Equations et second degré : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 1 (second degré corrigé)

Pour \(ax^2+bx+c\), on factorise par \(a\) puis on complète le carré : \(x^2+px=(x+\dfrac{p}{2})^2-\dfrac{p^2}{4}\).

a. \(P_1(x)=3x^2-4x+6=3(x^2-\dfrac{4}{3}x+2)=3[(x-\dfrac{2}{3})^2-\dfrac{4}{9}+2]=3[(x-\dfrac{2}{3})^2+\dfrac{14}{9}]\)

\(P_1(x)=3(x-\dfrac{2}{3})^2+\dfrac{14}{3}\)

b. \(P_2(x)=0{,}5x^2-4x+3=0{,}5(x^2-8x+6)=0{,}5[(x-4)^2-16+6]=0{,}5[(x-4)^2-10]\)

\(P_2(x)=0{,}5(x-4)^2-5\). On peut en déduire la factorisation \(P_2(x)=0{,}5(x-4-\sqrt{10})(x-4+\sqrt{10})\).

c. \(P_3\) est de degré 4, mais c’est un trinôme en \(X=x^2\) : \(5X^2+6X+1=5(X^2+\dfrac{6}{5}X+\dfrac{1}{5})=5[(X+\dfrac{3}{5})^2-\dfrac{9}{25}+\dfrac{5}{25}]\).

\(P_3(x)=5(x^2+\dfrac{3}{5})^2-\dfrac{4}{5}\). On en déduit aussi \(P_3(x)=(5x^2+1)(x^2+1)\).

d. On reconnaît l’identité remarquable \((2x-3)^2=4x^2-12x+9\).

\(P_4(x)=(2x-3)^2=4(x-\dfrac{3}{2})^2\) : la forme canonique a un terme constant nul.

e. \(P_5(x)=x^2+ax+a=(x+\dfrac{a}{2})^2-\dfrac{a^2}{4}+a\), soit \(P_5(x)=(x+\dfrac{a}{2})^2-\dfrac{a^2-4a}{4}\).

Remarque : \(a^2-4a=a(a-4)\). Si \(a\in[0;4]\), ce nombre est négatif ou nul et \(P_5(x)\) ne se factorise pas davantage (sauf si \(a=0\) ou \(a=4\)) ; si \(a\notin[0;4]\), il est positif et \(P_5(x)=(x+\dfrac{a}{2}-\sqrt{\dfrac{a(a-4)}{4}})(x+\dfrac{a}{2}+\sqrt{\dfrac{a(a-4)}{4}})\).

Exercice 2 :

a. \(4x^2-7=0\Leftrightarrow (2x-\sqrt{7})(2x+\sqrt{7})=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{\sqrt{7}}{2}\text{ ou }x=-\dfrac{\sqrt{7}}{2}\). \(S=\{-\dfrac{\sqrt{7}}{2};\dfrac{\sqrt{7}}{2}\}\)

b. \(-9x^2+3x=0\Leftrightarrow -3x(3x-1)=0 \Leftrightarrow x=0\text{ ou }x=\dfrac{1}{3}\). \(S=\{0;\dfrac{1}{3}\}\)

c. \(7(x-1)^2-6=0\Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{6}{7} \Leftrightarrow x-1=\sqrt{\dfrac{6}{7}}\text{ ou }x-1=-\sqrt{\dfrac{6}{7}}\).

\(S=\{1-\sqrt{\dfrac{6}{7}};1+\sqrt{\dfrac{6}{7}}\}\), avec \(\sqrt{\dfrac{6}{7}}=\dfrac{\sqrt{42}}{7}\).

d. On développe : \(4(x-1)(2x+3)=4(2x^2+x-3)=8x^2+4x-12\) et \((4x-1)(5x+2)=20x^2+3x-2\).

L’équation s’écrit \(-12x^2+x-10=0\). \(\Delta=1^2-4\times (-12)\times (-10)=1-480=-479\lt 0\).

L’équation n’a pas de solution réelle : \(S=\varnothing\).

e. \(4(x-2)^2=9(2x+3)^2\Leftrightarrow [2(x-2)]^2-[3(2x+3)]^2=0\Leftrightarrow (2x-4-6x-9)(2x-4+6x+9)=0\)

\(\Leftrightarrow (-4x-13)(8x+5)=0\Leftrightarrow x=-\dfrac{13}{4}\text{ ou }x=-\dfrac{5}{8}\). \(S=\{-\dfrac{13}{4};-\dfrac{5}{8}\}\)

f. \(2x^2+7x-9=0\) : \(\Delta=7^2-4\times 2\times (-9)=49+72=121=11^2\gt 0\).

\(x_1=\dfrac{-7-11}{4}=-\dfrac{9}{2}\) et \(x_2=\dfrac{-7+11}{4}=1\). \(S=\{-\dfrac{9}{2};1\}\)

g. \(\dfrac{1}{2}x^2+5x+\dfrac{25}{2}=\dfrac{1}{2}(x^2+10x+25)=\dfrac{1}{2}(x+5)^2\). L’équation équivaut à \((x+5)^2=0\). \(S=\{-5\}\)

h. C’est une équation produit : \(x^2-2x-3=0\) ou \(x^2+2x+2=0\).

\(x^2-2x-3=(x-3)(x+1)\) s’annule en \(3\) et \(-1\) ; pour \(x^2+2x+2\), \(\Delta=4-8=-4\lt 0\) : pas de racine. \(S=\{-1;3\}\)

i. \(x^4-2x^2+1=(x^2-1)^2=0\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow x=1\text{ ou }x=-1\). \(S=\{-1;1\}\)

Exercice 3 (second degré corrigé)

1. \((x-1)(ax^2-b)=ax^3-ax^2-bx+b\).

Par identification avec \(2x^3-2x^2-x+1\) : \(a=2\), \(-a=-2\), \(-b=-1\) et \(b=1\). \(a=2\) et \(b=1\).

2. Pour \(x\neq -7\) : \(a+\dfrac{b}{x+7}=\dfrac{ax+7a+b}{x+7}\).

Par identification avec \(\dfrac{4x+23}{x+7}\) : \(a=4\) et \(7a+b=23\), donc \(28+b=23\). \(a=4\) et \(b=-5\).

Vérification : \(4-\dfrac{5}{x+7}=\dfrac{4x+28-5}{x+7}=\dfrac{4x+23}{x+7}\).

Exercice 4 :

a. \(4-3x\geq\, 0 \Leftrightarrow -3x\geq\, -4\Leftrightarrow x\leq\, \dfrac{4}{3}\) (on divise par \(-3\), qui est négatif). \(S=]-\infty;\dfrac{4}{3}]\)

b. \((2x+3)^2\gt 9\Leftrightarrow (2x+3)^2-3^2\gt 0\Leftrightarrow (2x+3-3)(2x+3+3)\gt 0\Leftrightarrow 2x(2x+6)\gt 0\).

Le trinôme \(4x^2+12x\) a pour racines \(-3\) et \(0\) et \(a=4\gt 0\) : il est positif à l’extérieur des racines. \(S=]-\infty;-3[\cup]0;+\infty[\)

c. \(9x^2-6x+1=(3x-1)^2\). Un carré n’est jamais strictement négatif. \(S=\varnothing\)

d. \(x^2\geq\, -2x-7\Leftrightarrow x^2+2x+7\geq\, 0\). \(\Delta=4-28=-24\lt 0\) : le trinôme est toujours du signe de \(a=1\), donc strictement positif. \(S=\mathbb{R}\)

e. C’est la même inéquation que la d. \(S=\mathbb{R}\)

Exercice 5 (second degré corrigé)

a. \(f\) est définie si et seulement si \(x^3+x^2-2x\neq 0\). Or \(x^3+x^2-2x=x(x^2+x-2)=x(x-1)(x+2)\).

\(D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2;0;1\}\)

b. \(g\) est définie si et seulement si \(2x^4+5x^3-3x^2\geq\, 0\), c’est-à-dire \(x^2(2x^2+5x-3)\geq\, 0\).

Si \(x=0\), l’expression vaut 0 : \(0\) convient. Si \(x\neq 0\), \(x^2\gt 0\) et il faut \(2x^2+5x-3\geq\, 0\). \(\Delta=25+24=49\), racines \(\dfrac{-5-7}{4}=-3\) et \(\dfrac{-5+7}{4}=\dfrac{1}{2}\) ; \(a=2\gt 0\), le trinôme est positif à l’extérieur des racines.

\(D_g=]-\infty;-3]\cup\{0\}\cup[\dfrac{1}{2};+\infty[\)

c. \(h\) est définie si et seulement si \(x^2-x-2\neq 0\) et \(\dfrac{x^2-2x-15}{x^2-x-2}\geq\, 0\).

\(x^2-2x-15=(x-5)(x+3)\) et \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). Tableau de signes :

\(x\)	\(-\infty\)		\(-3\)		\(-1\)		\(2\)		\(5\)		\(+\infty\)
\(x^2-2x-15\)		+	0	−		−		−	0	+
\(x^2-x-2\)		+		+	0	−	0	+		+
quotient		+	0	−	||	+	||	−	0	+

\(D_h=]-\infty;-3]\cup]-1;2[\cup[5;+\infty[\)

Exercice 6 :

1. \(\dfrac{5x+4}{x-1}=0\) avec \(x\neq 1\). Un quotient est nul lorsque son numérateur est nul : \(5x+4=0\), soit \(x=-\dfrac{4}{5}\), qui est bien différent de 1. \(S=\{-\dfrac{4}{5}\}\)

2. \(\dfrac{2x^2-5x}{x+4}=x\) avec \(x\neq -4\). On multiplie par \(x+4\) :

\(2x^2-5x=x^2+4x\Leftrightarrow x^2-9x=0\Leftrightarrow x(x-9)=0\).

Les deux valeurs sont différentes de \(-4\). \(S=\{0;9\}\)

3. \((4x-5)^2\geq\, (6x+1)^2\Leftrightarrow (4x-5)^2-(6x+1)^2\geq\, 0\Leftrightarrow (4x-5-6x-1)(4x-5+6x+1)\geq\, 0\)

\(\Leftrightarrow (-2x-6)(10x-4)\geq\, 0\).

Les racines sont \(-3\) et \(\dfrac{2}{5}\). Le produit développé a pour coefficient de \(x^2\) : \(-2\times 10=-20\lt 0\), il est donc positif entre les racines.

Conclusion : \(S=[-3;\dfrac{2}{5}]\)

Exercice 7 (second degré corrigé)

Valeur interdite : \(4x^2-12x+9=(2x-3)^2=0\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}\). Pour \(x\neq\dfrac{3}{2}\), le dénominateur est strictement positif : le quotient a le signe du numérateur.

\(6x+8-2x^2=-2(x^2-3x-4)=-2(x-4)(x+1)\) ; il s’annule en \(-1\) et \(4\) et il est positif entre ces racines (\(a=-2\lt 0\)).

\(3-x\) s’annule en 3, positif avant, négatif après.

\(x\)	\(-\infty\)		\(-1\)		\(\dfrac{3}{2}\)		\(3\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(6x+8-2x^2\)		−	0	+		+		+	0	−
\(3-x\)		+		+		+	0	−		−
\((2x-3)^2\)		+		+	0	+		+		+
quotient		−	0	+	||	+	0	−	0	+

On garde les intervalles où le quotient est positif ou nul, sans la valeur interdite.

\(S=[-1;\dfrac{3}{2}[\cup]\dfrac{3}{2};3]\cup[4;+\infty[\)

Exercice 8 :

1. Les polynômes du second degré de racines 1 et 4 sont les \(P(x)=k(x-1)(x-4)\) avec \(k\neq 0\). Par exemple \(P(x)=(x-1)(x-4)=x^2-5x+4\).

La courbe passe par A(−1 ; 1) si et seulement si \(P(-1)=1\) : \(k(-1-1)(-1-4)=10k=1\), soit \(k=\dfrac{1}{10}\).

Oui : \(P(x)=\dfrac{1}{10}(x-1)(x-4)=\dfrac{1}{10}x^2-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{2}{5}\).

2. \(x^2=ax+1\Leftrightarrow x^2-ax-1=0\). Son discriminant est \(\Delta=(-a)^2-4\times 1\times (-1)=a^2+4\).

Comme \(a^2\geq\, 0\), on a \(\Delta\geq\, 4\gt 0\) : pour tout réel \(a\), l’équation admet deux solutions réelles distinctes.

3. Cas \(m=-3\) : l’équation devient \(2(-9+1)x=0\), soit \(-16x=0\) : elle a une unique solution, \(x=0\).

Cas \(m\neq -3\) : c’est une équation du second degré, qui a une unique solution si et seulement si \(\Delta=0\).

\(\Delta=[2(3m+1)]^2-4(m+3)^2=4(9m^2+6m+1)-4(m^2+6m+9)=32m^2-32=32(m-1)(m+1)\).

\(\Delta=0\Leftrightarrow m=1\text{ ou }m=-1\). La solution double est alors \(x_0=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{3m+1}{m+3}\).

• Pour \(m=1\) : \(4x^2+8x+4=4(x+1)^2=0\), solution \(x=-1\).
• Pour \(m=-1\) : \(2x^2-4x+2=2(x-1)^2=0\), solution \(x=1\).

(E) a une unique solution pour \(m=-3\) (\(x=0\)), \(m=1\) (\(x=-1\)) et \(m=-1\) (\(x=1\)).

Exercice 9 (second degré corrigé)

1. La partie coloriée est formée d’un cadre de largeur \(x\) le long des quatre côtés du grand carré et d’un petit carré central de côté \(x\) (avec \(0\lt x\lt 5\)).

Le carré blanc intérieur a pour côté \(10-2x\). Aire du cadre : \(100-(10-2x)^2=100-(100-40x+4x^2)=40x-4x^2\).

On ajoute le petit carré : \(A(x)=40x-4x^2+x^2=-3x^2+40x\) (en cm²).

2. L’aire coloriée est égale à l’aire blanche lorsqu’elle vaut la moitié du grand carré, soit 50 cm² :

\(-3x^2+40x=50\Leftrightarrow 3x^2-40x+50=0\). \(\Delta=1600-600=1000\) et \(\sqrt{1000}=10\sqrt{10}\).

\(x_1=\dfrac{40-10\sqrt{10}}{6}=\dfrac{20-5\sqrt{10}}{3}\approx 1{,}40\) et \(x_2=\dfrac{20+5\sqrt{10}}{3}\approx 11{,}94\).

Comme \(x\lt 5\), seule la première valeur convient. \(x=\dfrac{20-5\sqrt{10}}{3}\) cm, soit environ 1,40 cm.

Exercice 10 :

1. \(-2x^2-8x-5=0\) : \(a=-2\), \(b=-8\), \(c=-5\). \(\Delta=(-8)^2-4\times (-2)\times (-5)=64-40=24\gt 0\), et \(\sqrt{24}=2\sqrt{6}\).

\(x=\dfrac{8\pm 2\sqrt{6}}{-4}=\dfrac{-4\mp\sqrt{6}}{2}\).

\(S=\{\dfrac{-4-\sqrt{6}}{2};\dfrac{-4+\sqrt{6}}{2}\}\)

2. \(9(1-x)^2=4(2x+1)^2\Leftrightarrow [3(1-x)]^2-[2(2x+1)]^2=0\Leftrightarrow (3-3x-4x-2)(3-3x+4x+2)=0\)

\(\Leftrightarrow (1-7x)(x+5)=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{7}\text{ ou }x=-5\).

(En développant on obtient \(7x^2+34x-5=0\), \(\Delta=1296=36^2\) : mêmes solutions.) \(S=\{-5;\dfrac{1}{7}\}\)

3. Valeurs interdites : 1 et 2. On réduit au même dénominateur \((x-1)(x-2)\) :

\(\dfrac{x(x-2)-(3x-4)}{(x-1)(x-2)}=0\Leftrightarrow x^2-5x+4=0\) avec \(x\neq 1\) et \(x\neq 2\).

\(x^2-5x+4=(x-1)(x-4)\) s’annule en 1 et 4, mais 1 est une valeur interdite. \(S=\{4\}\)

4. Valeur interdite : \(8-4x=0\Leftrightarrow x=2\).

\(2x^2+x-3\) : \(\Delta=1+24=25\), racines \(\dfrac{-1-5}{4}=-\dfrac{3}{2}\) et \(\dfrac{-1+5}{4}=1\), positif à l’extérieur des racines. \(x^2+5\gt 0\) pour tout \(x\). \(8-4x\) est positif pour \(x\lt 2\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{3}{2}\)		\(1\)		\(2\)		\(+\infty\)
\(2x^2+x-3\)		+	0	−	0	+		+
\(x^2+5\)		+		+		+		+
\(8-4x\)		+		+		+	0	−
quotient		+	0	−	0	+	||	−

\(S=]-\infty;-\dfrac{3}{2}]\cup[1;2[\)

Exercice 11 (second degré corrigé)

L’aire d’un triangle rectangle est 429 m², et l’hypoténuse a pour longueur h = 72,5 m.

Trouver le périmètre.

Notons \(L\) et \(l\) les longueurs des deux côtés de l’angle droit, avec \(L\geq\, l\).

L’aire vaut \(\dfrac{L\times l}{2}=429\), donc \(L\times l=858\) et \(l=\dfrac{858}{L}\) (\(L\neq 0\) car l’aire n’est pas nulle).

Théorème de Pythagore : \(L^2+l^2=72{,}5^2=5256{,}25\), donc \(L^2+\dfrac{736164}{L^2}=5256{,}25\).

En multipliant par \(L^2\neq 0\) : \(L^4-5256{,}25L^2+736164=0\). On pose \(X=L^2\) : \(X^2-5256{,}25X+736164=0\).

\(\Delta=5256{,}25^2-4\times 736164=24683508{,}0625=4968{,}25^2\gt 0\).

\(X_1=\dfrac{5256{,}25+4968{,}25}{2}=5112{,}25\) et \(X_2=\dfrac{5256{,}25-4968{,}25}{2}=144\).

Comme \(L\gt 0\) : \(L=\sqrt{5112{,}25}=71{,}5\) ou \(L=\sqrt{144}=12\), et alors \(l=\dfrac{858}{71{,}5}=12\) ou \(l=\dfrac{858}{12}=71{,}5\) : dans les deux cas, les côtés de l’angle droit mesurent 71,5 m et 12 m.

Vérification : \(71{,}5^2+12^2=5112{,}25+144=5256{,}25=72{,}5^2\).

Conclusion : son périmètre est \(P=71{,}5+12+72{,}5=156\) m, soit 156 m.

Exercice 12 :

Pour se rendre d’une ville A à une ville B distantes de 195 km, deux cyclistes partent en même temps.
L’un d’eux, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure de 4 km/h à celle de l’autre, arrive une heure plus tôt.

Quelles sont les vitesses des deux cyclistes ?

Indication : Utiliser le fait que la vitesse moyenne v est \(v=\dfrac{d}{t}\)
avec d la distance parcourue et t le temps écoulé.

Notons \(v\) la vitesse du cycliste le plus lent (en km/h, \(v\gt 0\)) ; l’autre roule à \(v+4\). Les durées sont \(t=\dfrac{195}{v}\) et \(\dfrac{195}{v+4}\), et le plus rapide met une heure de moins :

\(\dfrac{195}{v}-\dfrac{195}{v+4}=1\Leftrightarrow 195(v+4)-195v=v(v+4)\Leftrightarrow v^2+4v-780=0\).

\(\Delta=16+3120=3136=56^2\), d’où \(v=\dfrac{-4+56}{2}=26\) ou \(v=\dfrac{-4-56}{2}=-30\), valeur rejetée car une vitesse est positive.

Vérification : \(\dfrac{195}{26}=7{,}5\) h et \(\dfrac{195}{30}=6{,}5\) h, soit bien une heure d’écart.

Les cyclistes roulent à 26 km/h et à 30 km/h.

Exercice 13 (second degré corrigé)

1. On dispose d’une baguette de bois de 10 cm de long.
Où briser la baguette pour que les morceaux obtenus soient deux côtés consécutifs d’un rectangle de surface 20 cm² ?

On note \(x\) la distance (en cm) entre une extrémité et le point de rupture ; l’autre morceau mesure \(10-x\), avec \(0\lt x\lt 10\).

On doit avoir \(x(10-x)=20\Leftrightarrow x^2-10x+20=0\).

Calculons la valeur du discriminant : \(\Delta=100-80=20\gt 0\), il y a deux racines réelles distinctes.

\(x_1=\dfrac{10+\sqrt{20}}{2}=5+\sqrt{5}\) et \(x_2=\dfrac{10-\sqrt{20}}{2}=5-\sqrt{5}\).

Il faut briser la baguette à \(5-\sqrt{5}\approx 2{,}76\) cm d’une extrémité (ce qui revient à \(5+\sqrt{5}\approx 7{,}24\) cm de l’autre bout).

2. Même question avec un rectangle d’aire 40 cm².

On doit avoir \(x(10-x)=40\Leftrightarrow x^2-10x+40=0\). \(\Delta=100-160=-60\lt 0\) : l’équation n’a pas de solution.

C’est impossible : d’ailleurs \(x(10-x)=25-(x-5)^2\leq\, 25\), l’aire ne peut jamais dépasser 25 cm².

Exercice 14 :

1. \(-2x^2+7x-5\leq\, 0\).

Calculons la valeur du discriminant : \(\Delta=49-4\times (-2)\times (-5)=49-40=9=3^2\gt 0\).

\(x_1=\dfrac{-7+3}{-4}=1\) et \(x_2=\dfrac{-7-3}{-4}=\dfrac{5}{2}\).

\(a=-2\lt 0\) : le trinôme est négatif à l’extérieur des racines. \(S=]-\infty;1]\cup[\dfrac{5}{2};+\infty[\)

2. \((x^2+2x+1)^2\lt 16\Leftrightarrow (x+1)^4-4^2\lt 0\Leftrightarrow ((x+1)^2-4)((x+1)^2+4)\lt 0\).

Comme \((x+1)^2+4\gt 0\), l’inéquation équivaut à \((x+1)^2-4\lt 0\Leftrightarrow (x-1)(x+3)\lt 0\).

Ce trinôme (\(a=1\gt 0\)) est négatif strictement entre ses racines \(-3\) et \(1\). \(S=]-3;1[\)

3. \(\dfrac{3x^2+x+1}{x^2-3x-10}\gt 0\).

Numérateur : \(\Delta=1-12=-11\lt 0\), il est toujours strictement positif. Le quotient a donc le signe du dénominateur.

\(x^2-3x-10=(x-5)(x+2)\), positif à l’extérieur de \(-2\) et \(5\) (valeurs interdites).

\(S=]-\infty;-2[\cup]5;+\infty[\)

Exercice 15 (second degré corrigé)

1. a. \(x^2=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ou \(x=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).

b. \(x^2=\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow x=\sqrt{\dfrac{1}{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) ou \(x=-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).

2. On pose \(X=x^2\) : on est amené à résoudre \(6X^2-5X+1=0\).

\(\Delta=25-24=1\gt 0\) : \(X_1=\dfrac{5+1}{12}=\dfrac{1}{2}\) et \(X_2=\dfrac{5-1}{12}=\dfrac{1}{3}\), deux valeurs positives.

On revient à \(x^2=\dfrac{1}{2}\) ou \(x^2=\dfrac{1}{3}\) : ce sont les équations du 1.

Conclusion : \(S=\{-\dfrac{\sqrt{2}}{2};-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{2}}{2}\}\)

Exercice 16 :

Indication : faire un schéma et exprimer l’aire de la croix comme la somme des aires des deux bandes, moins celle du carré central compté deux fois.

Sur un drapeau rectangulaire de longueur 4 m et de largeur 3 m, on trouve une croix d’épaisseur x m.

Quelle valeur doit-on donner à la largeur de la croix pour que son aire soit égale à la moitié du drapeau ?

On considère une croix formée de deux bandes de largeur \(x\) parallèles aux côtés du drapeau, avec \(0\lt x\lt 3\).

Bande horizontale : \(4x\) ; bande verticale : \(3x\) ; le carré central de côté \(x\) est compté deux fois. Aire de la croix : \(4x+3x-x^2=7x-x^2\).

Aire du drapeau : \(4\times 3=12\) m², dont la moitié vaut 6 m². On résout \(7x-x^2=6\Leftrightarrow x^2-7x+6=0\Leftrightarrow (x-1)(x-6)=0\).

\(x=6\) est impossible (la croix serait plus large que le drapeau). La croix doit avoir une largeur de 1 m.

Vérification : \(7\times 1-1^2=6\) m².

Exercice 17 (second degré corrigé)

1. \(x^2=9\Leftrightarrow x=3\text{ ou }x=-3\). \(S=\{-3;3\}\)

2. \(x^2=-3\) : impossible dans \(\mathbb{R}\), un carré est positif ou nul. \(S=\varnothing\)

3. \((x-5)^2=3\Leftrightarrow (x-5)^2-\sqrt{3}^2=0\Leftrightarrow (x-5-\sqrt{3})(x-5+\sqrt{3})=0\).

C’est une équation produit : \(S=\{5-\sqrt{3};5+\sqrt{3}\}\)

4. \((2x-1)^2+x(1-2x)=4x^2-1\Leftrightarrow (2x-1)^2-x(2x-1)-(2x-1)(2x+1)=0\)

\(\Leftrightarrow (2x-1)[(2x-1)-x-(2x+1)]=0\Leftrightarrow (2x-1)(-x-2)=0\).

C’est une équation produit : \(S=\{-2;\dfrac{1}{2}\}\)

5. \((3x+5)^2-(x+1)^2=0\Leftrightarrow (3x+5-x-1)(3x+5+x+1)=0\Leftrightarrow (2x+4)(4x+6)=0\).

\(S=\{-2;-\dfrac{3}{2}\}\)

6. \((5x-4-3x-7)(5x-4+3x+7)=0\Leftrightarrow (2x-11)(8x+3)=0\).

\(S=\{-\dfrac{3}{8};\dfrac{11}{2}\}\)

Exercice 18 :

Notons \(n\) le côté du plus petit carré (entier naturel). Les côtés sont \(n\), \(n+1\) et \(n+2\).

\(n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=15125\Leftrightarrow 3n^2+6n+5=15125\Leftrightarrow 3n^2+6n-15120=0\Leftrightarrow n^2+2n-5040=0\).

Calculons la valeur du discriminant : \(\Delta=4+4\times 5040=20164=142^2\gt 0\).

\(n_1=\dfrac{-2+142}{2}=70\) et \(n_2=\dfrac{-2-142}{2}=-72\). On cherche un entier positif : \(n=70\).

Vérification : \(70^2+71^2+72^2=4900+5041+5184=15125\).

Oui : les côtés mesurent 70, 71 et 72.

Avec 15 127 : il faudrait \(3n^2+6n+5=15127\), soit \(3n^2+6n-15122=0\). \(\Delta=36+12\times 15122=181500\), qui n’est pas un carré parfait (\(426^2=181476\) et \(427^2=182329\)) : les racines ne sont pas entières.

Autre argument : \(3n^2+6n+5=3(n^2+2n+1)+2\) laisse toujours un reste de 2 dans la division par 3, alors que \(15127=3\times 5042+1\).

Avec 15 127, c’est impossible.

Exercice 19 (second degré corrigé)

D’après la figure, D est sur [AC] avec \(AD=x\) et E est sur [AB] avec \(BE=x\), donc \(AE=18-x\). Comme D appartient à [AC], \(0\leq\, x\leq\, 8\).

Le triangle ADE est rectangle en A : son aire vaut \(\dfrac{AD\times AE}{2}=\dfrac{x(18-x)}{2}\). L’aire de ABC vaut \(\dfrac{18\times 8}{2}=72\) m², dont la moitié est 36 m².

\(\dfrac{x(18-x)}{2}=36\Leftrightarrow 18x-x^2=72\Leftrightarrow x^2-18x+72=0\).

Calculons la valeur du discriminant : \(\Delta=18^2-4\times 72=324-288=36=6^2\gt 0\).

\(x_1=\dfrac{18-6}{2}=6\) et \(x_2=\dfrac{18+6}{2}=12\). Or \(x\leq\, 8\), donc seule la valeur 6 convient.

Conclusion : il faut \(x=6\) m. Vérification : \(\dfrac{6\times 12}{2}=36\) m².

Exercice 20 :

a. \(7x+3-5(x+6)=4x-1\Leftrightarrow 7x+3-5x-30=4x-1\Leftrightarrow 2x-27=4x-1\Leftrightarrow -2x=26\).

\(x=-13\)

b. \(2(7x-1)\lt 4x-3\Leftrightarrow 14x-2\lt 4x-3\Leftrightarrow 10x\lt -1\Leftrightarrow x\lt -\dfrac{1}{10}\).

\(S=]-\infty;-\dfrac{1}{10}[\)

c. \((x-1)(2-x)(x-3)(4-x)\leq\, 0\). On étudie le signe de chaque facteur :

\(x\)	\(-\infty\)		\(1\)		\(2\)		\(3\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(x-1\)		−	0	+		+		+		+
\(2-x\)		+		+	0	−		−		−
\(x-3\)		−		−		−	0	+		+
\(4-x\)		+		+		+		+	0	−
produit		+	0	−	0	+	0	−	0	+

\(S=[1;2]\cup[3;4]\). La courbe ci-dessous confirme : elle est sous l’axe des abscisses entre 1 et 2 et entre 3 et 4.

Exercice 21 (second degré corrigé)

1. \(\dfrac{2x-5}{x-1}=\dfrac{x-1}{x+1}\), avec \(x\neq 1\) et \(x\neq -1\).

Utilisons le produit en croix : \((2x-5)(x+1)=(x-1)^2\Leftrightarrow 2x^2-3x-5=x^2-2x+1\Leftrightarrow x^2-x-6=0\).

Une racine évidente est \(-2\) ; le produit des racines vaut \(-6\), l’autre est 3 : \((x+2)(x-3)=0\).

Aucune n’est interdite. \(S=\{-2;3\}\)

2. \(\dfrac{x^2-x+1}{x+2}=2x+3\), avec \(x\neq -2\).

Utilisons le produit en croix : \(x^2-x+1=(2x+3)(x+2)=2x^2+7x+6\Leftrightarrow -x^2-8x-5=0\Leftrightarrow x^2+8x+5=0\).

Calculons le discriminant : \(\Delta=8^2-4\times 1\times 5=44\gt 0\), et \(\sqrt{44}=2\sqrt{11}\).

\(x_1=\dfrac{-8+2\sqrt{11}}{2}=-4+\sqrt{11}\) et \(x_2=-4-\sqrt{11}\), différents de \(-2\).

\(S=\{-4-\sqrt{11};-4+\sqrt{11}\}\)

Exercice 22 :

Quel était le prix d’essence à la première station et combien de litres en avait-on pris ?

Notons \(x\) le prix d’un litre d’essence dans la première station, en euros (\(x\gt 0{,}1\)).

\(\dfrac{40}{x}\) représente le nombre de litres achetés dans la première station. Dans la seconde, au prix \(x-0{,}1\), on aurait eu \(\dfrac{40}{x}+5\) litres pour 40 € :

\((\dfrac{40}{x}+5)(x-0{,}1)=40\Leftrightarrow (40+5x)(x-0{,}1)=40x\Leftrightarrow 40x-4+5x^2-0{,}5x=40x\)

\(\Leftrightarrow 5x^2-0{,}5x-4=0\).

Calculons la valeur du discriminant : \(\Delta=(-0{,}5)^2-4\times 5\times (-4)=0{,}25+80=80{,}25\gt 0\).

\(x_1=\dfrac{0{,}5+\sqrt{80{,}25}}{10}\approx 0{,}946\) et \(x_2=\dfrac{0{,}5-\sqrt{80{,}25}}{10}\approx -0{,}846\), rejeté car un prix est positif.

Conclusion : le litre coûtait environ 0,95 € dans la première station (valeur exacte \(\dfrac{1+\sqrt{321}}{20}\) €).

On y a pris \(\dfrac{40}{x}\approx 42{,}3\) litres, soit environ 42 litres (et environ 47 litres dans la seconde station).

Exercice 23 (second degré corrigé)

Trouver deux nombres dont la somme est égale à 57 et le produit égal à 540.

Deux nombres de somme \(S\) et de produit \(P\) sont les solutions de l’équation \(X^2-SX+P=0\), ici \(X^2-57X+540=0\).

Calculons la valeur du discriminant : \(\Delta=(-57)^2-4\times 1\times 540=3249-2160=1089=33^2\gt 0\).

\(X_1=\dfrac{57+33}{2}=45\) et \(X_2=\dfrac{57-33}{2}=12\).

Conclusion : les deux nombres recherchés sont 45 et 12 (\(45+12=57\) et \(45\times 12=540\)).

Exercice 24 :

Résoudre l’inéquation suivante : \(-x^2+9x+22\gt 0\).

Calculons la valeur du discriminant : \(\Delta=81+4\times 22=169=13^2\gt 0\).

\(x_1=\dfrac{-9+13}{-2}=-2\) et \(x_2=\dfrac{-9-13}{-2}=11\).

Le coefficient \(a=-1\lt 0\) : le trinôme est positif entre ses racines, \(S=]-2;11[\). Graphiquement, c’est l’ensemble des abscisses des points de la parabole situés au-dessus de l’axe, entre B et A.

Résoudre les équations suivantes :

1) \(4x^2-x-3=0\). \(\Delta=(-1)^2-4\times 4\times (-3)=1+48=49\gt 0\).

\(x_1=\dfrac{1+7}{8}=1\) et \(x_2=\dfrac{1-7}{8}=-\dfrac{3}{4}\). \(S=\{-\dfrac{3}{4};1\}\)

2) \((t+1)^2+3=0\Leftrightarrow (t+1)^2=-3\). Un carré est toujours positif ou nul donc cette équation n’a pas de solution dans \(\mathbb{R}\).

3) \(2(2x+1)^2-(2x+1)-6=0\Leftrightarrow 8x^2+8x+2-2x-1-6=0\Leftrightarrow 8x^2+6x-5=0\).

\(\Delta=6^2-4\times 8\times (-5)=36+160=196=14^2\gt 0\) : \(x_1=\dfrac{-6+14}{16}=\dfrac{1}{2}\) et \(x_2=\dfrac{-6-14}{16}=-\dfrac{5}{4}\).

\(S=\{-\dfrac{5}{4};\dfrac{1}{2}\}\) (on pouvait aussi poser \(X=2x+1\) : \(2X^2-X-6=0\), \(X=2\) ou \(X=-\dfrac{3}{2}\)).

4) \(x^2+10^{50}+25\times 10^{98}=0\Leftrightarrow x^2=-(10^{50}+25\times 10^{98})\). Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul, donc cette équation n’a pas de solution dans \(\mathbb{R}\).

Exercice 25 (second degré corrigé)

1. \(f(x)=-x^2+6x-8\) : \(a=-1\), \(b=6\), \(c=-8\). \(\Delta=6^2-4\times (-1)\times (-8)=36-32=4\gt 0\).

\(x_1=\dfrac{-6+2}{-2}=2\) et \(x_2=\dfrac{-6-2}{-2}=4\).

Les racines de \(f\) sont 2 et 4, et \(f(x)=-(x-2)(x-4)\).

2. Avec l’axe des abscisses : les points d’ordonnée 0, soit (2 ; 0) et (4 ; 0).

Avec l’axe des ordonnées : \(f(0)=-8\), soit le point (0 ; −8).

3. On étudie le signe de la différence \(f(x)-g(x)=-x^2+6x-8+x-3=-x^2+7x-11\).

\(\Delta=49-44=5\gt 0\) : racines \(x_1=\dfrac{7-\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}38\) et \(x_2=\dfrac{7+\sqrt{5}}{2}\approx 4{,}62\). Comme \(a=-1\lt 0\), la différence est positive entre les racines.

• \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\) sur \(]\dfrac{7-\sqrt{5}}{2};\dfrac{7+\sqrt{5}}{2}[\) ;
• \(C_f\) est en dessous de \(C_g\) sur \(]-\infty;\dfrac{7-\sqrt{5}}{2}[\) et sur \(]\dfrac{7+\sqrt{5}}{2};+\infty[\) ;
• les courbes se coupent aux points d’abscisses \(\dfrac{7-\sqrt{5}}{2}\) et \(\dfrac{7+\sqrt{5}}{2}\).

Exercice 26 :

1. \(P(\dfrac{\sqrt{6}}{4})=4\times \dfrac{6}{16}-(\sqrt{6}+4\sqrt{3})\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}+\sqrt{18}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{6}{4}-\sqrt{18}+\sqrt{18}=0\)

car \(4\sqrt{3}\times \dfrac{\sqrt{6}}{4}=\sqrt{18}\). \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\) est bien une racine de P.

2. Le produit des racines vaut \(\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt{18}}{4}=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\). Si \(x_2\) est l’autre racine : \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\times x_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}\), donc \(x_2=\dfrac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\).

Autre méthode : \(P(x)=4(x-\dfrac{\sqrt{6}}{4})(x-b)=4x^2-(4b+\sqrt{6})x+\sqrt{6}\,b\) ; par identification \(4b+\sqrt{6}=\sqrt{6}+4\sqrt{3}\), donc \(b=\sqrt{3}\) (et \(\sqrt{6}\times \sqrt{3}=\sqrt{18}\)).

Conclusion : l’autre racine est \(\sqrt{3}\) et \(P(x)=4(x-\dfrac{\sqrt{6}}{4})(x-\sqrt{3})\).

Exercice 27 (second degré corrigé)

a) \(x^2=9\) : \(9\gt 0\), il y a deux solutions. \(x=3\) ou \(x=-3\).

b) \(x^2=-3\) : \(-3\lt 0\), il n’y a aucune solution car le carré d’un nombre est positif ou nul.

c) \((x-5)^2=3\) : \(3\gt 0\), il y a donc deux solutions : \(x-5=\sqrt{3}\) ou \(x-5=-\sqrt{3}\), \(x=5+\sqrt{3}\) ou \(x=5-\sqrt{3}\).

d) \((3x+5)^2=(x+1)^2\Leftrightarrow (3x+5+x+1)(3x+5-x-1)=0\Leftrightarrow (4x+6)(2x+4)=0\).

\(x=-\dfrac{3}{2}\) ou \(x=-2\).

e) \((5x-4)^2-(3x+7)^2=0\Leftrightarrow (5x-4+3x+7)(5x-4-3x-7)=0\Leftrightarrow (8x+3)(2x-11)=0\).

\(x=-\dfrac{3}{8}\) ou \(x=\dfrac{11}{2}\).

Exercice 28 :

Sur la figure, D est sur [AC] avec \(AD=x\), et E est sur [AB] avec \(BE=x\), donc \(AE=AB-BE=18-x\). Comme D appartient à [AC], \(0\leq\, x\leq\, 8\).

L’aire du triangle ABC, rectangle en A, est \(\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{18\times 8}{2}=72\) m² ; on veut que l’aire de ADE soit 36 m².

ADE est rectangle en A : \(\dfrac{AD\times AE}{2}=36\Leftrightarrow x(18-x)=72\Leftrightarrow x^2-18x+72=0\).

\(\Delta=324-288=36\gt 0\) : \(x_1=\dfrac{18-6}{2}=6\) et \(x_2=\dfrac{18+6}{2}=12\).

La valeur 12 est impossible car \(x\leq\, 8\). Il faut \(x=6\) m : alors \(AD=6\), \(AE=12\) et l’aire de ADE vaut \(\dfrac{6\times 12}{2}=36\) m².

Exercice 29 (second degré corrigé)

1) a) \(\Delta=1^2-4\times 2\times 3=-23\lt 0\) : l’équation n’a pas de solution réelle.

b) \(\Delta=6^2-4\times 9\times 1=0\) : une solution unique \(x=\dfrac{-6}{2\times 9}=-\dfrac{1}{3}\) (en effet \(9x^2+6x+1=(3x+1)^2\)). \(S=\{-\dfrac{1}{3}\}\)

c) \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\). \(S=\{-1;2\}\)

2) \(\Delta=(-21)^2-4\times 6\times 9=441-216=225\gt 0\) : l’équation \(f(x)=0\) a deux solutions réelles, \(x_1=\dfrac{21+15}{12}=3\) et \(x_2=\dfrac{21-15}{12}=\dfrac{1}{2}\).

Exercice 30 :

1) a) \(\Delta=2^2-4\times (-1)\times (-3)=4-12=-8\lt 0\) : \(f\) n’a pas de racine.

b) \(\Delta=1^2-4\times 1\times \dfrac{1}{4}=0\) : une racine double \(x=-\dfrac{1}{2}\) (\(g(x)=(x+\dfrac{1}{2})^2\)).

c) \(\Delta=2^2-4\times 2\times (-12)=4+96=100\gt 0\) : \(x_1=\dfrac{-2+10}{4}=2\) et \(x_2=\dfrac{-2-10}{4}=-3\). Racines : \(-3\) et \(2\).

2) a) \(\Delta=(-5)^2-4\times 4\times 10=25-160=-135\lt 0\) : pas de solution réelle.

b) \(\Delta=(-3)^2-4\times 3\times (-60)=9+720=729=27^2\gt 0\) : \(x_1=\dfrac{3+27}{6}=5\) et \(x_2=\dfrac{3-27}{6}=-4\). \(S=\{-4;5\}\)

c) \(\Delta=(-24)^2-4\times 72\times 2=576-576=0\) : une solution unique \(x=\dfrac{24}{144}=\dfrac{1}{6}\) (\(72x^2-24x+2=2(6x-1)^2\)).

Exercice 31 (second degré corrigé)

1. \(f\) est un polynôme de degré 2 avec \(a=-7\), \(b=-\dfrac{49}{2}\), \(c=14\).

\(\Delta=(-\dfrac{49}{2})^2-4\times (-7)\times 14=\dfrac{2401}{4}+392=\dfrac{3969}{4}\gt 0\) : \(f\) a deux racines réelles distinctes.

2. \(f(-4)=-7\times 16-\dfrac{49}{2}\times (-4)+14=-112+98+14=0\) : \(-4\) est bien une racine de \(f\).

3. Produit des racines : \(x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{14}{-7}=-2\), donc \(-4\times x_2=-2\) et \(x_2=\dfrac{1}{2}\).

Contrôle avec la somme : \(-\dfrac{b}{a}=\dfrac{49/2}{-7}=-\dfrac{7}{2}\) et \(-4+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{7}{2}\). L’autre racine est \(\dfrac{1}{2}\).

Exercice 32 :

a) Oui : \(f(x)=ax^2+bx+c\) avec \(a=1\neq 0\), \(b=2\) et \(c=-\sqrt{2}\).

b) Non : le terme \(\dfrac{1}{x}\) n’est pas un terme de polynôme (et \(g\) n’est pas définie en 0).

c) Non : \(h\) est une fonction affine, polynôme de degré 1 (le coefficient de \(x^2\) est nul).

Exercice 33 :

1) \(-3(x-4)^2+7=-3(x^2-8x+16)+7=-3x^2+24x-48+7=-3x^2+24x-41\).

2) On reconnaît \(f(x)\). La forme canonique de \(f\) est \(f(x)=-3(x-4)^2+7\) : le sommet de la parabole est S(4 ; 7), l’axe de symétrie est la droite d’équation \(x=4\) et, comme \(a=-3\lt 0\), la parabole est tournée vers le bas.

Exercice 34 :

a) \(x^2-6x+5=(x-3)^2-9+5\), \(f(x)=(x-3)^2-4\) : sommet (3 ; −4), axe \(x=3\).

b) \(x^2+5x+4=(x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{25}{4}+4\), \(f(x)=(x+\dfrac{5}{2})^2-\dfrac{9}{4}\) : sommet \((-\dfrac{5}{2};-\dfrac{9}{4})\), axe \(x=-\dfrac{5}{2}\).

Exercice 35 :

a) Le point le plus haut de la courbe est le sommet (2 ; 1). L’axe de symétrie est la droite d’équation \(x=2\). La parabole est tournée vers le bas : \(a\lt 0\).

b) La courbe coupe l’axe des abscisses en \(-3\) et \(1\) ; par symétrie, l’axe passe par le milieu : \(\dfrac{-3+1}{2}=-1\). L’axe de symétrie est la droite d’équation \(x=-1\).

La courbe passe par (−3 ; 0), (1 ; 0) et, par lecture, (2 ; 2,5) : \(f(x)=a(x+3)(x-1)\) avec \(a\times 5\times 1=2{,}5\), soit \(a=\dfrac{1}{2}\). Alors \(f(-1)=\dfrac{1}{2}\times 2\times (-2)=-2\) : le sommet est (−1 ; −2) (il sort du cadre de la figure). La parabole est tournée vers le haut : \(a\gt 0\).

Exercice 36 :

Pour \(y=ax^2+bx+c\), l’axe de symétrie est la droite d’équation \(x=-\dfrac{b}{2a}\) et le sommet a pour ordonnée la valeur de \(y\) en cette abscisse.

a) \(-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{1}{2}\) et \((-\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{4}\). Axe \(x=-\dfrac{1}{2}\), sommet \((-\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{4})\).

b) \(-\dfrac{-4}{4}=1\) et \(2-4+5=3\). Axe \(x=1\), sommet (1 ; 3).

c) \(-\dfrac{6}{2}=-3\) et \(9-18-3=-12\). Axe \(x=-3\), sommet (−3 ; −12).

d) \(-\dfrac{6}{-8}=\dfrac{3}{4}\) et \(-4\times \dfrac{9}{16}+6\times \dfrac{3}{4}-2=-\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{2}-2=\dfrac{1}{4}\). Axe \(x=\dfrac{3}{4}\), sommet \((\dfrac{3}{4};\dfrac{1}{4})\).

Exercice 37 :

a) \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) : \(x^2-121=(x-11)(x+11)\).

b) Même identité avec \(3=\sqrt{3}^2\) : \(x^2-3=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})\).

c) \(a^2-2ab+b^2=(a-b)^2\) avec \(a=5x\) et \(b=2\) : \(25x^2-20x+4=(5x)^2-2\times 5x\times 2+2^2\). \(f(x)=(5x-2)^2\).

d) \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\) avec \(a=3x\) et \(b=4\) : \(9x^2+24x+16=(3x)^2+2\times 3x\times 4+4^2\). \(f(x)=(3x+4)^2\).

Exercice 38 :

On applique \(\Delta=b^2-4ac\).

a) \(\Delta=4^2-4\times 1\times 5=16-20=\mathbf{-4}\).

b) \(\Delta=(-1)^2-4\times 2\times (-6)=1+48=\mathbf{49}\).

c) \(\Delta=(-4)^2-4\times (-2)\times (-7)=16-56=\mathbf{-40}\).

d) \(\Delta=2^2-4\times (-1)\times 3=4+12=\mathbf{16}\).

Exercice 39 :

a) \(3x^2-9x-12=3(x^2-3x-4)=3(x-4)(x+1)\). \(S=\{-1;4\}\)

b) \(\Delta=5^2-4\times 2\times 7=25-56=-31\lt 0\) : pas de solution réelle, \(S=\varnothing\).

c) \(\Delta=(-2)^2-4\times 2\times \dfrac{1}{2}=4-4=0\) : solution unique \(x=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\) (\(2x^2-2x+\dfrac{1}{2}=2(x-\dfrac{1}{2})^2\)). \(S=\{\dfrac{1}{2}\}\)

Exercice 40 :

a) \(x^2-2x=x(x-2)\gt 0\). Le produit est positif quand les deux facteurs ont le même signe, donc à l’extérieur de 0 et 2. \(S=]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\)

b) \(x^2-81=(x-9)(x+9)\leq\, 0\) : le produit est négatif ou nul entre les racines. \(S=[-9;9]\)

c) \((x-1{,}5)(x+2{,}8)\gt 0\) : racines \(-2{,}8\) et \(1{,}5\), produit positif à l’extérieur des racines. \(S=]-\infty;-2{,}8[\cup]1{,}5;+\infty[\)

d) Pour tout réel \(x\), \(x^2\geq\, 0\) donc \(x^2+20\geq\, 20\gt 0\). \(S=\varnothing\)

Exercice 41 :

On lit sur la figure : A(0 ; 1), B(1 ; −1) et C(4 ; 2).

1. A est sur la courbe : \(f(0)=1\), or \(f(0)=c\). \(c=1\).

2. \(f(1)=-1\) donne \(a+b+1=-1\), soit \(a+b=-2\). \(f(4)=2\) donne \(16a+4b+1=2\), soit \(16a+4b=1\).

En retranchant \(4(a+b)=-8\) à la seconde équation : \(12a=9\), donc \(a=\dfrac{3}{4}\), puis \(b=-2-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{11}{4}\). \(a=\dfrac{3}{4}\) et \(b=-\dfrac{11}{4}\).

3. \(f(x)=\dfrac{3}{4}x^2-\dfrac{11}{4}x+1\). Vérification : \(f(4)=12-11+1=2\).

Exercice 42 :

Mêmes trinômes qu’à l’exercice 38.

a) \(\Delta=16-20=\mathbf{-4}\) ; b) \(\Delta=1+48=\mathbf{49}\) ; c) \(\Delta=16-56=\mathbf{-40}\) ; d) \(\Delta=4+12=\mathbf{16}\).

Exercice 43 :

a) \(\Delta=3^2-4\times 1\times 2=1\gt 0\) : deux solutions (\(-1\) et \(-2\)).

b) \(\Delta=(-5)^2-4\times 2\times 7=-31\lt 0\) : aucune solution.

c) \(\Delta=2^2-4\times (-\dfrac{1}{3})\times (-3)=4-4=0\) : une seule solution (\(x=3\)).

d) \(\Delta=7^2-4\times 2\times 11=49-88=-39\lt 0\) : aucune solution.

Exercice 44 :

Le signe de \(\Delta\) donne le nombre de points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

a) La parabole est tournée vers le bas et son sommet (1 ; −1) est sous l’axe des abscisses : elle ne coupe pas cet axe. \(\Delta\lt 0\).

b) Le sommet (1 ; 0) est sur l’axe des abscisses : la parabole touche l’axe en un seul point. \(\Delta=0\).

Exercice 45 :

a) \(f(x)=2x^2-4x-16=2(x^2-2x-8)=2(x-4)(x+2)\) : racines \(-2\) et 4, \(a=2\gt 0\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(4\)		\(+\infty\)
\(f(x)\)		+	0	−	0	+

b) \(g(x)=9x^2+24x+16=(3x+4)^2\) : racine double \(-\dfrac{4}{3}\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(-\dfrac{4}{3}\)		\(+\infty\)
\(g(x)\)		+	0	+

c) \(h(x)=2x^2-5x+6\) : \(\Delta=25-48=-23\lt 0\), pas de racine ; \(h(x)\) est du signe de \(a=2\).

\(x\)	\(-\infty\)		\(+\infty\)
\(h(x)\)		+

Exercice 46 :

Ce sont les inéquations de l’exercice 40.

a) \(x(x-2)\gt 0\) : les racines sont 0 et 2 et le produit est positif à l’extérieur des racines. \(S=]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\)

b) \((x-9)(x+9)\leq\, 0\) : négatif ou nul entre les racines \(-9\) et 9. \(S=[-9;9]\)

c) \((x-1{,}5)(x+2{,}8)\gt 0\) : positif à l’extérieur des racines \(-2{,}8\) et 1,5. \(S=]-\infty;-2{,}8[\cup]1{,}5;+\infty[\)

d) \(x^2+20\geq\, 20\gt 0\) pour tout réel \(x\) : l’inéquation n’a aucune solution. \(S=\varnothing\)

Exercice 47 :

a) \(3x^2-4x+\dfrac{4}{3}=3(x^2-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{9})=3(x-\dfrac{2}{3})^2\) (\(\Delta=16-16=0\)). Ce trinôme est positif ou nul et ne s’annule qu’en \(\dfrac{2}{3}\). \(S=\{\dfrac{2}{3}\}\)

b) \(\Delta=(-50{,}5)^2-4\times 5\times 5=2550{,}25-100=2450{,}25=49{,}5^2\gt 0\).

\(x_1=\dfrac{50{,}5-49{,}5}{10}=\dfrac{1}{10}\) et \(x_2=\dfrac{50{,}5+49{,}5}{10}=10\). \(a=5\gt 0\) : négatif entre les racines. \(S=]\dfrac{1}{10};10[\)

c) \(\Delta=1-4=-3\lt 0\) : le trinôme est toujours du signe de \(a=1\), strictement positif. \(S=\mathbb{R}\)

d) \(\Delta=9-48=-39\lt 0\) : le trinôme est toujours du signe de \(a=-2\), strictement négatif. \(S=\mathbb{R}\)

Seconde série.

a) \(-6x^2+15x-4\leq\, 2\Leftrightarrow -6x^2+15x-6\leq\, 0\Leftrightarrow 2x^2-5x+2\geq\, 0\) (division par \(-3\), on change le sens).

\(\Delta=25-16=9\) : racines \(\dfrac{5-3}{4}=\dfrac{1}{2}\) et \(\dfrac{5+3}{4}=2\), positif à l’extérieur. \(S=]-\infty;\dfrac{1}{2}]\cup[2;+\infty[\)

b) \(-7x^2+4x-9\gt -8\Leftrightarrow -7x^2+4x-1\gt 0\). \(\Delta=16-28=-12\lt 0\) : le trinôme est toujours strictement négatif (signe de \(a=-7\)). \(S=\varnothing\)

Exercice 48 :

1. \(x^2-6x=(x-3)^2-9\), donc \(f(x)=(x-3)^2-9-27\). \(f(x)=(x-3)^2-36\) (sommet (3 ; −36)).

2. \(f(x)=(x-3)^2-6^2=(x-3-6)(x-3+6)\). \(f(x)=(x-9)(x+3)\).

3. a) Forme factorisée : \((x-9)(x+3)=0\). \(S=\{-3;9\}\)

b) Forme développée : \(x^2-6x-27=-27\Leftrightarrow x^2-6x=0\Leftrightarrow x(x-6)=0\). \(S=\{0;6\}\)

c) Forme canonique : \((x-3)^2-36=-36\Leftrightarrow (x-3)^2=0\). \(S=\{3\}\)

4. a) \(g(1)=2\times 1^2-\dfrac{3}{2}\times 1-\dfrac{1}{2}=2-\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=0\) : 1 est bien racine de \(g\).

b) Produit des racines : \(x_1\times x_2=\dfrac{c}{a}=\dfrac{-1/2}{2}=-\dfrac{1}{4}\). Avec \(x_1=1\) : \(x_2=-\dfrac{1}{4}\). (Contrôle : \(1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}=-\dfrac{b}{a}\).)

5. \(f(x)\lt g(x)\Leftrightarrow x^2-6x-27\lt 2x^2-\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow 0\lt x^2+\dfrac{9}{2}x+\dfrac{53}{2}\).

\(\Delta=\dfrac{81}{4}-4\times \dfrac{53}{2}=\dfrac{81}{4}-106=-\dfrac{343}{4}\lt 0\) : ce trinôme est toujours strictement positif (signe de \(a=1\)).

\(S=\mathbb{R}\) : pour tout réel \(x\), \(f(x)\lt g(x)\).

Second degré corrigé : nos conseils pour progresser

D’abord, cherche chaque exercice seul, sur une feuille de brouillon. Ensuite, compare ta démarche avec la correction, étape par étape. De cette façon, tu comprends d’où vient chaque erreur. De plus, un travail régulier sur second degré corrigé vaut mieux qu’une longue séance.

Par exemple, note sur une fiche les pièges rencontrés. Enfin, si tu veux approfondir, consulte la page Équation du second degré sur Wikipédia. Également, tu peux continuer avec suites : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.