Exercices de maths 1ère : Suites numériques

Exercice 1Calcul de termes

1. \(u_n = 3n^2 - 2n + 1\). Calculer \(u_0\), \(u_1\), \(u_5\).
2. \(v_0 = 4\) et \(v_{n+1} = 2v_n - 3\). Calculer \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\).
3. \(w_n = \dfrac{n}{n + 1}\). Calculer \(w_0\), \(w_1\), \(w_{10}\).

Exercice 2Suites arithmétiques

1. \((u_n)\) arithmétique, \(u_0 = 7\), \(r = -3\). Exprimer \(u_n\) et calculer \(u_{20}\).
2. \((v_n)\) arithmétique, \(v_3 = 11\), \(v_8 = 26\). Trouver \(r\) et \(v_0\).
3. Les suites \(u_n = 4n - 5\) et \(v_n = n^2 + 1\) sont-elles arithmétiques ?

Exercice 3Somme arithmétique

1. Calculer \(1 + 2 + \dots + 200\).
2. Calculer \(S = 5 + 8 + 11 + \dots + 92\).
3. \((u_n)\) arithmétique avec \(u_0 = 3\), \(r = 2\). Calculer \(u_0 + u_1 + \dots + u_{49}\).

Exercice 4Suites géométriques

1. \((u_n)\) géométrique, \(u_0 = 5\), \(q = 1{,}2\). Exprimer \(u_n\) et calculer \(u_{10}\).
2. \((v_n)\) géométrique, \(v_2 = 12\), \(v_5 = 96\). Trouver \(q\) et \(v_0\).
3. Les suites \(u_n = 3 \times 2^n\) et \(v_n = 2^n + 1\) sont-elles géométriques ?

Exercice 5Somme géométrique

1. Calculer \(1 + 2 + 4 + \dots + 2^{10}\).
2. Calculer \(S = 3 + 3 \times 0{,}5 + 3 \times 0{,}5^2 + \dots + 3 \times 0{,}5^{8}\).
3. \((u_n)\) géométrique avec \(u_0 = 2\), \(q = 3\). Calculer \(u_0 + \dots + u_{7}\).

Exercice 6Sens de variation

Étudier le sens de variation :

1. \(u_n = n^2 - 4n\)
2. \(v_n = \dfrac{2^n}{n + 1}\) (calculer \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\))
3. \(w_n = 5 - 3n\)
4. \(t_n = 0{,}8^n\)

Exercice 7Suite arithmético-géométrique

\(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 3u_n + 4\). On pose \(v_n = u_n + 2\).

1. Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
2. Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. Calculer \(u_{10}\).

Exercice 8Modélisation

1. Un capital de \(5\,000\) € est placé à \(3\,\%\) par an. Exprimer le capital \(C_n\) après \(n\) ans. Au bout de combien d'années dépasse-t-il \(7\,000\) € ?
2. Une population de \(20\,000\) habitants perd \(500\) habitants par an. Exprimer \(P_n\). Quand passe-t-elle sous \(15\,000\) ?

Exercice 9Algorithme

u = 2
n = 0
while u < 100:
    u = 1.5 * u
    n = n + 1
print(n)

1. Que représente la valeur affichée ?
2. La calculer.
3. Écrire un algorithme calculant \(u_0 + \dots + u_{20}\) pour \(u_{n+1} = 0{,}9u_n + 2\), \(u_0 = 10\).

Exercice 10Problème

Une entreprise produit \(1\,000\) unités la première année et augmente sa production de \(8\,\%\) chaque année.

1. Modéliser par une suite \((p_n)\). Nature ? Expression de \(p_n\) ?
2. Production la \(10^e\) année ?
3. Production totale sur \(10\) ans ?
4. À partir de quelle année la production dépasse-t-elle le double de la production initiale ?