Trigonométrie : exercices de maths en 1ère corrigés à télécharger en PDF

Exercice 1 – Des équations trigonométriques (trigonométrie 1ère exercices)

Résoudre dans \(]-\pi;\pi]\) les équations suivantes.
1.  \(cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}.\)
2. \(sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Exercice 2 – Déterminer la valeur de cosinus

Dans cet exercice, on donne :
\(cos(\frac{\pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.\)
Calculer la valeur exacte de \(cos(\frac{2\pi}{5})\) puis de \(cos(\frac{3\pi}{5}).\)

Exercice 3 – Exercice sur la tangente (trigonométrie 1ère exercices)

Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : \(tan(\frac{\pi}{12})=2-\sqrt{3}.\)
1. Soit \(x\in]0;\frac{\pi}{2}[\). Démontrer que \(tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{tanx}.\)
2. En déduire que :
\(tan(\frac{5\pi}{12})=2+\sqrt{3}.\)

Exercice 4 – Résoudre une équation trigonométrique

Résoudre dans\(]-\pi;\pi]\) l’équation : sin(2x) = cos(x).

Exercice 5 – Résoudre deux équations trigonométriques (trigonométrie 1ère exercices)

Résoudre dans\(]-\pi;\pi[\)  les équations suivantes :
1. \(2\cos^3x-7\cos^2x+2\cos x+3=0\).
2. \(2\sin^3x+\cos^2x-5\sin x-3=0\).

Exercice 6 – Résoudre une équation trigonométrique complexe

Résoudre dans\(\mathbb{R}\) l’équation :
\(2sin^3x-17sin^2x+7sinx+8=0.\)

Exercice 7 – Triangle équilatéral et mesure d’angles (trigonométrie 1ère exercices)

Sur la figure ci-dessous, ABC est équilatéral, BCI et ACJ sont rectangles isocèles respectivement en B et J.

1. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
\((\,\vec{AB},\vec{AC\,})\)
\((\,\vec{BI},\vec{BA\,})\)
\((\,\vec{AI},\vec{AB\,})\)
\((\,\vec{BC},\vec{CJ})\)
\((\,\vec{CJ},\vec{BI})\)
2. Montrer que les points A,I et J sont alignés.

Exercice 8 – Cercle trigonométrique et points

Tracer un cercle trigonométrique et placer sur ce cercle
les points A, M, N, P et Q repérés par les nombres suivants :
\(0,\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{-3\pi}{4},-\frac{7\pi}{3}\)

Exercice 9 – Mesure principale d’un angle (trigonométrie 1ère exercices)

Déterminer la mesure principale des angles :
\(\alpha =\frac{114\pi}{4}\) ; \(\beta =-\frac{91\pi}{6}\) ; \(\gamma =70\)

Exercice 10 – Relations métriques dans le triangle

ABC est un triangle avec \(BC=4,\widehat{B}=\frac{\pi}{4};\widehat{C}=\frac{\pi}{3}\) .
1. Démontrer que    \(sin \, \widehat{A}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)  .
2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC .

Exercice 11 – Représentation graphique de fonctions trigonométriques (trigonométrie 1ère exercices)

Démontrer que la représentation graphique de la fonction\(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\(f(x)=cos(2x)+sinx-1\)
est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1 .

Exercice 12 – Résoudre une équation trigonométrique

Démontrer que, pour tout réel \(x\) :
\(cos^4x-sin^4x=cos(2x).\)

Exercice 13 – Utiliser les formules d’addition (trigonométrie 1ère exercices)

En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de \(sin(\frac{7\pi}{12})\,et\,cos(\frac{7\pi}{12}).\)

Exercice 14 – Les formules d’Al-Kashi

Soit ABC un triangle quelconque.
On note :
– a la longueur du segment [BC] ;
– b la longueur du segment [AC] ;
– c la longueur du segment [AB] ;

Montrer que :
\(a^2=b^2+c^2-2bc\times \cos(\alpha)\)
\(b^2=a^2+c^2-2ac\times \cos(\beta)\)
\(c^2=a^2+b^2-2ab\times \cos(\gamma)\)

Exercice 15 -Formule de trigonométrie (trigonométrie 1ère exercices)

Montre que :
\(\frac{sin3x}{sinx}+\frac{cos3x}{cosx}=4cos2x\)

Exercice 16 -Mesure principale et figure dans le plan

Calculer la mesure principale de \((\vec{DC},\vec{DA})\) sachant que :
\((\vec{AB},\vec{AD})=\frac{\pi}{6}\,\,[2\pi]\)
\((\vec{BC},\vec{BA})=\frac{\pi}{4}\,\,[2\pi]\)
\((\vec{CD},\vec{CB})=\frac{\pi}{8}\,\,[2\pi]\)

Exercice 17 -Relations métrique dans le triangle

ABC est un triangle avec BC = 4, \(\widehat{B}=\frac{\pi}{4}\) et \(\widehat{C}=\frac{\pi}{3}\).
1. Démontrer que   \(sin\widehat{A}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) .
2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC.
3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ABC.

Exercice 18

Un triangle ABC a pour aire S = 5 cm².
De plus, c=AB=13 cm et b=AC= 2 cm.
Calculer la (ou les) longueur(s) possible(s)  du troisième côté a = BC.

Exercice 19

ABC est un triangle .
On sait que AB = 7, AC= 4 et \(\widehat{A}=60^{\circ}\).
1. Calculer la valeur exacte de BC.
2. Calculer la valeur exacte de \(sin\widehat{B}\).

Exercice 20

Démontrer que deux angles supplémentaires ont le même sinus.
ABCD est un quadrilatère.On suppose que les segments [AC] et [BD]  sont à l’intérieur du quadrilatère.
Démontrer que l’aire S du quadrilatère ABCD est donnée par :
\(S=\frac{1}{2}\,\times \,AC\,\times \,BD\,\times \,sin\Theta\)   ( \(\Theta\) désigne l’angle formé par les diagonales).

Exercice 21

Un promeneur marche 5 km en direction de l’est, puis 2 km en direction du nord-est.Surpris par le mauvais temps, il retourne directement vers son point de départ en courant.
Sur quelle distance d a-t-il couru ?
On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée à 0,01 km près.

Exercice 22

Démontrer la propriété suivante :
ABC est un triangle rectangle en A \(\Leftrightarrow\) \(sin^2A=sin^2B+sin^2C\).

Exercice 23 :

Soit g la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(g(x)=cos(4x)sin^2(4x)\).

1)Montrer que g est paire. Interpréter graphiquement.

2)Montrer que g est \(\frac{\pi}{2}\) – périodique.

Exercice 24 :

soit g la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

\(g(x)=cos(x)+sin(x)\).

1)Montrer que g n’est ni paire ni impaire.

2)Montrer que g est \(2\pi\) – périodique. Interpréter graphiquement.

3)Montrer que, pour tout réel \(x\), \(-2\leq\,\,\,\,g(x)\leq\,\,\,\,2\).

Exercice 25 :

1)A partir de \(cos(\frac{\pi}{3})\), déterminer \(cos(-\frac{\pi}{3})\) puis \(cos(\frac{2\pi}{3})\).

2)Même question avec \(sin(-\frac{\pi}{3})\) puis \(sin(\frac{2\pi}{3})\).

Exercice 26 :

1)Résoudre sur \([0;2\pi[\) l’équation \(cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

2)Résoudre sur \([0;2\pi[\), l’équation \(sin(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Exercice 27 :

1.Donner les abscisses des points A et B.

2)Résoudre sur \([0;2\pi[\), l’équation \(cos(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\).

3)Résoudre sur \([0;2\pi[\), l’inéquation \(cos(x) \leq\,\,\, \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Exercice 28 :

Dans chaque cas, vérifier que la fonction f est T-périodique.

\(a)f:x\,\mapsto \,cos(2\pi\,x)\) et T = 1.

\(b)f:x\,\mapsto \,sin(3x)\) et \(T=\frac{2\pi}{3}\).

\(c)f:x\,\mapsto \,\frac{2}{3}cos(7x+\frac{\pi}{4})\) et \(T=\frac{2\pi}{7}\).

\(d)f:x\,\mapsto \,\frac{10}{7}sin(\frac{5x-8}{3})\) et \(T=\frac{6\pi}{5}\).

Exercice 29 :

1.a)Déterminer un réel x appartenant à l’intervalle \(]-\pi;\pi[\) associé à \(\frac{91\pi}{4}\).

b)En déduire \(cos(\frac{91\pi}{4})\) puis, \(sin(\frac{91\pi}{4})\).

2.a)Calculer \(cos(-\frac{13\pi}{6})\).

b)Calculer \(sin(-\frac{81\pi}{2})\).

3)a)Calculer \(cos(\frac{25\pi}{3})\) et en déduire \(sin(\frac{25\pi}{3})\).

b)Calculer \(sin(\frac{45\pi}{6})\) et en déduire \(cos(\frac{45\pi}{6})\).

Exercice 30 :

Soit f la fonction définie sur \(]-\pi ; \pi ]\) par :

\(f(x)\,=\,4cos^2(x)\,+\,2(\sqrt{2}\,-\,1)cos(x)\,-\sqrt{2}.\)
Le but de l’exercice est de trouver les solutions de l’équation
f(x) = 0 et de l’inéquation f(x) > 0.
1. On pose X = cos(x).
a) Montrer que \(-1\leq\, X\leq\, 1\).
b) Montrer que résoudre l’équation f(x) = 0 revient à
résoudre l’équation \(4X^2\,+\,2(\sqrt{2}\,-\,1)X\,-\sqrt{2}=0.\)

c)Résoudre sur [- 1 ; 1], l’équation \(4X^2\,+\,2(\sqrt{2}\,-\,1)X\,-\sqrt{2}=0.\)
On notera \(X_1\) et \(X_2\) les solutions obtenues.
d) En déduire les solutions sur \(]-\pi\,;\,\pi\,]\) de l’équation f(x) = 0.
2. On pose X = cos(x).
a) Résoudre sur [-1 ; 1] l’inéquation \(4X^2\,+\,2(\sqrt{2}\,-\,1)X\,-\sqrt{2}>0.\)

Exercice 31 :

1. Un disque microsillon tournant 33 tours et \(\frac{1}{3}\) de tour par minute contient 6 chansons pour une durée
totale de 60 min. La durée de chaque chanson est la même.
Le Saphir situé l’extrémité du bras de lecture étant situé en N au début de la 1ère chanson, sur quel demi-axe se trouvera-t-il la fin de la chanson ?

2. Un disque microsillon tourne 16 tours et \(\frac{2}{3}\) de tour par minute.

La durée de chaque chanson est égale 5 min.
Le saphir situé l’extrémité du bras de lecture étant situé en P au début de la 1ère chanson, sur quel demi-axe se trouvera-t-il :
a) au bout de 3 min ?
b) au bout de 4 min ?
c) à la fin de la 1ère chanson ?
d) à la fin de la 2ème chanson ?

Exercice 32 :

Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\frac{cos(x)}{3+sin^2(x)}\).
1. Montrer que f est paire et \(2\pi\)-périodique.

Interpréter graphiquement.
2. En déduire le plus petit intervalle I possible pour étudier f.
3. On admet que f est dérivable de dérivée :

\(f^{\prime}(x)=\frac{sin(x)(sin^2(x)-5)}{(3+sin^2(x))^2}\).
a) En déduire les variations de la fonction f sur I.
b) Préciser les extrema locaux de f sur I.
c) Tracer la courbe représentative de f sur [-\(\pi\) ; 3\(\pi\)].

Exercice 33 :

Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f\,(x)\,=-\frac{cos^3(x)}{3}\).
1. Montrer que f est paire et \(2\pi\)-périodique. Interpréter graphiquement.
2. On admet que la dérivée de la fonction f est la fonction \(f^{\prime}\) définie par :
\(f^{\prime}(x)\,=\,cos^2(x)sin(x)\).

a) Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\).
b) En déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; \(2\pi\)[.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle \([-\pi;3\pi[\).

Exercice 34 :

On note (E) l’équation \(cos(x)\,=\,-x\).
1.Montrer que les solutions de cette équation appartiennent l’intervalle [−1 ; 1].
2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [−1 ; 1] par f(x) = cos(x) + x.
a) Tracer f à l’aide de la calculatrice puis conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E).
Justifier la démarche.
b) On admet que la dérivée de la fonction \(x\,\mapsto \,cos(x)\) est la fonction \(x\,\mapsto \,-sin(x)\).

En déduire que \(f^{\prime}(x)\,=\,-sin(x)\,+\,1\).
c) Étudier le signe de \(f^{\prime}(x)\) et en déduire le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [−1 ; 1].
d) A l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 0,01 prés de la (ou les) solution(s).

Exercice 35 :

Les lentilles situées en haut de ce phare ont une portée lumineuse de 45 km et
une durée de rotation de 5 secondes.
1.Déterminer l’angle parcouru par une lentille en 1 seconde.
2. Calculer l’aire balayée par une lentille en 1 seconde.

Exercice 36 :

Soit m un paramètre réel non nul et \(f_m\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f_m(x)\,=\,cos(mx)\).
1. Montrer que \(f_m\) est paire. Interpréter graphiquement.
2. Montrer que \(f_m\) est périodique de période \(T=\frac{2\pi}{m}\).
3. En déduire qu’on peut étudier \(f_m\) sur l’intervalle \([0;\frac{\pi}{m}]\) .
4. On admet que \(f_m\) est dérivable de dérivée :

\(f^{\prime}_m\,(x)=-msin(mx)\). Selon m :
a) Déterminer le signe de \(f^{\prime}_m(x)\) sur l’intervalle \([0;\frac{\pi}{m}]\).

b) En déduire les variations de \(f_m\) sur l’intervalle \([0;\frac{\pi}{m}]\).
c) Dresser le tableau de variations de \(f_m\) sur l’intervalle \([0;\frac{\pi}{m}]\) puis sur l’intervalle \([-\frac{\pi}{m};\frac{2\pi}{m}]\).

Exercice 37 :

On considère la rose des vents ci-dessous.
On admet qu’un réel ayant pour image le sens « E » est 0 et qu’un réel ayant le sens « N » est \(\frac{\pi}{2}\).

1.Déterminer un réel ayant pour image le sens « O ».
2.Déterminer un réel ayant pour image le sens « S ».
3.Déterminer un réel ayant pour image le sens « NE ».
4.a) Déterminer un réel ayant pour image le sens « NNE »
b) Par symétrie, quel réel peut avoir pour image le sens « SSE» ?
c) Par symétrie, quel réel peut avoir pour image le sens « NNO » ?

Exercice 38 :

Calculer :

\(A=cos(\frac{\pi}{4})+cos(\frac{3\pi}{4})\)

\(B=sin(\frac{\pi}{3})-cos(\frac{\pi}{4})+sin(\frac{5\pi}{3})\)

\(C=cos^2(\frac{\pi}{2})-sin^2(\frac{\pi}{2})\)

Exercice 39 :

Calculer :

\(D=-cos(\frac{7\pi}{3})+cos(\frac{41\pi}{3})\)

\(B=sin(-\frac{87\pi}{4})\,+sin(-\frac{21\pi}{6})\)

Exercice 40 :

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) le système d’équations suivant :
\[\begin{cases}\cos(x)=\dfrac{1}{2}\\ \sin(x)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\end{cases}\]

Exercice 41 :

Soit f la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)\,=\,acos(x)\,+\,bsin(x)\).

La courbe représentative de f passe par les points  \(M(-\frac{\pi}{2};2)\)  et \(N(\frac{\pi}{4};\sqrt{2})\).

1.A l’aide des points M et N, déterminer les réels a et b.
2.En déduire l’expression de f en fonction de x.
3. Montrer que f est \(2\pi\)-périodique. Interpréter graphiquement.

4. f est-elle paire ? impaire ? Justifier.

Bien travailler avec trigonométrie 1ère exercices

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, vérifie chaque résultat avec soin. Ainsi, chaque erreur devient une occasion de progresser. De plus, un travail régulier sur trigonométrie 1ère exercices vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Trigonométrie sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec fonctions et variations : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.