Corrigés des exercices de maths en 1ère
Le corrigé des exercices de maths en 1ère sur les équations et les inéquations du second degré. Résolution du delta : factorisation et recherche de signe du trinôme.

Exercice 1 :
a. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

b. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

c. Poser mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

d. mimetex.cgi? P_4(x)=4x^2-12x+9=(2x-3-\sqrt{6})(2x-3+\sqrt{6}) Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

e. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
Il fait effectuer un raisonnement par disjonction des cas :
Si mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
Si mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 2 :
a. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

b. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

c. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

e. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
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Exercice 3 :
1. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
par identification a =2 et b= 1 .

2. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
par identification a=4 et en résolvant l’équation mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
, nous obtenons b=19.

Exercice 4 :
a. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

b. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

c. Ensemble vide.

d. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

e. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 5 :
a. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .
f est définie mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
donc mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

b. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
f est définie mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .

Exercice 6 :

1.      mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

2.    mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  .

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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3.  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Les racines sont :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : L’ensemble solution est mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .

Exercice 7 :

Pour résoudre cette inéquation, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Trouver les valeurs pour lesquelles le numérateur est égal à zéro : mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le premier facteur est égal à zéro si mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
Réarrangeons l’équation :
mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
Nous pouvons diviser toute l’équation par -2 :
x^2 – 3x – 4 = 0
En factorisant, nous obtenons :
(x – 4)(x + 1) = 0
Cela donne les solutions : x = 4 et x = -1

Le deuxième facteur est égal à zéro si 3 – x = 0
Cela donne la solution x = 3

2. Trouver les valeurs pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro : 4x^2 – 12x + 9 = 0

Pour résoudre cette équation quadratique, nous pouvons utiliser la formule quadratique ou la factorisation.
En utilisant la factorisation, nous obtenons :
mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
Cela donne la solution x = 3/2

Ainsi, les valeurs critiques de x sont x = -1, x = 3/2, x = 3 et x = 4.

3. Construire un tableau de signes en utilisant les valeurs critiques :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline (-\infty,-1) (-1,\frac{3}{2}) (\frac{3}{2},3) (3,4) (4,+\infty) \\ \hline 6x+8-2x^2 + + + – – \\ \hline 3-x – – + + + \\ \hline 4x^2-12x+9 + – + + + \\ \hline \frac{(6x+8-2x^2)(3-x)}{4x^2-12x+9} – + – + – \\ \hline \end{array}

4. Identifier les intervalles pour lesquels l’expression est positive ou nulle.

L’expression est positive ou nulle sur les intervalles mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. et (3, 4].

Donc, la solution de l’inéquation est l’union de ces deux intervalles :

2[\,\cup\,[3,\,4] Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 8 :

1. Pour trouver une fonction polynôme du second degré ayant 1 et 4 comme racines, nous utilisons la forme factorisée du polynôme :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Si nous voulons que la courbe représentative de ce polynôme passe par le point A(-1, 1), nous substituons les coordonnées du point dans le polynôme :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Cependant, nous voyons que P(-1) ne correspond pas à la valeur y = 1 donnée par le point A. Par conséquent, il n’existe pas de fonction polynôme du second degré ayant 1 et 4 comme racines et passant par le point A(-1, 1).

2. Nous devons montrer que pour tout réel a, l’équation mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. a deux solutions réelles distinctes.

Pour cela, nous pouvons utiliser le discriminant de l’équation quadratique. Le discriminant est défini comme mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., où a, b et c sont les coefficients de l’équation.

Dans ce cas, a = 1, b = -a et c = 1.

Donc, le discriminant est mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Pour que l’équation ait deux solutions réelles distinctes, le discriminant doit être strictement positif : mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Cela implique que mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., donc |a| > 2.

Donc, pour tout réel a dont la valeur absolue est supérieure à 2 (|a| > 2), l’équation x^2 = ax + 1 admet deux solutions réelles distinctes.

3. Pour que l’équation mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ait une unique solution, son discriminant doit être égal à zéro : b^2 – 4ac = 0.

Dans ce cas, mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. et c = (m + 3).

Donc, le discriminant est :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous pouvons simplifier cette équation en développant les termes :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Divisons par 32 pour simplifier l’équation :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Cette équation peut être factorisée comme mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Donc, les valeurs de m pour lesquelles l’équation (E) a une unique solution sont m = 1 et m = -1.

Pour calculer la solution lorsque m = 1, nous substituons m dans l’équation :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous pouvons diviser toute l’équation par 4 pour simplifier :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Cette équation peut être factorisée comme mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

La solution unique est donc x = -1.

Exercice 9 :

Pour résoudre cette problématique, nous allons suivre les étapes suivantes :

1. Pour exprimer en fonction de x l’aire de la partie coloriée, on peut considérer deux parties distinctes : la bande coloriée et le carré central.

La bande coloriée a une largeur x cm et une longueur égale à la longueur du carré, c’est-à-dire 10 cm. Donc, l’aire de la bande est de mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Le carré central a un côté de longueur x cm, donc son aire est de mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

L’aire totale de la partie coloriée, notée A(x), est donc la somme de ces deux aires : mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. cm².

2. Pour trouver les valeurs de x pour lesquelles l’aire coloriée est égale à l’aire de la partie blanche, nous devons considérer que l’aire du carré total est de mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

L’aire de la partie blanche est donc égale à l’aire totale moins l’aire de la partie coloriée : 100 cm² – A(x).

Nous devons donc résoudre l’équation suivante :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Réarrangeons cette équation :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

On peut résoudre cette équation quadratique en utilisant la formule quadratique ou en factorisant. Factorisons cette équation :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Cela donne deux solutions possibles : x = -20 ou x = 10.

Cependant, une valeur négative pour x n’a pas de sens dans ce problème, puisque x représente une longueur. Donc, la seule valeur valide pour x est x = 10.

Par conséquent, pour x = 10 cm, l’aire coloriée est égale à l’aire de la partie blanche.

Exercice 10 :

1. Pour résoudre l’équation mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., nous pouvons utiliser la méthode du discriminant :

Le discriminant Δ est donné par mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., où a = -2, b = -8 et c =
-5.

Calculons le discriminant : mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Puisque le discriminant est positif (Δ > 0), cela signifie que l’équation mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. admet deux solutions réelles distinctes.

Nous pouvons utiliser la formule quadratique pour trouver les solutions :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Simplifions :

x = (8 ± 2√6) / -4

x = (4 ± √6) / -2

Les solutions de cette équation sont donc x = -(4 + √6) / 2 et x = -(4 – √6) / 2.

2. Pour résoudre l’équation 9(1-x)^2 = 4(2x + 1)^2, nous devons développer les termes et simplifier l’équation :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Réarrangeons cette équation :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous pouvons essayer de factoriser cette équation pour trouver les solutions, mais dans ce cas, cela ne semble pas possible.

Nous pouvons utiliser la formule quadratique pour résoudre cette équation :

x = (-b ± √Δ) / (2a)

a = 25, b = -34 et c = 5.

Calculons le discriminant : mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Le discriminant est positif, donc l’équation a deux solutions réelles distinctes.

Les solutions de cette équation sont donc :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Simplifions :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Finalement, les solutions de l’équation sont mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

3. Pour résoudre l’équation fractionnelle, nous devons trouver un dénominateur commun et simplifier l’équation :

(x-1)(x-2))\,=\,0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Pour avoir un dénominateur commun, nous multiplions (x-1)) Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. par (x-2) et(x-1)(x-2)) Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. par (x-1) :

(x-1)(x-2)]\,=\,0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Simplifions l’équation :

\,(x-1)(x-2)\,=\,0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous pouvons maintenant factoriser le numérateur de l’équation pour résoudre :

\,(x-1)(x-2)\,=\,0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Maintenant, nous pouvons simplifier et trouver les solutions :

\,(x-2)\,=\,0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le numérateur doit être égal à zéro pour que l’équation soit satisfaite :

x – 4 = 0

x = 4

La solution de l’équation est donc x = 4.

4. Pour résoudre l’inéquation mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., nous devons trouver les valeurs de x qui satisfont cette inégalité.

Pour cela, nous devons considérer les valeurs de x pour lesquelles l’expression est positive ou nulle. Nous devons donc trouver les zéros et les points de discontinuité de l’expression.

Tout d’abord, nous devons prendre en compte que le dénominateur ne peut pas être égal à zéro : 8 – 4x ≠ 0.

Cela signifie que x ≠ 2.

Ensuite, nous devons trouver les zéros de l’expression. Nous avons :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous pouvons résoudre cette équation en utilisant la formule quadratique :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

a = 2, b = 1 et c = -3.

Calculons le discriminant : mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Le discriminant est positif, nous avons donc deux solutions réelles distinctes.

Les solutions de cette équation sont donc :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Simplifions :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

2 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ou 4\,=\,1 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Maintenant, nous pouvons dresser un tableau de signes pour trouver les intervalles de x qui satisferont l’inégalité :

tableau-signes-1 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Donc, les solutions de l’inéquation sont les intervalles x ∈ (-∞, -3/2) ∪ (1, 2).

L’expression est positive ou nulle pour ces valeurs de x.

Exercice 11 :
L’aire d’un triangle rectangle est 429 m², et l’hypoténuse a pour longueur h = 72,5 m.

Trouver le périmètre.

Notons mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. la longueur du triangle rectangle et mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. sa largeur.

Nous avons mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. donc mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ainsi mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Remarque :  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. car l’aire du triangle rectangle est non null, donc nous pouvons diviser par L.

Appliquons le théorème de Pythagore à ce triangle rectangle :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Multiplions cette équation par mimetex.cgi?L^2\neq0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Posons mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. , il y a donc deux racines distinctes dans mimetex.cgi?\mathbb{R} Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex.cgi?X_1=\frac{5256,25+\sqrt{24683508,06}}{2}=5112 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

et

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous obtenons donc mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ou mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Comme L est une longueur alors L>0.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  ou  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

ce qui nous donnerait :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  ou mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

or la longueur est plus grande que la largeur.

La longueur du triangle rectangle est  L = 71,5 m et la largeur est 12 m.

Conclusion :  Son périmètre est mimetex.cgi?P=L+l+h=71,5+12+72,5=156\,m Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 12 :
Pour se rendre d’une ville A à une ville B distantes de 195 km, deux cyclistes partent en même temps.
L’un deux, dont la vitesse moyenne sur ce parcours est supérieure à 4 km/h à celle de l’autre, arrive une heure plus tôt.

Quelles sont les vitesses des deux cyclistes ?

Indication :  Utiliser le fait que la vitesse moyenne v est mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
avec d la distance parcourue et t le temps écoulé.

cyclistes Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 13 :

1. On dispose d’une baguette de bois de 10 cm de long.
Où briser la baguette pour que les morceaux obtenus soient deux côtés consécutifs d’un rectangle de surface 20 cm² ?

On note x la distance à laquelle on brise la baguette, on obtient un autre morceau de longueur 10 – x .

On doit avoir mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. , il y a donc deux racines réelles distinctes.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Il faut donc couper la baguette exactement mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ce qui revient à couper à partir de l’autre bout mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .

2. Même question avec un rectangle d’aire 40 cm².

Exactement le même principe, nous vous laissons faire…..regular_smile Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

baguette-bois Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 14 :

Résoudre les inéquations suivantes :

1.                    mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. , il y a deux racines réelles distinctes.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

a est négatif donc mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

2.             mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  car mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

a est positif et les racines sont 1 et – 3.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 15 :
1.  Résoudre les équations suivantes :

a. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  ou mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

b. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. .

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ou mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

2.  Résoudre l’équation suivante : mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Posons mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

on est amené à résoudre :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le discriminant est strictement positif, il existe donc deux racines réelles distinctes.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Nous avons donc :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Ce sont les équations du 1.

Conclusion :  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 16 :

Indication : faire un schéma puis utiliser les propriétés de la symétrie axiale ainsi que l’aire d’un trapèze.
Sur un drapeau rectangulaire de longueur 4 m et de largeur 3 m, on trouve une croix d’épaisseur x m.

Quelle valeur doit-on donner à la largeur de la croix pour que son aire soit égale à la moitié du drapeau ?

Exercice 17 :

1.   mimetex.cgi?x^2 = 9 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex.cgi?x=3_,ou\,x=-3 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

2.   mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

Impossible dans mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. , un carré est positif ou nul.

3.   mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

C’est une équation produit, il y a deux solutions :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

4.    mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

C’est une équation produit, il y a deux solutions :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

5) mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

C’est une équation produit, il y a deux solutions :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

6) mimetex.cgi?(5x - 4)^2 - (3x + 7)^2 = 0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

C’est une équation produit :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 18 :
Notons mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. la longueur du plus petit carré .

Nous avons :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., il existe deux racines réelles distinctes.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.   et   mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Or nous recherchons la longueur d’un côté donc un entier positif .

Conclusion : les longueurs de ces trois carrés sont 70, 71 et 72 .

Exercice 19 :
Nous obtenons l’équation suivante en traduisant l’égalité des deux aires :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le discriminant est strictement positif, il existe donc deux racines réelles distinctes.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

or mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  donc mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : il faut que x prenne la valeur approximative de  3,2 mètres.

second-degre Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 20 :

Résoudre :

a.  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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b.      mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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c.   mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

x 1 2 3 4
x-1 –      + + + +
2-x +          + + –
x-3 –  + +
4-x + + + +                            –

courbe-degre-4 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 21 :

Résoudre les équations suivantes :

1. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Utilisons le produit en croix :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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Une racine évidente est – 2 :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

C’est une équation produit, il y a deux solutions :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

2. mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Utilisons le produit en croix :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Calculons le discriminant :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. , il y a donc deux racines distinctes réelles .

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ou  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. ou mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  ou  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 22 :
Quel était le prix d’essence à la première station et combien de litres en avait-on pris ?

Notons mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. le prix d’un litre d’essence dans la première station service en euro.

Nous avons :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  représente le nombre de litres d’essence achetés dans la première station.

Dans la seconde on aurait pu avoir : mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  litres d’essence.

donc :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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Calculons la valeur du discriminant :

mimetex.cgi?\Delta =(-0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., il y a donc deux racines réelles distinctes .

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : le prix étant positif, on en déduit que le prix d’un litre d’essence est de 0,95 € dans la première station.

on a prit mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. litres d’essence dans la première station et 47 dans la seconde .

essence Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 23 :

Trouver deux nombres dont la somme est égale à 57 et le produit égal à 540.

Soit S la somme et P le produit de ces deux nombres.

Ces deux nombres sont solution de l’équation :

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Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

le discriminant est strictement positif, il y a deux solutions distinctes :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion : les deux nombres recherchés sont 45 et 12 .

deux-nombres Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 24 :

Résoudre l’inéquation suivante :

mimetex.cgi?-x^2 + 9x + 22 > 0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Calculons la valeur du discriminant :

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le discriminant est strictement positif, il existe deux racines réelles distinctes.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le coefficient dominant a=-1<0 donc mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. pour mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

inequations Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
Résoudre les équations suivantes :

1)mimetex.cgi?4x^2 - x - 3 = 0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

La valeur du discriminant es t mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF., il y a donc deux racines distinctes.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion :  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

2) mimetex.cgi?(t + 1)^2 + 3 = 0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Un carré est toujours positif ou nul donc cette équation n’a pas de solution dans mimetex.cgi?\mathbb{R} Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

3) mimetex.cgi?2(2x + 1)^2 -(2x + 1)- 6 = 0 Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.
mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

La valeur du discriminant est mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF. , il y a donc deux racines distinctes.

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.  et   mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Conclusion :  mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

4) mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF..

mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Le carré d’un nombre est toujours positif ou nul donc cette équation n’a pas de solution dans mimetex.cgi?\mathbb{R} Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 25 :

1. On cherche les éventuelles racines de f, c’est-à-dire les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0 :

– -x² + 6x – 8 = 0

On peut résoudre cette équation du second degré en utilisant la formule :

– x = [-b ± √(b² – 4ac)] / 2a

En identifiant les coefficients, on a a=-1, b=6, c=-8. On peut alors remplacer dans la formule pour obtenir :

– x = (-(6) ± √((6)² – 4(-1)(-8))) / 2(-1)

On simplifie pour obtenir :

– x = 2 ± √6

Ainsi, les éventuelles racines de f sont x = 2 – √6 et x = 2 + √6.

On peut alors factoriser f(x) en utilisant les racines trouvées :

– f(x) = -(x – (2 – √6))(x – (2 + √6))

2. Pour déterminer les coordonnées des points d’intersection de la courbe de f avec les axes du repère, on cherche les valeurs de x pour lesquelles f(x) = 0 :

– f(x) = -x² + 6x – 8 = 0

On peut résoudre cette équation en utilisant la factorisation trouvée dans la question 1 :

– -(x – (2 – √6))(x – (2 + √6)) = 0

Ainsi, les solutions de l’équation sont x = 2 – √6 et x = 2 + √6.

Pour trouver les coordonnées des points d’intersection avec l’axe des x, on a y = 0 :

– Pour x = 2 – √6, on a f(2 – √6) = 0 – (2 – √6)² + 6(2 – √6) – 8 = -2√6
– Pour x = 2 + √6, on a f(2 + √6) = 0 – (2 + √6)² + 6(2 + √6) – 8 = 2√6

Ainsi, les coordonnées des points d’intersection sont :

– (2 – √6 ; 0) et (2 + √6 ; 0)

3. Pour étudier la position relative des courbes de f et g, on peut représenter les deux fonctions sur le même graphique :

<img src= »https://mathovore.fr/latexrender/pictures/f7d33088296fd407c9b06462eecf9fc2.png » align= »absmiddle » />

On peut alors remarquer que :

– g est une droite qui passe par le point (0 ; 3) et qui a une pente de -1 (car son coefficient directeur est -1).
– f est une parabole dont l’expression est -x² + 6x – 8.

On peut alors observer les trois situations suivantes :

– Si f est au-dessus de g sur tout l’intervalle considéré, alors f(x) > g(x) pour tout x, soit :

<img src= »https://mathovore.fr/latexrender/pictures/dee115b2c08b0a1503fb7dd587268949.png » align= »absmiddle » />

– Si f est en-dessous de g sur tout l’intervalle considéré, alors f(x) < g(x) pour tout x, soit :

<img src= »https://mathovore.fr/latexrender/pictures/c2454c454448ab155e767f12717c24b2.png » align= »absmiddle » />

– Si f coupe g en un point et est au-dessus de g à gauche de ce point et en-dessous à droite, alors :

<img src= »https://mathovore.fr/latexrender/pictures/2702d16e0ef55936186ee81fa304cfce.png » align= »absmiddle » />

En étudiant la courbe, on observe que f et g se coupent en un point d’abscisse x = 3. Ainsi, on a les informations suivantes :

– f est au-dessus de g sur l’intervalle ]-∞ ; 3[
– f est en-dessous de g sur l’intervalle ]3 ; +∞[

On peut alors résumer ces informations en disant que :

– f(x) > g(x) pour x ∈ ]-∞ ; 3[
– f(x) < g(x) pour x ∈ ]3 ; +∞[

Et que f et g se coupent en un point d’abscisse 3.

Exercice 26 :

1.

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2.

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Conclusion :    mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Exercice 27 :

Résoudre les équations suivantes :

a)   mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

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Il y a deux solutions .

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mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Il y a aucune solution car le carré d’un nombre est positif ou nul .

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mimetex Equations et second degré  : corrigé des exercices de maths en 1ère en PDF.

Il y a donc deux solutions

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Exercice 28 :

On sait que l’aire du triangle ABC est égale à

– (AB x AC) / 2 = (18 x 8) / 2 = 72 m²

On cherche à trouver x pour que l’aire du triangle ADE soit égale à la moitié de celle du triangle ABC, c’est-à-dire :

– (AE x AD) / 2 = 36 m²

On peut exprimer AE en fonction de x en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ABE :

– AE² + BE² = AB²
– AE² + x² = 18²
– AE² = 18² – x²

De même, on peut exprimer AD en fonction de x en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle ADC :

– AD² + DC² = AC²
– AD² + (AC – AD)² = AC²
– AD² + (8 – AD)² = 8²
– AD² + 64 – 16AD + AD² = 64
– 2AD² – 16AD = 0
– AD² – 8AD = 0
– AD(AD – 8) = 0

Ainsi, on a AD = 8 ou AD = 0. On exclut la solution AD = 0, car dans ce cas le triangle ADE serait en fait une droite et son aire serait nulle. Ainsi, AD = 8.

On peut alors remplacer AE et AD par les expressions trouvées dans l’aire du triangle ADE pour obtenir une équation en x :

– (x x √(18² – x²)) / 2 = 36
– x x √(18² – x²) = 72
– x² (18² – x²) = 72²
– x^4 – 18² x² + 72² = 0

On peut résoudre cette équation du quatrième degré en remplaçant x² par y :

– y² – 18² y + 72² = 0

On peut résoudre cette équation du second degré en utilisant la formule :

– y = [18² ± √(18² – 4 x 72²)] / 2
– y = [18² ± √(18² – 20736)] / 2
– y = [18² ± √207360] / 2
– y = 81 ou y = 288

On retrouve alors les valeurs x = √81 = 9 et x = √288 ≈ 16,97 m.

On peut exclure la solution x = √81 = 9 m, car dans ce cas le point E se situe sur le coin du triangle ABC et le triangle ADE serait une droite et son aire serait nulle. Ainsi, la seule solution possible est x = √288 ≈ 16,97 m.


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