Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

1. Justifier que :  .

2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

Exercice 7 – Propriétés algébriques
On a  et   et   . = -1
1) Calculez   et
2) Calculer ( + ) . (2-3)
Exercice 8 – Produit scalaire et point quelconque
Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB].
Démontrer que quelque soit le point M du plan, on a l’égalité :

Exercice 9 – Les vecteurs dans le plan
Soit le parallélogramme ABCD tel que :
E est le milieu de [AD]

K est le dernier sommet du parallélogramme EAFK
M le milieu de [BE]


                                          
                                          
Montrer que vecteur .
Exercice 10 – Projeté orthogonal
ABC est un triangle rectangle en A .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) .
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] .

Démontrer que (HI) et (HJ) sont perpendiculaires .
Exercice 11 – Calculs de produits scalaires dans un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.

1.Calculer .

2. En déduire BD.
Exercice 12 – Calculs de produits scalaires dans un carrés
MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1.    

2.    

3.  

4.  

Exercice 13 – Déterminer si le triangle est rectangle

ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3.

De plus 

Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.

Exercice 14 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC].

Calculer les produits scalaires suivants :

1.  .

2. 

3. 

Exercice 15 – Coordonnées du barycentre

Dans un repère orthonormé 
on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).

Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.

1. Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).

2.  Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].

3. Calculer  .

4.  L’angle   est-il droit ?

Exercice 16 – Cosinus
Soit ABC un triangle.
Calculer   et  dans chacun des cas suivants :
1. AB= 6cm ; AC= 5 cm et  .
2. AB= 7 cm ; AC=4cm et  .
Exercice 17 – Vecteurs orthogonaux
 et   sont deux vecteurs de même norme .
Démontrer que les vecteurs  et  sont orthogonaux .
Exercice 18 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté  .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC.
Exprimer en fonction de , les produits scalaires suivants :
 .
Exercice 19 – Calculs avec produits scalaires
Sachant que les vecteurs  et   sont tels que  ,  et .
Calculer les produits scalaires suivants :
1. 
2. 
Exercice 20 – Condition sur des points

A quelle condition sur les points A, B et C a-t-on :

Exercice 21 – Déterminer un ensemble de points du plan

On considère un segment [AB] tel que AB = 1 dm.

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :

1.  

2. 

Exercice 22 – Trouver un ensemble de points
[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
1. Montrer que pour tout point M du plan :

2. Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : 
Exercice 23 – Les égalités vectorielles du parallélogramme
Démontrer que :
1.    .
2.   .
3. Quel est le lien avec le losange, le parallèlogramme ?
4. Démontrer que :

5. En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.
Exercice 24 – Equation d’un cercle et de la tangente

Dans un repère orthonormé , on donne un point  .

1.  Déterminer l’équation du cercle (C) de centre  et de rayon R = 5.

2.  Démontrer que le point A( – 2 ; 0) est un point du cercle (C).

3.  Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle (C).

Exercice 25 – Médiatrice et hauteur d’un triangle
MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1.    

2.    

3.  

4.  

Exercice 26 – Distance d’un point à un cercle
On se place dans un repère orthonormé  .
1. Déterminer l’équation du cercle de centre   tangent à la droite (D) d’équation :

Indication :

on rappelle que la distance entre un point  et une droite (D) d’équation ax + by + c = 0 est
donnée par la formule :

Exercice 27 – Produit scalaire et cercle
On se place dans un repère orthonormé .

Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle.

1.  

2.  

Exercice 28 – Produit scalaire dans un triangle

ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
On donne : BC = 4, AI = 3 et  .

Calculer :

1.    

2.   

3.  

4.