exercices maths 1ère
Le produit scalaire dans le plan avec des exercices de maths en 1ère en ligne pour progresser au lycée. Savoir appliquer les propriétés du produit scalaire et démontrer que des vecteurs sont orthogonaux ou colinéaires. Utiliser la relation de Chasles sur les vecteurs.

Exercice n° 1:
Soient mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. deux vecteurs et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
Calculer mimetex.cgi? \vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. dans les conditions suivantes :
a. AB=3 , AC=5 et mimetex.cgi? (\vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
b. AB=1 , AC=4 et mimetex.cgi? (\vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
c. AB=4 , AC=7 et mimetex.cgi? (\vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
d. AB=2 , AC=2 et mimetex.cgi? (\vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

Exercice n° 2 :
Calculer mimetex.cgi? \vec{AC}.\vec{AB}\,;\,\vec{CA}.\vec{BA}\,;\,\vec{BA} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. sachant que :
a. mimetex.cgi? \vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
b. mimetex.cgi? \vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice n° 3 :
MNPQ est un losange de centre O tel que MP=8 et NQ=6.
Calculer les produits scalaires suivants :
a. mimetex.cgi? \vec{MO}.\vec{MN}\,;\,\vec{PQ}.\vec{NQ}\,;\,\vec{PM} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
b. mimetex.cgi? \vec{MQ}.\vec{NP}\,;\,\vec{MN}.\vec{PQ}\,;\,\vec{OM} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice n° 4 :
Soit ABCD un carré et I un point de [AB].
On note H le projeté orthogonal de A sur [ID].
En exprimant de deux manières différentes mimetex.cgi? \vec{IA} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF., démontrer que :
mimetex.cgi? \vec{IA} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice n° 5  :
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1.
Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).
Calculer mimetex.cgi? \vec{BA} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et mimetex.cgi? \vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. en utilisant les projections orthogonales .

Exercice 6 – Produit scalaire dans un carré

Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que :

 – P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ;
–  AP = DR.

Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.1. Justifier que : mimetex.cgi?\vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires. produit-scalaire-17-7 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 7 – Propriétés algébriques
On a  mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  et  mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. . mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. = -1.
1) Calculez mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..
2) Calculer (mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. + mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.) . (2mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.-3mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.).

Exercice 8 – Produit scalaire et point quelconque
Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB].
Démontrer que quelque soit le point M du plan, on a l’égalité :
mimetex.cgi?MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}=2\vec{MI} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..
Exercice 9 – Les vecteurs dans le plan
Soit le parallélogramme ABCD tel que :
E est le milieu de [AD]
mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
K est le dernier sommet du parallélogramme EAFK
M le milieu de [BE]
mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
Montrer que vecteur mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

<Exercice 10 – Projeté orthogonal
ABC est un triangle rectangle en A .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) .
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] .
20111105scalaire Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
Démontrer que (HI) et (HJ) sont perpendiculaires .

Exercice 11 – Calculs de produits scalaires dans un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.

1.Calculermimetex.cgi?\vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

2. En déduire BD.

Exercice 12 – Calculs de produits scalaires dans un carrés

MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.y

Calculer les produits scalaires suivants :

1.    mimetex.cgi?\vec{MN}.\vec{QP} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

2.    mimetex.cgi?\vec{MN}.\vec{PN} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

3.  mimetex.cgi?\vec{IN}.\vec{IP} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

4.  mimetex.cgi?\vec{QI}.\vec{NI} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

produit-scalaire-17-11 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 13 – Déterminer si le triangle est rectangle

ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3.

De plus mimetex.cgi?\vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.

produit-scalaire-17-10 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 14 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC].

Calculer les produits scalaires suivants :

1. mimetex.cgi?\vec{BA} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

2. mimetex.cgi?\vec{CA}.\vec{CI} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

3. mimetex.cgi?(\vec{AB}-\vec{AC}).\vec{AI} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

produit-scalaire-17-9 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
Exercice 15 – Coordonnées du barycentre

Dans un repère orthonormé mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).

Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.

1. Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).

2.  Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].

3. Calculer mimetex.cgi?\vec{CB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

4.  L’angle mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  est-il droit ?

produit-scalaire-17-8 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 16 – Cosinus
Soit ABC un triangle.
Calculer mimetex.cgi?\vec{AB} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. dans chacun des cas suivants :
1. AB= 6cm ; AC= 5 cm et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
2. AB= 7 cm ; AC=4cm et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

Exercice 17 – Vecteurs orthogonaux
mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  sont deux vecteurs de même norme .
Démontrer que les vecteurs mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. sont orthogonaux .

Exercice 18 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC.
Exprimer en fonction de mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF., les produits scalaires suivants :
mimetex.cgi?\vec{AB}.\vec{AC}\,;\,\vec{AC}.\vec{CB}\,;\,\vec{AB}.\vec{AH}\,;\,\vec{AH}.\vec{BC}\,;\,\vec{OA} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

Exercice 19 – Calculs avec produits scalaires
Sachant que les vecteurs mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et  mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. sont tels que mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. , mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et mimetex.cgi?\vec{u} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..
Calculer les produits scalaires suivants :
1. mimetex.cgi?\vec{u} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..
2. mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

Exercice 20 – Condition sur des points

A quelle condition sur les points A, B et C a-t-on :

mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 21 – Déterminer un ensemble de points du plan

On considère un segment [AB] tel que AB = 1 dm.

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :

1.  mimetex.cgi?\vec{MA}.\vec{MB}=1 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

2. mimetex.cgi?MA^2+MB^2=5 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

produit-scalaire-17-13 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 22 – Trouver un ensemble de points
[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
1. Montrer que pour tout point M du plan :
mimetex.cgi?MA^2-MB^2=2\vec{IM} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
2. Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : mimetex.cgi?MA^2 -MB^2 = 14 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 23 – Les égalités vectorielles du parallélogramme
Démontrer que :
1.   mimetex.cgi? \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2- \| \vec{u}-\vec{v}  \|^2=4\vec{u} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
2.  mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
3. Quel est le lien avec le losange, le parallélogramme ?
4. Démontrer que :
mimetex.cgi?(\vec{u}+\vec{v}) Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.
5. En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.

Exercice 24 – Equation d’un cercle et de la tangente

Dans un repère orthonormémimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. , on donne un point mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

1.  Déterminer l’équation du cercle (C) de centre mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et de rayon R = 5.

2.  Démontrer que le point A( – 2 ; 0) est un point du cercle (C).

3.  Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle (C).

produit-scalaire-17-7-5 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 25 – Médiatrice et hauteur d’un triangle
MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1.    mimetex.cgi?\vec{MN}.\vec{QP} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

2.    mimetex.cgi?\vec{MN}.\vec{PN} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

3.  mimetex.cgi?\vec{IN}.\vec{IP} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

4.  mimetex.cgi?\vec{QI}.\vec{NI} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

produit-scalaire-17-11 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 26 – Distance d’un point à un cercle
On se place dans un repère orthonormé mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .
1. Déterminer l’équation du cercle de centre mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.  tangent à la droite (D) d’équation :
mimetex.cgi?x + y - 4 = 0 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Indication :

on rappelle que la distance entre un point mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. et une droite (D) d’équation ax + by + c = 0 est
donnée par la formule :

mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

produit-scalaire-17-7-3 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 27 – Produit scalaire et cercle
On se place dans un repère orthonormé mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF..

Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle.

1.  mimetex.cgi?x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

2.  mimetex.cgi?x^2 + y^2 - x - 3y + 3 = 0 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

produit-scalaire-17-7-2 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

Exercice 28 – Produit scalaire dans un triangle

ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
On donne : BC = 4, AI = 3 et mimetex Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF. .

Calculer :

1.    mimetex.cgi?\vec{AB}.\vec{AC} Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

2.   mimetex.cgi?AB^2+AC^2 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

3.  mimetex.cgi?AB^2-AC^2 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

4.  mimetex.cgi?AB\,et\,AC Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

produit-scalaire-17-7-1 Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.


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