corrigé)

La suite \((U_n)\) est arithmétique de raison r.

On sait que \(U_{50}=406\) et \(U_{100}=806\) .

1. Puis calculer la raison r et \(U_0\).

\(U_{100}=U_{50}+(100-50)r\)

\(806=406+50r\)

\(r=\frac{806-406}{50}\)

\(r=8\)

Pour le terme \(U_0\,:\)

\(U_{50}=U_0+50r\)

\(406=U_0+50\times 8\)

\(U_0=406-50\times 8=6\)

2. De plus, calculer la somme \(S=U_{50}+U_{51}+U_{52}+…..+U_{100}\) .

D’après le cours :

\(\sum_{k=p}^{n}U_k=(n-p+1)\frac{U_p+U_n}{2}\)

donc :

\(\sum_{k=50}^{100}U_k=(100-50+1)\frac{U_{50}+U_{100}}{2}\)

\(\sum_{k=50}^{100}U_k=51\times \frac{406+806}{2}=51\times 606\)

Conclusion : \(S=U_{50}+\ldots+U_{100}=30\,906\)

Exercice 10 :

\(S=1+2+3+4+5+….+998+999\)

On additionne deux fois cette somme :

1+2+3+4+5+……+998+999

999+998+……..+5+4+3+2+1

—————————————

1000+1000+1000+……….+1000 Il y a 999 fois 1000

donc

\(S=\frac{999\times 1000}{2}=\frac{999000}{2}=499\,500\)

Exercice 11 (suites numériques corrigé)

On considère la suite\((U_n)\) définie pour tout entier naturel non nul par la relation : \(U_n=3n-2\).

1. Démontrer que la suite \((U_n)\) est arithmétique de raison r que l’on précisera. Préciser son sens de variation.

\(U_{n+1}-U_n=3(n+1)-2-(3n-2)=3n+3-2-3n+2=3\)

C’est une suite arithmétique de raison 3 ; elle est donc croissante puisque \(U_{n+1}-U_n=3\gt 0\).

2. Ensuite, représenter graphiquement la suite \((U_n)\).
Par ailleurs, on se limitera aux cinq ou six premiers termes.

\(U_1=1\), \(U_2=4\), \(U_3=7\), \(U_4=10\), \(U_5=13\), \(U_6=16\) : on place les points de coordonnées \((n\,;U_n)\). Puis ils sont alignés sur la droite d’équation \(y=3x-2\).

Exercice 12 :

\(S=1-2+4-8+16-32+…+4096.\)

C’est la somme d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q = – 2. Comme \(4096=2^{12}=(-2)^{12}\), elle comporte 13 termes.

\(S=\dfrac{\text{premier terme}-\text{terme suivant le dernier}}{1-q}=\dfrac{1-(-2)^{13}}{1-(-2)}=\dfrac{1+8192}{3}\)

\(S=\dfrac{8193}{3}=2731\)

Exercice 13 (suites numériques corrigé)

1. A quelle page en est Jean ?

Notons n la page où en est Jean.
Ensuite, nous avons
\(1+2+3+…+n=\frac{n(n+1)}{2}=351\)

Nous sommes amenés à résoudre l’équation suivante :

\(n(n+1)=2\times 351\)

\(n^2+n-702=0\)

Calculons la valeur du discriminant :

\(\Delta =1^2+4\times 702=2809=53^2\)

Le discriminant est strictement positif, il y a donc deux racines réelles distinctes.

\(n_1=\frac{-1+\sqrt{2809}}{2}\,;\,n_2=\frac{-1-\sqrt{2809}}{2}\)

\(n_1=26\,;\,n_2=-27\)

Conclusion : Jean a lu 26 pages, il en est donc à la 27ème page.

2. Combien de pages comporte ce livre ?

Notons n le nombre de pages du livre. Puis nous avons \(27+28+….+n=469\)

\(\frac{(n-27+1)(27+n)}{2}=469\)

\(\frac{(n-26)(27+n)}{2}=469\)

\(n^2+n-26\times 27=2\times 469\)

\(n^2+n-702=938\)

\(n^2+n-1640=0\)

Calculons la valeur du discriminant :

\(\Delta =1^2+4\times 1640=6561=81^2\)

Le discriminant est strictement positif, il y a donc deux racines réelles distinctes.

\(n_1=\frac{-1+\sqrt{6561}}{2}\,;\,n_2=\frac{-1-\sqrt{6561}}{2}\)

\(n_1=40\,;\,n_2=-41\)

Vérification : \(1+2+\ldots+40=\dfrac{40\times 41}{2}=820=351+469\).

Conclusion : ce livre a 40 pages .

Remarque : on supposera que le livre commence à la page n° 1.

Exercice 14 :

Déterminer un nombre x tel que les trois nombres 25, x et 16 soient trois termes consécutifs d’une suite géométrique de raison négative.

Nous avons \(25q=x\) et \(xq=16\)

donc \(\frac{x}{25}=\frac{16}{x}\)

En utilisant le produit en croix :

\(x^2=25\times 16\)

\(x^2=400\)

Il y a deux possibilités :

\(x=\sqrt{400}\) ou \(x=-\sqrt{400}\)

soit \(x=20\) ou \(x=-20\)

Or la raison q est négative donc x étant le second des trois termes, il est forcément négatif (produit de 25 par un nombre négatif).

Conclusion : x = – 20 (la raison vaut alors \(q=-\dfrac{20}{25}=-0{,}8\)).

Exercice 15 (suites numériques corrigé)

Un étudiant loue une chambre pour 3 ans.
De plus, on lui propose deux types de bail :

1er contrat : un loyer de 200€ pour le premier mois puis une augmentation de 5 € par mois jusqu’à la fin du bail.

Le loyer du n-ième mois est le terme d’une suite arithmétique de premier terme \(U_1=200\) et de raison 5 :

\(U_n=200+5(n-1)\)

2ème contrat : un loyer de 200 € pour le premier mois puis une augmentation de 2 % par mois jusqu’à la fin du bail.

Augmenter de 2 % revient à multiplier par 1,02 : le loyer du n-ième mois est le terme d’une suite géométrique de premier terme \(V_1=200\) et de raison 1,02 :

\(V_n=200\times 1{,}02^{n-1}\)

1. Ensuite, calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du deuxième mois puis celui du troisième mois.

\(U_2=200+5=205\) et \(U_3=205+5=210\)

\(V_2=200\times 1{,}02=204\) et \(V_3=204\times 1{,}02=208{,}08\)

Contrat 1 : 205 € puis 210 €. Contrat 2 : 204 € puis 208,08 €.

2. Par ailleurs, calculer, pour chacun des deux contrats, le loyer du dernier mois, c’est-à-dire du 36ème mois.

\(U_{36}=200+5\times 35=375\)

\(V_{36}=200\times 1{,}02^{35}\approx 399{,}98\)

Le 36e mois coûte 375 € avec le contrat 1 et environ 399,98 € avec le contrat 2.

3. Quel est le contrat globalement le plus avantageux pour un bail de 3 ans ? Puis justifier à l’aide de calculs.

On calcule la somme des 36 loyers.

Contrat 1 (somme de termes d’une suite arithmétique) : \(U_1+\ldots+U_{36}=36\times \dfrac{200+375}{2}=10\,350\) €.

Contrat 2 (somme de termes d’une suite géométrique) : \(V_1+\ldots+V_{36}=200\times \dfrac{1-1{,}02^{36}}{1-1{,}02}\approx 10\,398{,}87\) €.

Le premier contrat est le plus avantageux : il coûte environ 48,87 € de moins sur les 3 ans.

Vocabulaire : un bail est un contrat de location.

Exercice 16 :

1. ABC est un triangle rectangle.
Son plus petit côté est 1 et les longueurs de ses côtés sont trois termes
consécutifs d’une suite arithmétique.
Déterminer ces longueurs.

Notons r la raison (r \(\gt\) 0 car 1 est le plus petit côté). Ensuite, les côtés mesurent 1, \(1+r\) et \(1+2r\) ; le plus grand, \(1+2r\), est l’hypoténuse. D’après le théorème de Pythagore :

\((1+2r)^2=1^2+(1+r)^2\)

\(1+4r+4r^2=1+1+2r+r^2\)

\(3r^2+2r-1=0\)

Calculons la valeur du discriminant :

\(\Delta =2^2-4\times 3\times (-1)=4+12=16\)

Le discriminant est strictement positif donc il existe deux racines réelles distinctes.

\(r_1=\frac{-2+\sqrt{16}}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \,;\, r_2=\frac{-2-\sqrt{16}}{6}=\frac{-6}{6}=-1\)

Seule \(r=\frac{1}{3}\) convient. Donc
\(1+r=\frac{4}{3}\) et \(1+2r=\frac{5}{3}\)

Conclusion : les longueurs sont \(1\,;\frac{4}{3}\,;\frac{5}{3}\) (triangle semblable au triangle 3 ; 4 ; 5).

2. ABC est un triangle rectangle.
Son plus petit côté est 1 et les longueurs de ses côtés sont trois termes
consécutifs d’une suite géométrique.
Déterminer ces longueurs.

Notons q la raison (q \(\gt\) 1). Puis les côtés mesurent 1, q et \(q^2\) ; l’hypoténuse est \(q^2\). D’après le théorème de Pythagore :

\((q^2)^2=q^2+1^2\)

\(q^4-q^2-1=0\)

On pose \(Q=q^2\) : \(Q^2-Q-1=0\).

\(\Delta =(-1)^2-4\times 1\times (-1)=1+4=5\)

\(Q_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\,;\,Q_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\) et \(Q_2\) ne convient pas car \(Q=q^2\) doit être positif.

Ainsi \(q^2=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) et \(q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\approx 1{,}272\).

Vérification : \(1^2+q^2=1+\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\) et \((q^2)^2=\dfrac{1+2\sqrt{5}+5}{4}=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}\).

Conclusion : les trois longueurs sont \(1\,;\,\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}\,;\,\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\) .

Exercice 17 (suites numériques corrigé)

On considère la suite \((U_n)\) définie par \(U_0=1\), \(U_1=2\) et, pour tout entier naturel n, \(U_{n+2}=6U_{n+1}-5U_n\).

1. De plus, calculer \(U_2,U_3,U_4.\)

\(U_2=6U_1-5U_0=6\times 2-5\times 1=7\)

\(U_3=6U_2-5U_1=6\times 7-5\times 2=32\)

\(U_4=6U_3-5U_2=6\times 32-5\times 7=157\)

2. Ensuite, résoudre l’équation du second degré suivante : \(x^2 = 6x – 5\).

\(x^2-6x+5=0\)

Calculons la valeur du discriminant :

\(\Delta =36-20=16=4^2\)

\(\Delta \gt 0\), il y a donc deux racines réelles distinctes :

\(x_1=\dfrac{6-4}{2}=1\) et \(x_2=\dfrac{6+4}{2}=5\)

Les solutions sont 1 et 5.

3. Par ailleurs, déterminer deux réels A et B tels que : \(U_n = A \times 5^n + B\).

Avec n = 0 et n = 1 :

\(U_0=A\times 5^0+B\) et \(U_1=A\times 5^1+B\), soit \(A+B=1\) et \(5A+B=2\).

En soustrayant la première égalité à la seconde : \(4A=1\), donc \(A=\frac{1}{4}\) puis \(B=1-A=\frac{3}{4}\).

Conclusion : \(U_n=\frac{5^n}{4}+\frac{3}{4}\)

Vérification : \(\dfrac{5^2+3}{4}=7=U_2\) et \(\dfrac{5^3+3}{4}=32=U_3\).

Remarque : il faudrait montrer cette égalité par récurrence…

4. Puis en déduire \(U_{10}.\)

\(U_{10}=\frac{5^{10}}{4}+\frac{3}{4}=\dfrac{9\,765\,625+3}{4}\)

\(U_{10}=2\,441\,407\)

Exercice 18 :

Déterminer la limite de la suite \((U_n)\) définie par :

\(U_n=\dfrac{3\sin n+2\cos n+5n}{n}\) pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\) .

On écrit \(U_n=5+\dfrac{3\sin n+2\cos n}{n}\).

Les fonctions sinus et cosinus sont bornées par -1 et 1, donc \(-5\leq\, 3\sin n+2\cos n\leq\, 5\), puis, en divisant par \(n\gt 0\) :

\(5-\dfrac{5}{n}\leq\, U_n\leq\, 5+\dfrac{5}{n}\)

Or \(\lim_{n\to+\infty}(5-\dfrac{5}{n})=\lim_{n\to+\infty}(5+\dfrac{5}{n})=5\).

D’après le théorème des gendarmes : \(\lim_{n\to+\infty}U_n=5\).

Exercice 19 (suites numériques corrigé)

On considère la suite \((U_n)\) définie par \(U_0=1\) et, pour tout entier naturel n, \(U_{n+1}=\dfrac{1}{1+U_n}\).

1. Ensuite, calculer \(U_1,U_2,U_3.\)

\(U_1=\frac{1}{1+U_0}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}\)

\(U_2=\frac{1}{1+U_1}=\frac{1}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}\)

\(U_3=\frac{1}{1+U_2}=\frac{1}{1+\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{5}{3}}=\frac{3}{5}\)

2. Démontrer par récurrence que \(0\leq\,\,\, U_n\leq\,\,\, 1\) pour tout \(n\in \mathbb{N}.\)

Soit la propriété de récurrence :

P(n) : « \(0\leq\,\,\, U_n\leq\,\,\, 1\) »

Initialisation :

\(0\leq\,\,\, U_0\leq\,\,\, 1\) car \(U_0=1\).

Hérédité :

supposons qu’il existe n tel que P(n) soit vraie.

Nous avons donc

\(0\leq\,\,\, U_n\leq\,\,\, 1\)

\(0+1\leq\,\,\, U_n +1\leq\,\,\, 1+1\)

\(1\leq\,\,\, U_n +1\leq\,\,\, 2\)

\(\frac{1}{2}\leq\,\,\, \frac{1}{U_n +1}\leq\,\,\, \frac{1}{1}\) car la fonction inverse est décroissante sur \(]0\,;+\infty[\) .

\(\frac{1}{2}\leq\,\,\, U_{n+1}\leq\,\,\, 1\)

donc

\(0\leq\,\,\, U_{n+1}\leq\,\,\, 1\)

ainsi la propriété reste vraie au rang n+1

Conclusion :

P(0) est vraie et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\).

Donc \(\forall n\in\mathbb{N},\,P(n)\)

ainsi

\(\forall n\in\mathbb{N},\,0\leq\,\,\, U_n\leq\,\,\, 1\)

Exercice 20 :

Calculer la valeur exacte des nombres suivants :

\(A=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\ldots+\dfrac{1}{2^{38}}\)

c’est la somme des premiers termes d’une suite géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme \(U_0=1\)

\(A=U_0+U_1+…+U_{38}\) (39 termes)

\(A=\dfrac{1-(\frac{1}{2})^{39}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1-\frac{1}{2^{39}}}{\frac{1}{2}}\)

\(A=2(1-\frac{1}{2^{39}})\)

\(A=2-\frac{1}{2^{38}}\)

\(B=3+6+9+12+…+99\)

C’est la somme d’une suite arithmétique de raison 3 avec \(U_1=3\) et \(U_n=3n\) ; comme \(99=3\times 33\), il y a 33 termes.

\(B=U_1+U_2+…+U_{33}\)

\(B=\frac{33(U_1+U_{33})}{2}\)

\(B=\frac{33(3+99)}{2}\)

\(B=1683\)

Exercice 21 (suites numériques corrigé)

Indication : revenir à la définition d’une suite arithmétique.

On considère u(n) une suite arithmétique de raison r.

1°) Justifier que u(3) = u(2) + r et que u(4) = u(3) + r

En déduire que \(u(4)\,=\,u(2)\,+\,2r.\)

Par définition d’une suite arithmétique de raison r, pour tout entier n : \(u(n+1)=u(n)+r\). Avec n = 2 puis n = 3 :

\(u(3)=u(2)+r\) et \(u(4)=u(3)+r\).

En remplaçant \(u(3)\) : \(u(4)=u(2)+r+r\), donc \(u(4)=u(2)+2r\).

2°) Montrer que \(u(8)\,=\,u(5)\,+\,3r\).

\(u(6)=u(5)+r\), \(u(7)=u(6)+r=u(5)+2r\) et \(u(8)=u(7)+r=u(5)+3r\).

\(u(8)=u(5)+3r\)

3°) Quelle relation peut-on écrire entre u(7) , u(2) et r ? Puis justifier.

Pour passer de u(2) à u(7), on ajoute r cinq fois (7 – 2 = 5 étapes) :

\(u(7)=u(2)+5r\)

4°) On suppose dans cette question que u(0) = 4 et r = 2.

Calculer u(5) .

\(u(5)=u(0)+5r=4+5\times 2\), donc \(u(5)=14\).

Donner sans démonstration la valeur de u(100)

\(u(100)=u(0)+100r=4+100\times 2\), donc \(u(100)=204\).

Exercice 22 :

On définit une suite \((u_n)\) par : \(u_n=17\,243-8n\) pour tout entier n.

On a par exemple, en remplaçant n par 10 : \(u_{10}=17\,243-8\times 10=17\,163\).

1°) Calculer \(u_0\) ; \(u_1\) ; \(u_{1990}\) ; \(u_{1991}\) ; \(u_{1992}\).

\(u_0=17\,243-8\times 0=17\,243\) ; \(u_1=17\,243-8=17\,235\)

\(u_{1990}=17\,243-8\times 1990=17\,243-15\,920=1323\)

\(u_{1991}=17\,243-15\,928=1315\) ; \(u_{1992}=17\,243-15\,936=1307\)

\(u_0=17\,243\) ; \(u_1=17\,235\) ; \(u_{1990}=1323\) ; \(u_{1991}=1315\) ; \(u_{1992}=1307\).

2°) Calculer \(u_1-u_0\) ; \(u_{1991}-u_{1990}\) ; \(u_{1992}-u_{1991}\).

\(u_1-u_0=17\,235-17\,243=-8\) ; \(u_{1991}-u_{1990}=1315-1323=-8\) ; \(u_{1992}-u_{1991}=1307-1315=-8\)

Les trois différences valent -8.

3°) En remplaçant n par n+1 dans l’expression de \(u_n\), montrer que pour tout entier n : \(u_{n+1}=17\,235-8n\). De plus, en déduire que, pour tout entier n : \(u_{n+1}-u_n=-8\).

\(u_{n+1}=17\,243-8(n+1)=17\,243-8n-8=17\,235-8n\)

\(u_{n+1}-u_n=17\,235-8n-(17\,243-8n)=17\,235-17\,243\)

\(u_{n+1}-u_n=-8\) : la suite \((u_n)\) est arithmétique de raison -8.

4°) En utilisant la relation \(u_{n+1}=u_n-8\), compléter le tableau suivant. Ensuite, la suite \((u_n)\) est-elle une suite décroissante ?

On part de 1323 et on retranche 8 à chaque colonne :

n	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
\(u_n\)	1323	1315	1307	1299	1291	1283	1275	1267	1259	1251	1243

Pour tout entier n, \(u_{n+1}-u_n=-8\lt 0\), donc \(u_{n+1}\lt u_n\) : la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

5°) Représenter graphiquement la suite \((u_n)\) lorsque n varie de 1990 à 2000.

On place les onze points de coordonnées \((n\,;u_n)\) : ils sont alignés (la suite est arithmétique) et descendent de 8 unités à chaque pas.

Exercice 23 (suites numériques corrigé)

On donne, dans le tableau suivant, le nombre d’inscrits sur la liste électorale d’une petite commune pour les années de 1990 à 2000.

Année	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Nombre d’inscrits	1323	1313	1304	1297	1288	1289	1281	1271	1258	1248	1243

1°) On note \(P_n\) le nombre d’inscrits sur la liste électorale pour l’année n.
Donner la valeur de \(P_{1992}=1304\) et \(P_{1998}=1258\).

2°) Calculer \(P_{1994}-P_{1993}\). Que représente ce nombre ?

\(P_{1994}-P_{1993}=1288-1297=-9\) : le nombre d’inscrits a diminué de 9 entre 1993 et 1994.

Calculer \(P_{1995}-P_{1994}\). Que représente ce nombre ?

\(P_{1995}-P_{1994}=1289-1288=1\) : le nombre d’inscrits a augmenté de 1 entre 1994 et 1995.

3°) Peut-on dire que la suite des nombres \(P_n\) est une suite décroissante lorsque n varie de 1990 à 2000 ?

Non : \(P_{1995}\gt P_{1994}\). La suite \((P_n)\) n’est pas décroissante sur cette période, même si le nombre d’inscrits baisse presque tous les ans (il passe de 1323 à 1243).

4°) Représenter graphiquement la suite \((P_n)\).

On place les points de coordonnées \((n\,;P_n)\) ; ils ne sont pas alignés et l’on voit la légère remontée de 1995.

Exercice 24 :

Indication :

Nécessaire au calcul :
Le montant, qu’on notera m .
Le taux d’intérêt, qu’on notera i .
Le nombre de périodes, qu’on notera n .

Formule du calcul des intérêts composés :
\(m\times (1+i)^n\)

On dispose d’un capital de \(C_0=1500\) €.

Le 1er janvier 2000, on place ce capital sur un compte à intérêts composés de 3 % par an.

Chaque année, le capital est multiplié par \(1+\dfrac{3}{100}=1{,}03\) : \((C_n)\) est une suite géométrique de raison 1,03 et \(C_n=1500\times 1{,}03^n\).

1. Par ailleurs, calculer le capital \(C_1\) obtenu au bout d’un an.

\(C_1=1500\times 1{,}03=1545\) €

2. Puis calculer le capital \(C_7\) obtenu au bout de 7 ans.

\(C_7=1500\times 1{,}03^7\approx 1844{,}81\) €

De quel pourcentage a augmenté le capital pendant ces 7 années ?

Le coefficient multiplicateur global est \(1{,}03^7\approx 1{,}2299\), soit une hausse d’environ 22,99 % (et non 7 × 3 = 21 %, car les intérêts produisent eux-mêmes des intérêts).

3. Combien d’années faut-il laisser cet argent sur le compte afin d’avoir un capital d’au moins 2 000 € ?

La suite \((C_n)\) est croissante (raison 1,03 supérieure à 1, premier terme positif). À la calculatrice :

\(C_9=1500\times 1{,}03^9\approx 1957{,}16\) € et \(C_{10}=1500\times 1{,}03^{10}\approx 2015{,}87\) €.

Il faut laisser l’argent 10 ans sur le compte (capital d’au moins 2 000 € au 1er janvier 2010).

Exercice 25 (suites numériques corrigé)

Indication : une réduction de 1,14% correspond à un coefficient multiplicateur

\(k=1-\frac{1{,}14}{100}=1-0{,}0114=0{,}9886\)

Les rayons cosmiques produisent continuellement dans l’atmosphère du carbone 14 qui est un élément radioactif.
Durant leur vie, les tissus animaux et végétaux contiennent la même proportion de carbone 14 que l’atmosphère.
Ensuite, cette proportion décroît après la mort du tissu de 1,14 % en 100 ans.

Notons \(p_m\) le pourcentage de la proportion initiale qui reste au bout de m siècles : \(p_0=100\) et \(p_{m+1}=0{,}9886\,p_m\). C’est une suite géométrique de raison 0,9886, donc \(p_m=100\times 0{,}9886^m\).

1. Puis déterminer les pourcentages de la proportion initiale de carbone 14 contenu dans le tissu au bout de 1 000 ans, 2 000 ans et 10 000 ans.

1 000 ans = 10 siècles : \(p_{10}=100\times 0{,}9886^{10}\approx 89{,}17\)

2 000 ans = 20 siècles : \(p_{20}=100\times 0{,}9886^{20}\approx 79{,}51\)

10 000 ans = 100 siècles : \(p_{100}=100\times 0{,}9886^{100}\approx 31{,}77\)

Il reste environ 89,17 %, 79,51 % et 31,77 % de la proportion initiale.

2. De plus, exprimer le pourcentage de la proportion initiale de carbone 14 contenu dans le tissu au bout de \(k\times 10^3\) années.

\(k\times 10^3\) années correspondent à 10k siècles :

\(p_{10k}=100\times 0{,}9886^{10k}\) %

3. Ensuite, un fossile ne contient plus que 10 % de ce qu’il devait contenir en carbone 14.
Par ailleurs, donner une estimation de son âge.

On cherche m tel que \(100\times 0{,}9886^m=10\), soit \(0{,}9886^m=0{,}1\). Puis la suite est décroissante ; à la calculatrice :

\(0{,}9886^{200}\approx 0{,}1010\) et \(0{,}9886^{201}\approx 0{,}0998\).

Le fossile a environ 200 siècles, c’est-à-dire environ 20 000 ans.

Exercice 26 :

En quelle année était-ce ?

Le gain du n-ième jour est \(U_n=2^n\) centimes : c’est une suite géométrique de premier terme \(U_1=2\) et de raison q = 2.

\(U_1=2\) \(U_2=4\) \(U_3=8\)

Le gain total au bout de n jours est :

\(S_n=2+4+\ldots+2^n=2\times \dfrac{2^n-1}{2-1}=2^{n+1}-2\)

À la calculatrice :

\(S_{28}=2^{29}-2=536\,870\,910\) ; \(S_{29}=2^{30}-2=1\,073\,741\,822\) ; \(S_{30}=2^{31}-2=2\,147\,483\,646\)

Le total vaut « environ un milliard de centimes » pour n = 29 : le mois comptait donc 29 jours. C’est un mois de février d’une année bissextile. À la fin des années soixante, la seule année bissextile est 1968.

Conclusion : c’était en février 1968.

Exercice 27 (suites numériques corrigé)

1°) Dans le cas de la rémunération de type 1, on note u(0) le salaire mensuel initial, et u(n) le salaire mensuel après n années. Ensuite, donner les valeurs de u(0), u(1), u(2).

u(0) = 1 200 € ; u(1) = 1 300 € ; u(2) = 1 400 €.

2°) Dans le cas de la rémunération de type 2, on note v(0) le salaire mensuel initial, et v(n) le salaire mensuel après n années. Puis donner les valeurs de v(0), v(1), v(2).

Une hausse de 8 % correspond au coefficient multiplicateur 1,08.

\(v(1)=1100\times 1{,}08=1188\) et \(v(2)=1188\times 1{,}08=1283{,}04\)

v(0) = 1 100 € ; v(1) = 1 188 € ; v(2) = 1 283,04 €.

3°) Donner une expression générale de u(n) et v(n) en fonction de n. De plus, calculer u(5) et v(5) ; u(8) et v(8).

(u(n)) est arithmétique de raison 100 et (v(n)) est géométrique de raison 1,08 :

\(u(n)=1200+100n\) et \(v(n)=1100\times 1{,}08^n\)

\(u(5)=1700\) € et \(v(5)=1100\times 1{,}08^5\approx 1616{,}26\) €

\(u(8)=2000\) € et \(v(8)=1100\times 1{,}08^8\approx 2036{,}02\) €

4°) Le nouvel employé compte rester 10 ans dans l’entreprise. Quelle est la rémunération la plus avantageuse ?

On compare les sommes perçues pendant les 10 années (n de 0 à 9), chaque année comptant 12 mois.

Type 1 : \(12\times (u(0)+\ldots+u(9))=12\times 10\times \dfrac{1200+2100}{2}=198\,000\) €

Type 2 : \(12\times (v(0)+\ldots+v(9))=12\times 1100\times \dfrac{1{,}08^{10}-1}{1{,}08-1}\approx 191\,222{,}62\) €

Sur 10 ans, la rémunération de type 1 est la plus avantageuse (environ 6 777 € de plus), même si le salaire mensuel de type 2 dépasse celui de type 1 à partir de la 8e année.

Exercice 28 :

Indication : utiliser le coefficient multiplicateur pour une réduction de 12 % qui est \(k=1-\frac{12}{100}=1-0{,}12=0{,}88\)

Un village avait 3123 habitants en 1995. Ensuite, le nombre d’habitants diminue de 12% tous les ans.

On note P(n) le nombre d’habitants du village pour l’année n.

1°) Donner les valeurs de P(1995) et P(1996). (on arrondira à l’entier le plus proche)

\(P(1995)=3123\) et \(P(1996)=3123\times 0{,}88=2748{,}24\)

P(1995) = 3 123 et P(1996) ≈ 2 748 habitants.

2°) Justifier que la suite P(n) est une suite géométrique et donner sa raison.

Diminuer de 12 % revient à multiplier par 0,88 : pour tout n, \(P(n+1)=0{,}88\times P(n)\).

La suite P(n) est géométrique de raison 0,88 et \(P(n)=3123\times 0{,}88^{n-1995}\).

3°) Calculer P(2001). (on arrondira à l’entier le plus proche)

\(P(2001)=3123\times 0{,}88^6\approx 1450{,}33\)

P(2001) ≈ 1 450 habitants.

4°) En quelle année le nombre d’habitants aura-t-il diminué des deux tiers par rapport à 1995 ?

Diminuer des deux tiers, c’est passer au tiers de la population : \(\dfrac{3123}{3}=1041\). Par ailleurs, on cherche la première année où \(P(n)\leq\, 1041\), soit \(0{,}88^{n-1995}\leq\,\dfrac{1}{3}\).

\(P(2003)=3123\times 0{,}88^8\approx 1123\) et \(P(2004)=3123\times 0{,}88^9\approx 988\)

C’est en 2004 que la population aura diminué des deux tiers.

5°) Représenter graphiquement la suite P(n) pour n variant de 1995 à 2005.

n	1995	1996	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005
P(n)	3123	2748	2418	2128	1873	1648	1450	1276	1123	988	870

Exercice 29 (suites numériques corrigé)

On considère v(n) une suite géométrique de raison q.

1°) Justifier que \(v(3)=v(2)\times q\) et que \(v(4)=v(3)\times q\). Puis en déduire que \(v(4)=v(2)\times q^2\).

Par définition d’une suite géométrique de raison q, pour tout entier n : \(v(n+1)=v(n)\times q\). Avec n = 2 puis n = 3 :

\(v(3)=v(2)\times q\) et \(v(4)=v(3)\times q\).

Donc \(v(4)=v(2)\times q\times q\), soit \(v(4)=v(2)\times q^2\).

2°) Montrer que \(v(8)=v(5)\times q^3\).

\(v(6)=v(5)\times q\), \(v(7)=v(6)\times q=v(5)\times q^2\), \(v(8)=v(7)\times q=v(5)\times q^3\).

\(v(8)=v(5)\times q^3\)

3°) Quelle relation peut-on écrire entre v(7), v(2) et q ? Ensuite, justifier.

Pour passer de v(2) à v(7), on multiplie cinq fois par q (7 – 2 = 5) :

\(v(7)=v(2)\times q^5\)

4°) On suppose dans cette question que v(0) = 3 et q = 2. Puis calculer v(5). De plus, donner sans démonstration la valeur de v(100).

\(v(5)=v(0)\times q^5=3\times 2^5=3\times 32\), donc \(v(5)=96\).

\(v(100)=3\times 2^{100}\) (environ \(3{,}8\times 10^{30}\)).

Exercice 30 :

Un capital de 12 618 euros est placé le 01/01/2000 avec un taux d’intérêt annuel de 6,3%.

Tous les ans les intérêts sont cumulés au capital.

On note C(0) le capital correspondant au 1^er janvier de l’année 2000. De même, on a donc C(0) = 12 618.

On note, pour tout entier n, C(n) le capital correspondant au 1^er janvier de l’année 2000+n.

1°) Calculer C(1), C(2), C(3). (on arrondira les résultats au centime d’euro près)

\(C(1)=12\,618\times 1{,}063\approx 13\,412{,}93\) €

\(C(2)=12\,618\times 1{,}063^2\approx 14\,257{,}95\) €

\(C(3)=12\,618\times 1{,}063^3\approx 15\,156{,}20\) €

2°) Démontrer que pour tout entier n on a \(C(n+1)=C(n)\times 1{,}063\).

Chaque année, le capital C(n) rapporte \(\dfrac{6{,}3}{100}\times C(n)=0{,}063\,C(n)\) d’intérêts, ajoutés au capital :

\(C(n+1)=C(n)+0{,}063\,C(n)=C(n)\times (1+0{,}063)\)

\(C(n+1)=C(n)\times 1{,}063\) : la suite C(n) est géométrique de raison 1,063, donc \(C(n)=12\,618\times 1{,}063^n\).

3°) Compléter le tableau suivant (on arrondira les résultats au centime d’euro près)

Rang n de l’année	0	1	2	3	4	5
Capital C(n) en €	12 618	13 412,93	14 257,95	15 156,20	16 111,04	17 126,04

Rang n de l’année	6	7	8	9	10
Capital C(n) en €	18 204,98	19 351,89	20 571,06	21 867,04	23 244,66

4°) Représenter graphiquement la suite C(n).

Les points ne sont pas alignés : l’écart entre deux termes consécutifs augmente, ce qui est caractéristique d’une suite géométrique croissante.

Exercice 31 (suites numériques corrigé)

Soit une suite \((U_n)\) arithmétique et de raison \(r=8\) et telle que \(U_{100}=650\) .

Calculer la valeur du premier terme \(U_{0}\) .

Nous avons

\(U_{100}=U_0+100r\)

\(650=U_0+100\times 8\)

\(650=U_0+800\)

\(U_0=650-800=-150\)

Exercice 32 :

On considère la suite \((U_n)\) définie par \(U_0=0\) et, pour tout entier naturel n, \(U_{n+1}=U_n+\dfrac{1}{2}\).

1. Ensuite, calculer \(U_1\,,\,U_2\,,\,U_3.\)

\(U_1=U_0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

\(U_2=U_1+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)

\(U_3=U_2+\frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

2. Par ailleurs, justifier que la suite \((U_n)\) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

Nous avons \(U_{n+1}-U_n=\frac{1}{2}\) ( par définition)

Donc c’est une suite arithmétique de raison \(r=\frac{1}{2}\) .

3. Que vaut \(U_{100}\) ?

\(U_{100}=U_0+100r=0+100\times \frac{1}{2}=50\)

Exercice 33 (suites numériques corrigé)

On considère la suite \((U_n)\) définie par \(U_n=(n+1)^2-n^2\).

1. Puis calculer \(U_0\,,\,U_1\,,\,U_2.\)

\(U_0=(0+1)^2-0^2=1\)

\(U_1=(1+1)^2-1^2=3\)

\(U_2=(2+1)^2-2^2=5\)

2. Ensuite, la suite \((U_n)\) est-elle arithmétique ? Si oui, préciser la raison.

Soit \(n\in\mathbb{N}\) :

\(U_n=(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1.\)

\(U_{n+1}-U_{n}=2(n+1)+1-2n-1=2n+2+1-2n-1=2\)

Conclusion : c’est une suite arithmétique de raison r = 2 .

3. Que vaut \(U_{99}\) ?

\(U_{99}=U_{0}+99r=1+99\times 2=199\)

4. Puis calculer la somme \(S=1+3+5+7+9+…+195+197+199\) .

en fait :

\(S=U_0+U_1+U_2+….+U_{99}=\frac{100(U_0+U_{99})}{2}\)

\(S=\frac{100(1+199)}{2}=10\,000\)

Exercice 34 :

On considère \((U_n)\) définie par \(U_n=5-2n\) .

1. De plus, calculer \(U_0\,,\,U_1\,,\,U_2.\)

\(U_0=5-2\times 0=5\)

\(U_1=5-2\times 1=3\)

\(U_2=5-2\times 2=1\)

2. Démontrer que \((U_n)\) est une suite arithmétique dont on précisera la raison.

Soit \(n\in \mathbb{N}\) ,\(U_{n+1}-U_n=5-2(n+1)-5+2n\)

\(U_{n+1}-U_n=5-2n-2-5+2n=-2\)

Conclusion : la suite \((U_{n} )\) est une suite arithmétique de raison r = – 2.

3. Que vaut \(U_{100}\) ?

\(U_{100}=U_0+100r=5+100\times (-2)=5-200=-195.\)

Calculer \(S=U_0+U_1+U_2+…+U_{100}\).

Cette somme comporte 101 termes :

\(S=\frac{101(U_0+U_{100})}{2}=\frac{101(5-195)}{2}=-9595.\)

Exercice 35 (suites numériques corrigé)

Rappel du fonctionnement : chaque pied produit une seule graine, pendant sa première année ; cette graine germe au début de l’année suivante et donne un nouveau pied. Chaque année, il apparaît donc exactement un nouveau pied. Ensuite, un pied occupe 1 m² à la fin de sa première année, puis gagne 1 m² par an.

1/ a) La graine a germé au printemps 1801 : à la fin de l’année 1801, le pied de triodule occupe 1 m².

b) En 1802, la graine produite en 1801 germe et donne un deuxième pied ; le premier pied, lui, ne produit plus de graine et augmente sa surface de 1 m².

c) À la fin de l’année 1802, le vieux pied occupe 2 m² (et le jeune pied 1 m²).

2/ Dans la feuille de calcul, chaque ligne à partir de la ligne 4 correspond à une année et chaque colonne à partir de C à un pied de triodule : la formule =B3 recopiée vers la droite décale d’une colonne la ligne précédente, ce qui traduit l’arrivée d’un nouveau pied chaque année, tandis que =B3+1 fait grandir chaque pied de 1 m² par an. Par ailleurs, on lit ainsi, pour chaque année, la surface de chacun des pieds.

Exercice 35 (suites numériques corrigé) (suite)

3/ a) À la fin de l’année 1800, la graine n’a pas encore germé : \(A_0=0\).

À la fin de 1801, un seul pied de 1 m² : \(A_1=1\).

À la fin de 1802, le vieux pied occupe 2 m² et le jeune 1 m² : \(A_2=2+1=3\).

b) Le premier pied occupe 1 m² à la fin de 1801 et gagne 1 m² par an : à la fin de l’année 1800+n, il occupe n m².

c) À la fin de l’année 1800+n, il y a n pieds : le premier occupe n m², le deuxième (né un an plus tard) n – 1 m², …, le plus jeune 1 m². Donc

\(A_n=1+2+3+\ldots+n\)

C’est la somme des n premiers termes d’une suite arithmétique de raison 1 : \(A_n=\dfrac{n(n+1)}{2}\).

d) Au bout de 20 ans (fin de l’année 1820) :

\(A_{20}=\dfrac{20\times 21}{2}=210\) m²

e) On cherche le plus petit entier n tel que \(\dfrac{n(n+1)}{2}\gt 500\), soit \(n^2+n-1000\gt 0\).

Le discriminant vaut \(\Delta=1+4000=4001\) et la racine positive est \(\dfrac{-1+\sqrt{4001}}{2}\approx 31{,}1\). Vérification : \(A_{31}=\dfrac{31\times 32}{2}=496\) et \(A_{32}=\dfrac{32\times 33}{2}=528\).

La surface totale dépassera 500 m² en 1832.

Exercice 36 :

Étudier la nature des suites ci-dessous :

a) pour tout entier naturel n, \(U_n=\frac{3}{4^n}\) .

\(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{\frac{3}{4^{n+1}}}{\frac{3}{4^n}}\)

\(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{3}{4^{n+1}}\times \frac{4^n}{3}\)

\(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{4^n}{4^{n+1}}\)

\(\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{1}{4}\)

\((U_n)\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{4}\) et de premier terme \(U_0=3\).

Ses termes sont positifs et \(\frac{1}{4}\lt 1\), donc la suite \((U_n)\) est décroissante et \(\lim_{n\to+\infty}U_n=0\).

b) pour tout entier naturel n, \(V_n=0{,}1-0{,}02n\) .

\(V_{n+1}-V_n=(0{,}1-0{,}02(n+1))-(0{,}1-0{,}02n)\)

\(V_{n+1}-V_n=0{,}1-0{,}02n-0{,}02-0{,}1+0{,}02n\)

\(V_{n+1}-V_n=-0{,}02\)

\((V_n)\) est une suite arithmétique de raison -0,02 et de premier terme \(V_0=0{,}1\).

Comme \(V_{n+1}-V_n\lt 0\), la suite \((V_n)\) est décroissante et \(\lim_{n\to+\infty}V_n=-\infty\).

Exercice 37 (suites numériques corrigé)

On note \((U_n)\) la suite définie par \(U_0=1\), \(U_1=3\) et, pour tout entier naturel n, \(U_{n+2}=U_{n+1}-U_n\).

1. Calculer \(U_3,U_4,U_5,….\)

\(U_2=U_1-U_0=3-1=2\)

\(U_3=U_2-U_1=2-3=-1\)

\(U_4=U_3-U_2=-1-2=-3\)

\(U_5=U_4-U_3=-3+1=-2\)

\(U_6=U_5-U_4=-2+3=1\) et \(U_7=U_6-U_5=1+2=3\) : on retrouve \(U_0\) et \(U_1\).

2. Puis exprimer \(U_{n+3}\) en fonction de \(U_n\) .

\(U_{n+3}=U_{n+2}-U_{n+1}=U_{n+1}-U_n-U_{n+1}=-U_n\)

3. Ensuite, exprimer \(U_{n+6}\) en fonction de \(U_n\) .

\(U_{n+6}=-U_{n+3}=U_{n}\) : la suite est périodique de période 6.

4. Puis en déduire l’expression de \(U_{n+3k};\,k\in\mathbb{N}\), en fonction de \(U_{n }\)

(On ne démontrera pas l’égalité trouvée).

\(U_{n+3k}=(-1)^kU_{n}\)

5. De plus, calculer \(U_{2005}\) .

\(2005=3\times 668+1\)

\(U_{2005}=(-1)^{668}U_1=U_1=3\)

Exercice 38 :

On a :

• \(u_0=2\times 0+3=3\)
• \(u_1=2\times 1+3=5\)
• \(u_2=2\times 2+3=7\)

Donc \(u_0=3, u_1=5\) et \(u_2=7\).

Exercice 39 (suites numériques corrigé)

On a :

• \(u_0=\frac{0+1}{2\times 0-3}=-\frac{1}{3}\)
• \(u_{10}=\frac{10+1}{2\times 10-3}=\frac{11}{17}\)

Donc \(u_0=-\frac{1}{3}\) et \(u_{10}=\frac{11}{17}\).

Exercice 40 :

On remplace n par l’expression demandée dans \(u_n=2n-1\) :

• \(u_{n+1}=2(n+1)-1=2n+2-1=2n+1\)
• \(u_{n-1}=2(n-1)-1=2n-2-1=2n-3\)
• \(u_{2n}=2\times 2n-1=4n-1\)
• \(u_n+1=(2n-1)+1=2n\)

Attention à ne pas confondre \(u_{n+1}\) (terme de rang n + 1) et \(u_n+1\) (terme de rang n auquel on ajoute 1).

Donc \(u_{n+1}=2n+1\), \(u_{n-1}=2n-3\), \(u_{2n}=4n-1\) et \(u_n+1=2n\).

Exercice 41 (suites numériques corrigé)

1) On a :

• \(u_1=\dfrac{2u_0-2}{u_0-3}=\dfrac{2\times 2-2}{2-3}=\dfrac{2}{-1}=-2\)
• \(u_2=\dfrac{2u_1-2}{u_1-3}=\dfrac{2\times (-2)-2}{-2-3}=\dfrac{-6}{-5}=\dfrac{6}{5}\)

Donc \(u_1=-2\) et \(u_2=\dfrac{6}{5}=1{,}2\).

2) On calcule les termes de proche en proche à la calculatrice (touche « Ans » ou mode suite) :

\(u_3=-\dfrac{2}{9}\approx -0{,}222\) ; \(u_4=\dfrac{22}{29}\approx 0{,}759\) ; \(u_5=\dfrac{14}{65}\approx 0{,}215\) ; …

Les termes oscillent en se resserrant autour d’environ 0,44.

\(u_{15}\approx 0{,}44\) à \(10^{-2}\) près.

Exercice 42 :

Comme \(u_n=f(n)\), on lit sur la courbe les ordonnées des points d’abscisses 0, 1, 2, 3 et 4 :

\(u_0=f(0)=-2\) ; \(u_1=f(1)=0\) ; \(u_2=f(2)=3\) ; \(u_3=f(3)=2\) ; \(u_4=f(4)=-1\)

Donc \(u_0=-2\), \(u_1=0\), \(u_2=3\), \(u_3=2\) et \(u_4=-1\) (valeurs lues graphiquement).

Exercice 43 (suites numériques corrigé)

1) La suite est arithmétique de raison r = 2, donc :

\(u_n=u_0+nr=-3+2n\)

Donc \(u_n=-3+2n\).

2) On a :

\(u_{20}=-3+2\times 20=37\)

Donc \(u_{20}=37\).

Exercice 44 :

Une suite est arithmétique lorsque la différence \(u_{n+1}-u_n\) est constante.

a) Pour tout n, \(u_{n+1}-u_n=-4\) : la différence est constante.

La suite \((U_n)\) est arithmétique de raison -4.

b) \(v_{n+1}-v_n=(-(n+1)+3)-(-n+3)=-n-1+3+n-3=-1\)

La suite \((V_n)\) est arithmétique de raison -1.

c) \(w_{n+1}-w_n=(n+1)^2-3-(n^2-3)=n^2+2n+1-3-n^2+3=2n+1\)

Cette différence dépend de n (\(w_1-w_0=1\) et \(w_2-w_1=3\)).

La suite \((W_n)\) n’est pas arithmétique.

Exercice 45 (suites numériques corrigé)

Une suite à termes non nuls est géométrique lorsqu’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q.

a) Pour tout n, \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2}=\dfrac{1}{2}\times u_n\).

La suite \((U_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme 2.

b) \(v_{n+1}=-3^{n+1}=-3^n\times 3=3\times v_n\)

La suite \((V_n)\) est géométrique de raison 3 et de premier terme \(v_0=-1\).

c) \(w_{n+1}=\dfrac{1}{4^{n+1}}=\dfrac{1}{4^n\times 4}=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{1}{4^n}=\dfrac{1}{4}\times w_n\)

La suite \((W_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{4}\) et de premier terme \(w_0=1\).

Exercice 46 :

1) On a :

• \(u_0=1\) (tout le gâteau est dans l’assiette)
• \(u_1=\frac{1}{2}\) (après le premier service, il reste la moitié)
• \(u_2=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}\) (après le deuxième service, il ne reste plus que le quart)

Donc \(u_0=1\) et \(u_1= \frac{1}{2}\).

2) Chaque fois qu’il passe, Yacine mange la moitié de ce qui reste : il en reste donc la moitié. Ensuite, pour tout n, \(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\times u_n\).

La suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(\frac{1}{2}\) et de premier terme \(u_0=1\) ; ainsi \(u_n=(\dfrac{1}{2})^n\).

Exercice 47 (suites numériques corrigé)

a) \(u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+2(n+1)-(n^2+2n)=n^2+2n+1+2n+2-n^2-2n=2n+3\)

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(2n+3\gt 0\).

Donc la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

b) \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4}{n+2}-\dfrac{4}{n+1}=\dfrac{4(n+1)-4(n+2)}{(n+2)(n+1)}=\dfrac{-4}{(n+2)(n+1)}\)

Le numérateur est négatif et le dénominateur positif, donc \(u_{n+1}-u_n\lt 0\).

Donc la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

c) \(u_{n+1}-u_n=-5^{n+1}+5^n=5^n(-5+1)=-4\times 5^n\lt 0\)

Donc la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

Exercice 48 :

1) Pour tout \(n\geq\, 1\), \(u_n\gt 0\) et :

\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}\times \dfrac{n}{2^n}=\dfrac{2n}{n+1}\)

\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2n}{n+1}\). Par ailleurs, ce quotient dépend de n : la suite n’est pas géométrique.

2) Comme \(n+1\gt 0\) :

\(\dfrac{2n}{n+1}\gt 1\Leftrightarrow 2n\gt n+1\Leftrightarrow n\gt 1\)

L’inéquation est vérifiée pour tout entier \(n\geq\, 2\) (pour n = 1, le quotient vaut exactement 1).

3) Les termes sont strictement positifs. Puis pour \(n\geq\, 2\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\gt 1\) donc \(u_{n+1}\gt u_n\) ; pour n = 1, \(u_2=u_1=2\).

La suite \((u_n)\) est croissante, et strictement croissante à partir du rang 2.

Exercice 49 :

1) Chaque poupée mesure 0,5 cm de plus que la précédente : \(u_{n+1}=u_n+0{,}5\). Ensuite, la suite \((u_n)\) est arithmétique de raison 0,5 et de premier terme \(u_1=1\), donc :

\(u_n=u_1+(n-1)\times 0{,}5=1+0{,}5(n-1)\)

\(u_n=0{,}5n+0{,}5\)

2) \(u_{10}=0{,}5\times 10+0{,}5=5{,}5\)

La 10e poupée mesure 5,5 cm.

3) Si on empile les 10 poupées, la hauteur de la pile est la somme de leurs tailles :

\(u_1+u_2+\ldots+u_{10}=10\times \dfrac{u_1+u_{10}}{2}=10\times \dfrac{1+5{,}5}{2}=32{,}5\)

La pile de 10 poupées mesure 32,5 cm.

Exercice 50 :

1) On a :

\(u_0=2\times 0 +3=3\) ; \(u_1=2\times 1 +3=5\) ; \(u_2=2\times 2 +3=7\)

Donc \(u_0=3\), \(u_1=5\) et \(u_2=7\).

2) On a :

\(u_0=\frac{0+1}{2\times 0-3}=-\frac{1}{3}\) ; \(u_{10}=\frac{10+1}{2\times 10-3}=\frac{11}{17}\)

Donc \(u_0=-\frac{1}{3}\) et \(u_{10}=\frac{11}{17}\).

3) On a :

\(u_0=2^0-1=0\) ; \(u_1=2^1-1=1\) ; \(u_2=2^2-1=3\) ; \(u_3=2^3-1=7\) ; \(u_4=2^4-1=15\)

Donc \(u_0=0\), \(u_1=1\), \(u_2=3\), \(u_3=7\) et \(u_4=15\).

4) Avec \(u_n=2n-1\) :

\(u_{n+1}=2(n+1)-1=2n+1\) ; \(u_{n-1}=2(n-1)-1=2n-3\) ; \(u_{2n}=2\times 2n-1=4n-1\) ; \(u_n+1=2n-1+1=2n\)

Donc \(u_{n+1}=2n+1\), \(u_{n-1}=2n-3\), \(u_{2n}=4n-1\) et \(u_n+1=2n\).

5) Avec \(u_n=n^2+1\) :

\(u_{n+1}=(n+1)^2+1=n^2+2n+2\)

\(u_{n-1}=(n-1)^2+1=n^2-2n+2\)

\(u_{2n}=(2n)^2+1=4n^2+1\)

\(u_n+1=n^2+1+1=n^2+2\)

Donc \(u_{n+1}=n^2+2n+2\), \(u_{n-1}=n^2-2n+2\), \(u_{2n}=4n^2+1\) et \(u_n+1=n^2+2\).

Exercice 51 :

1) Le premier jour est celui où Mathéo pose le récipient : le matin, il contient 200 g, donc \(u_1=200\).

L’après-midi, l’écureuil en mange la moitié (il reste 100 g), puis Mathéo en rajoute 80 g : le deuxième matin, \(u_2=\dfrac{1}{2}\times 200+80=180\).

Donc \(u_1=200\) et \(u_2=180\).

2) Chaque jour, la quantité du matin est divisée par 2 l’après-midi, puis augmentée de 80 g le soir :

\(u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+80=0{,}5\,u_n+80\)

La suite \((u_n)\) n’est ni arithmétique ni géométrique (\(u_2-u_1=-20\) mais \(u_3-u_2=170-180=-10\)).

Exercice 52 :

Comme \(u_n=f(n)\), on lit les ordonnées des points de la courbe d’abscisses 0, 1, 2, 3 et 4 :

\(u_0=f(0)=-2\) ; \(u_1=f(1)=0\) ; \(u_2=f(2)=3\) ; \(u_3=f(3)=2\) ; \(u_4=f(4)=-1\)

Donc \(u_0=-2\), \(u_1=0\), \(u_2=3\), \(u_3=2\) et \(u_4=-1\) (valeurs lues graphiquement).

Exercice 53 :

Ici la suite est définie par récurrence : chaque terme est l’image du précédent par f. Puis on lit donc sur la courbe l’image du terme précédent :

\(v_0=1\)

\(v_1=f(v_0)=f(1)=2\)

\(v_2=f(v_1)=f(2)=4\)

\(v_3=f(v_2)=f(4)=0\)

\(v_4=f(v_3)=f(0)=-1\)

Donc \(v_0=1\), \(v_1=2\), \(v_2=4\), \(v_3=0\) et \(v_4=-1\) (valeurs lues graphiquement).

Exercice 54 :

Première suite (raison 4, \(u_0=2\)) :

\(u_1=u_0+4=6\) ; \(u_2=u_1+4=10\) ; \(u_3=u_2+4=14\)

Donc \(u_1=6\), \(u_2=10\) et \(u_3=14\).

Seconde suite (raison 2, \(u_0=-3\)) :

1. \(u_n=u_0+nr=-3+2n\), donc \(u_n=2n-3\).

2. \(u_{20}=2\times 20-3\), donc \(u_{20}=37\).

Exercice 55 :

a) \(u_{n+1}-u_n=(n+1)^2+2(n+1)-(n^2+2n)=2n+3\gt 0\)

Donc la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

b) \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{4}{n+2}-\dfrac{4}{n+1}=\dfrac{4(n+1)-4(n+2)}{(n+2)(n+1)}=-\dfrac{4}{(n+2)(n+1)}\lt 0\)

Donc la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

c) \(u_{n+1}-u_n=-5^{n+1}+5^n=5^n(1-5)=-4\times 5^n\lt 0\)

Donc la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

Exercice 56 :

1) Pour tout \(n\geq\, 1\), \(u_n\gt 0\) et :

\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}\times \dfrac{n}{2^n}=\dfrac{2\times 2^n\times n}{(n+1)\times 2^n}=\dfrac{2n}{n+1}\)

\(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{2n}{n+1}\)

2) Comme \(n+1\gt 0\), \(\dfrac{2n}{n+1}\gt 1\Leftrightarrow 2n\gt n+1\Leftrightarrow n\gt 1\).

L’inéquation est vérifiée pour tout entier \(n\geq\, 2\).

3) Les termes sont strictement positifs, donc comparer \(u_{n+1}\) et \(u_n\) revient à comparer leur quotient à 1. De plus, pour \(n\geq\, 2\), \(u_{n+1}\gt u_n\) ; pour n = 1, le quotient vaut 1 et \(u_2=u_1=2\).

La suite \((u_n)\) est croissante, strictement à partir du rang 2.

Exercice 57 :

1) À l’étape 1, la rosace a 6 pétales. À l’étape 2, on ajoute un pétale dans chacun des 6 espaces situés entre deux pétales consécutifs : on obtient 12 pétales régulièrement répartis (en rouge les 3 pétales de départ, en vert ceux de l’étape 1, en bleu ceux de l’étape 2).

2) Entre 3 pétales, il y a 3 espaces, donc \(u_1=3+3=6\). Entre 6 pétales, il y a 6 espaces, donc \(u_2=6+6=12\).

\(u_1=6\) et \(u_2=12\).

3) À l’étape n, il y a \(u_n\) pétales disposés en cercle, donc \(u_n\) espaces entre deux pétales consécutifs : on ajoute \(u_n\) pétales.

\(u_{n+1}=u_n+u_n=2u_n\)

4) La suite \((u_n)\) est géométrique de raison 2 et de premier terme \(u_0=3\), donc :

\(u_n=3\times 2^n\)

Exercice 58 :

1. Ensuite, en repliant les quatre coins vers le centre, les plis joignent les milieux des côtés : le nouveau carré a pour côté la moitié de la diagonale du carré précédent. Par ailleurs, la diagonale d’un carré de côté 20 cm mesure \(20\sqrt{2}\) cm (théorème de Pythagore), donc :

\(u_1=\dfrac{20\sqrt{2}}{2}=10\sqrt{2}\approx 14{,}14\) cm

2. Puis le même raisonnement s’applique à chaque étape : le côté du nouveau carré est la moitié de la diagonale \(u_n\sqrt{2}\) :

\(u_{n+1}=\dfrac{u_n\sqrt{2}}{2}=\dfrac{u_n}{\sqrt{2}}\)

3. Ensuite, la suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,}707\), avec \(0\lt\dfrac{\sqrt{2}}{2}\lt 1\) et un premier terme positif. Donc \(u_{n+1}\lt u_n\) :

la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

4. Puis les termes sont positifs et sont multipliés par environ 0,707 à chaque étape : \(u_n=20\times (\dfrac{\sqrt{2}}{2})^n\) devient aussi petit que l’on veut. On conjecture que \(\lim_{n\to+\infty}u_n=0\).

5. L’épaisseur initiale est 0,1 mm, soit 0,0001 m. De plus, en repliant les quatre coins, les quatre triangles rabattus recouvrent exactement le nouveau carré : le pliage a partout deux épaisseurs de la feuille précédente.

\(v_0=0{,}0001\) m et \(v_1=0{,}0002\) m.

6. À chaque étape, l’épaisseur double :

\(v_{n+1}=2v_n\)

7. Ensuite, la suite \((v_n)\) est géométrique de raison 2 supérieure à 1 et de premier terme positif, donc \(v_{n+1}\gt v_n\) : la suite \((v_n)\) est strictement croissante.

8. \(v_n=v_0\times 2^n=0{,}0001\times 2^n\) (en mètres).

9. Par ailleurs, on cherche le plus petit entier n tel que \(0{,}0001\times 2^n\geq\, 324\), soit \(2^n\geq\, 3\,240\,000\). À la calculatrice :

\(2^{21}=2\,097\,152\) (épaisseur d’environ 209,7 m) et \(2^{22}=4\,194\,304\) (épaisseur d’environ 419,4 m).

Il faudrait 22 étapes pour que le pliage dépasse la hauteur de la tour Eiffel (en pratique, il est impossible de plier une feuille autant de fois !).

Suites numériques corrigé : nos conseils pour progresser

Avant tout, rédige ta propre réponse sur un brouillon. Puis contrôle tes calculs avant de passer à la suite. Ainsi, tu repères vite tes erreurs de méthode. Par ailleurs, suites numériques corrigé en première demande surtout de la régularité.

Par exemple, explique la méthode à voix haute, comme à un camarade. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Équation sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec equations et second degré : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.