Trigonométrie : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Des exercices de maths en 1ère corrigés sur les relations métriques dans le triangle quelconque.

Exercice 1 – Des équations trigonométriques
Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ les équations suivantes.
1. $cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}.$
2. $sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Exercice 2 – Déterminer la valeur de cosinus
Dans cet exercice, on donne :
$cos(\frac{\pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.$
Calculer la valeur exacte de $cos(\frac{2\pi}{5})$ puis de $cos(\frac{3\pi}{5}).$

Exercice 3 – Exercice sur la tangente
Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : $tan(\frac{\pi}{12})=2-\sqrt{3}.$
1. Soit $x\in]0;\frac{\pi}{2}[$ . Démontrer que $tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{tanx}.$
2. En déduire que :
$tan(\frac{5\pi}{12})=2+\sqrt{3}.$

Exercice 4 – Résoudre une équation trigonométrique
Résoudre dans $]-\pi;\pi]$ l’équation : sin(2x) = cos(x).

Exercice 5 – Résoudre deux équations trigonométriques
Résoudre dans $]-\pi;\pi[$ les équations suivantes :
$1.2cos^3x-7cos^2x+2cosx+3=0.\\2.2sin^3x+cos^2x5sinx-3=0.$

Exercice 6 – Résoudre une équation trigonométrique complexe
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l’équation :

Exercice 7 – Triangle équilatéral et mesure d’angles
Sur la figure ci-dessous, ABC est équilatéral, BCI et ACJ sont rectangles isocèles respectivement en B et J.

1. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
$\,(\,\vec{AB},\vec{AC\,}\,)$
$\,(\,\vec{BI},\vec{BA\,}\,)$
$\,(\,\vec{AI},\vec{AB\,}\,)$
$\,(\,\vec{BC},\vec{CJ}\,)$
$\,(\,\vec{CJ},\vec{BI}\,)$
2. Montrer que les points A,I et J sont alignés.

Exercice 8 – Cercle trigonométrique et points
Tracer un cercle trigonométrique et placer sur ce cercle
les points A, M, N, P et Q repérés par les nombres suivants :
$0,\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{-3\pi}{4},-\frac{7\pi}{3}$

Exercice 9 – Mesure principale d’un angle
Déterminer la mesure principale des angles :
$\alpha =\frac{114\pi}{4}$ ; $\beta =-\frac{91\pi}{6}$ ; $\gamma =70$

Exercice 10 – Relations métriques dans le triangle
ABC est un triangle avec $BC=4,\widehat{B}=\frac{\pi}{4};\widehat{C}=\frac{\pi}{3}$ .
1. Démontrer que $sin \, \widehat{A}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .
2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC .

Exercice 11 – Représentation graphique de fonctions trigonométriques
Démontrer que la représentation graphique de la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1 .

Exercice 12 – Résoudre une équation trigonométrique
Démontrer que, pour tout réel :

Exercice 13 – Utiliser les formules d’addition
En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de $sin(\frac{7\pi}{12})\,et\,cos(\frac{7\pi}{12}).$

Exercice 14 – Les formules d’Al-Kashi
Soit ABC un triangle quelconque.
On note :
– a la longueur du segment [BC] ;
– b la longueur du segment [AC] ;
– c la longueur du segment [AB] ;

Montrer que :
$a^2=b^2+c^2-2bc\times cos(\alpha )\\b^2=a^2+c^2-2ac\times cos(\beta )\\c^2=a^2+b^2-2ab\times cos(\gamma )\\$

Exercice 15 -Formule de trigonométrie
Montre que :
$\frac{sin3x}{sinx}+\frac{cos3x}{cosx}=4cos2x$

Exercice 16 -Mesure principale et figure dans le plan
Calculer la mesure principale de $(\vec{DC},\vec{DA})$ sachant que :
$(\vec{AB},\vec{AD})=\frac{\pi}{6}\,\,[2\pi]$
$(\vec{BC},\vec{BA})=\frac{\pi}{4}\,\,[2\pi]$
$(\vec{CD},\vec{CB})=\frac{\pi}{8}\,\,[2\pi]$

Exercice 17 -Relations métrique dans le triangle

ABC est un triangle avec BC = 4, $\widehat{B}=\frac{\pi}{4}$ et $\widehat{C}=\frac{\pi}{3}$ .
1. Démontrer que $sin\widehat{A}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .
2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC.
3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ABC.

Exercice 18
Un triangle ABC a pour aire S = 5 cm².
De plus, c=AB=13 cm et b=AC= 2 cm.
Calculer la (ou les) longueur(s) possible(s) du troisième côté a = BC.

Exercice 19
ABC est un triangle .
On sait que AB = 7, AC= 4 et $\widehat{A}=60^{\circ}$ .
1. Calculer la valeur exacte de BC.
2. Calculer la valeur exacte de $sin\widehat{B}$ .

Exercice 20
Démontrer que deux angles supplémentaires ont le même sinus.
ABCD est un quadrilatère.On suppose que les segments [AC] et [BD] sont à l’intérieur du quadrilatère.
Démontrer que l’aire S du quadrilatère ABCD est donnée par :
$S=\frac{1}{2}\,\times \,AC\,\times \,BD\,\times \,sin\Theta$ ( $\Theta$ désigne l’angle formé par les diagonales).

Exercice 21
Un promeneur marche 5 km en direction de l’est, puis 2 km en direction du nord-est.Surpris par le mauvais temps, il retourne directement vers son point de départ en courant.
Sur quelle distance d a-t-il couru ?
On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée à 0,01 km près.

Exercice 22
Démontrer la propriété suivante :
ABC est un triangle rectangle en A $\Leftrightarrow$ .

Voir Exercices 11 à 22...

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