Exercices maths 1ère

Trigonométrie : exercices Maths 1ère corrigés en PDF

Des exercices de maths en première S sur relation métriques dans le triangle quelconque.

Des équations trigonométriques
Résoudre dans ]-\pi;\pi] les équations suivantes.
1.  cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}.
2. sinx=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Déterminer la valeur de cosinus
Dans cet exercice, on donne :
cos(\frac{\pi}{5})=\frac{1+\sqrt{5}}{4}.
Calculer la valeur exacte de cos(\frac{2\pi}{5}) puis de cos(\frac{3\pi}{5}).

Exercice sur la tangente
Dans cet exercice, on dispose de la donnée suivante : tan(\frac{\pi}{12})=2-\sqrt{3}.
1. Soit x\in]0;\frac{\pi}{2}[. Démontrer que tan(\frac{\pi}{2}-x)=\frac{1}{tanx}.
2. En déduire que :
tan(\frac{5\pi}{12})=2+\sqrt{3}.

Résoudre une équation trigonométrique
Résoudre dans]-\pi;\pi] l’équation : sin(2x) = cos(x).

Résoudre deux équations trigonométriques
Résoudre dans]-\pi;\pi[  les équations suivantes :
1.2cos^3x-7cos^2x+2cosx+3=0.\\2.2sin^3x+cos^2x5sinx-3=0.

Résoudre une équation trigonométrique complexe
Résoudre dans\mathbb{R} l’équation :
2sin^3x-17sin^2x+7sinx+8=0.

Triangle équilatéral et mesure d’angles
Sur la figure ci-dessous, ABC est équilatéral, BCI et ACJ sont rectangles isocèles respectivement en B et J.
Triangle équilatéral et mesure d'angles
1. Déterminer une mesure de chacun des angles suivants :
\,(\,\vec{AB},\vec{AC\,}\,)
\,(\,\vec{BI},\vec{BA\,}\,)
\,(\,\vec{AI},\vec{AB\,}\,)
\,(\,\vec{BC},\vec{CJ}\,)
\,(\,\vec{CJ},\vec{BI}\,)
2. Montrer que les points A,I et J sont alignés.

Cercle trigonométrique et points
Tracer un cercle trigonométrique et placer sur ce cercle
les points A, M, N, P et Q repérés par les nombres suivants :
0,\frac{2\pi}{3},\frac{7\pi}{6},\frac{-3\pi}{4},-\frac{7\pi}{3}

Mesure principale d’un angle
Déterminer la mesure principale des angles :
\alpha =\frac{114\pi}{4} ; \beta =-\frac{91\pi}{6} ; \gamma =70

Relations métriques dans le triangle
ABC est un triangle avec BC=4,\widehat{B}=\frac{\pi}{4};\widehat{C}=\frac{\pi}{3} .
1. Démontrer que    sin \, \widehat{A}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}  .
2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC .

Représentation graphique de fonctions trigonométriques
Démontrer que la représentation graphique de la fonctionf définie sur \mathbb{R} par :
f(x)=cos(2x)+sinx-1
est située entre les droites d’équation y = – 3 et y = 1 .

Résoudre une équation trigonométrique
Démontrer que, pour tout réel x :
cos^4x-sin^4x=cos(2x).

Utiliser les formules d’addition
En utilisant les formules d’addition, calculer la valeur exacte de sin(\frac{7\pi}{12})\,et\,cos(\frac{7\pi}{12}).

Les formules d’Al-Kashi
Soit ABC un triangle quelconque.
On note :
– a la longueur du segment [BC] ;
– b la longueur du segment [AC] ;
– c la longueur du segment [AB] ;

Montrer que :
a^2=b^2+c^2-2bc\times   cos(\alpha )\\b^2=a^2+c^2-2ac\times   cos(\beta )\\c^2=a^2+b^2-2ab\times   cos(\gamma )\\

Formule de trigonométrie
Montre que :
\frac{sin3x}{sinx}+\frac{cos3x}{cosx}=4cos2x

Mesure principale et figure dans le plan
Calculer la mesure principale de (\vec{DC},\vec{DA}) sachant que :
(\vec{AB},\vec{AD})=\frac{\pi}{6}\,\,[2\pi]
(\vec{BC},\vec{BA})=\frac{\pi}{4}\,\,[2\pi]
(\vec{CD},\vec{CB})=\frac{\pi}{8}\,\,[2\pi]
Mesure principale et figure dans le plan.
Relations métrique dans le triangle
Exercice 1 : 
ABC est un triangle avec BC = 4, \widehat{B}=\frac{\pi}{4} et \widehat{C}=\frac{\pi}{3}.
1. Démontrer que   sin\widehat{A}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} .
2. Calculer les valeurs exactes de AB et AC.
3. Calculer la valeur exacte de l’aire de ABC.
Exercice 2 :
Un triangle ABC a pour aire S = 5 cm².
De plus, c=AB=13 cm et b=AC= 2 cm.
Calculer la (ou les) longueur(s) possible(s)  du troisième côté a = BC.
Exercice 3 :
ABC est un triangle .
On sait que AB = 7, AC= 4 et \widehat{A}=60^{\circ}.
1. Calculer la valeur exacte de BC.
2. Calculer la valeur exacte de sin\widehat{B}.
Exercice 4 :
Démontrer que deux angles supplémentaires ont le même sinus.
ABCD est un quadrilatère.On suppose que les segments [AC] et [BD]  sont à l’intérieur du quadrilatère.
Démontrer que l’aire S du quadrilatère ABCD est donnée par :
S=\frac{1}{2}\,\times  \,AC\,\times  \,BD\,\times  \,sin\Theta   ( \Theta désigne l’angle formé par les diagonales)
Exercice 5 :
Un promeneur marche 5 km en direction de l’est, puis 2 km en direction du nord-est.Surpris par le mauvais temps, il retourne directement vers son point de départ en courant.
Sur quelle distance d a-t-il couru ?
On donnera la valeur exacte puis la valeur approchée à 0,01 km près.

Exercice 6 :
Démontrer la propriété suivante :
ABC est un triangle rectangle en A \Leftrightarrow sin^2A=sin^2B+sin^2C

Corrigé de ces exercices sur la trigonométrie et les relations métriques


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