exercices maths 1ere

Produit scalaire : exercices 1ère maths corrigés en PDF

Le produit scalaire dans le plan avec des exercices de maths en première S   en ligne pour progresser en mathématiques au lycée.
Exercice n° 1:
Soient  \vec{AB} et  \vec{AC} deux vecteurs et  k\in\mathbb{Z} .
Calculer  \vec{AB}.\vec{AC} dans les conditions suivantes :
a. AB=3 , AC=5 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{6}+2k\pi .
b. AB=1 , AC=4 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{8\pi}{3}+2k\pi .
c. AB=4 , AC=7 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{4}+2k\pi .
d. AB=2 , AC=2 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{5\pi}{3}+2k\pi .
Exercice n° 2 :
Calculer  \vec{AC}.\vec{AB}\,;\,\vec{CA}.\vec{BA}\,;\,\vec{BA}.\vec{AC}\,\,; sachant que :
a.  \vec{AB}.\vec{AC}=-3
b.  \vec{AB}.\vec{AC}=2
Exercice n° 3 :
MNPQ est un losange de centre O tel que MP=8 et NQ=6.
Calculer les produits scalaires suivants :
a.  \vec{MO}.\vec{MN}\,;\,\vec{PQ}.\vec{NQ}\,;\,\vec{PM}.\vec{NP}\,\,; .
b.  \vec{MQ}.\vec{NP}\,;\,\vec{MN}.\vec{PQ}\,;\,\vec{OM}.\vec{NM}\,\,;
Exercice n° 4 :
Soit ABCD un carré et I un point de [AB].
On note H le projeté orthogonal de A sur [ID].
En exprimant de deux manières différentes  \vec{IA}.\vec{ID}, démontrer que :
 \vec{IA}.\vec{ID}=AI^2
Exercice n° 5  :
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1.
Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).
Calculer  \vec{BA}.\vec{AC} et  \vec{AB}.\vec{AH} en utilisant les projections orthogonales .
Exercice 6 – Produit scalaire dans un carré

 Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que :

 – P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ;
–  AP = DR.

Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

1. Justifier que : \vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ}.(\vec{AR}-\vec{AP}) .

2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.


Exercice 7 – Propriétés algébriques
On a   \| \vec{u}  \|=2 et  \| \vec{v}  \|=3  et  \vec{u} . \vec{v} = -1
1) Calculez (\vec{u}+\vec{v})^2  et  \| (\vec{u} -\vec{v})^2 \|
2) Calculer (\vec{u} + \vec{v}) . (2\vec{u}-3\vec{v})
Exercice 8 – Produit scalaire et point quelconque
Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB].
Démontrer que quelque soit le point M du plan, on a l’égalité :
MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}=2\vec{MI}.\vec{BA}
Exercice 9 – Les vecteurs dans le plan
Soit le parallélogramme ABCD tel que :
E est le milieu de [AD]
\vec{AF}=\frac{2}{3}\vec{AB}
K est le dernier sommet du parallélogramme EAFK
M le milieu de [BE]
\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AB}
\vec{GB}=2\vec{GF}
                                           \vec{GC}=2\vec{GK}
                                          
Montrer que vecteur \vec{GK}=2\vec{GM}.
Exercice 10 – Projeté orthogonal
ABC est un triangle rectangle en A .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) .
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] .

Démontrer que (HI) et (HJ) sont perpendiculaires .
Exercice 11 – Calculs de produits scalaires dans un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.

1.Calculer\vec{AB}.\vec{AD} .

2. En déduire BD.
Exercice 12 – Calculs de produits scalaires dans un carrés
MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1.    \vec{MN}.\vec{QP}.

2.    \vec{MN}.\vec{PN}.

3.  \vec{IN}.\vec{IP}.

4.  \vec{QI}.\vec{NI}.


Exercice 13 – Déterminer si le triangle est rectangle

ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3.

De plus \vec{AB}.\vec{AC}=4

 Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.

 
Exercice 14 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC].

Calculer les produits scalaires suivants :

1. \vec{BA}.\vec{BC} .

2. \vec{CA}.\vec{CI}.

3. (\vec{AB}-\vec{AC}).\vec{AI}.


Exercice 15 – Coordonnées du barycentre

Dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j})
on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).

Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.

1. Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).

2.  Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].

3. Calculer \vec{CB}.\vec{CA} .

4.  L’angle \widehat{C}  est-il droit ?


Exercice 16 – Cosinus
Soit ABC un triangle.
Calculer \vec{AB}.\vec{AC}  et BC dans chacun des cas suivants :
1. AB= 6cm ; AC= 5 cm et \widehat{BAC}=60^{\circ} .
2. AB= 7 cm ; AC=4cm et \widehat{BAC}=120^{\circ} .
Exercice 17 – Vecteurs orthogonaux
\vec{u} et \vec{v}  sont deux vecteurs de même norme .
Démontrer que les vecteurs \vec{u}+\vec{v} et \vec{u}-\vec{v} sont orthogonaux .
Exercice 18 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté a .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC.
Exprimer en fonction de a, les produits scalaires suivants :
\vec{AB}.\vec{AC}\,;\,\vec{AC}.\vec{CB}\,;\,\vec{AB}.\vec{AH}\,;\,\vec{AH}.\vec{BC}\,;\,\vec{OA}.\vec{OB}\, .
Exercice 19 – Calculs avec produits scalaires
Sachant que les vecteurs \vec{u} et  \vec{v} sont tels que  \| \vec{u}  \|=3 ,  \| \vec{v}  \|=7 et \vec{u}.\vec{v} =13.
Calculer les produits scalaires suivants :
1. \vec{u}. (\vec{u}+3\vec{v}  )
2.  (\vec{u}-2\vec{v}  ) ^2
Exercice 20 – Condition sur des points

A quelle condition sur les points A, B et C a-t-on :

(\vec{AB}+\vec{AB})^2=(AB+AC)^2

Exercice 21 – Déterminer un ensemble de points du plan

On considère un segment [AB] tel que AB = 1 dm.

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :

1.  \vec{MA}.\vec{MB}=1.

 2. MA^2+MB^2=5.

 
Exercice 22 – Trouver un ensemble de points
[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
1. Montrer que pour tout point M du plan :
MA^2-MB^2=2\vec{IM}.\vec{AB}
2. Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : MA^2 -MB^2 = 14.
Exercice 23 – Les égalités vectorielles du parallélogramme
Démontrer que :
1.    \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2- \| \vec{u}-\vec{v}  \|^2=4\vec{u}.\vec{v} .
2.   \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2+ \| \vec{u}-\vec{v}  \|^2=2( \|\vec{u}  \|^2+ \| \vec{v}  \|^2) .
3. Quel est le lien avec le losange, le parallèlogramme ?
4. Démontrer que :
(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})= \| \vec{u}  \|^2- \| \vec{v}  \|^2
5. En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.
Exercice 24 – Equation d’un cercle et de la tangente

Dans un repère orthonormé(O;\vec{i},\vec{j}) , on donne un point \Omega (2;-3) .

1.  Déterminer l’équation du cercle (C) de centre \Omega et de rayon R = 5.

2.  Démontrer que le point A( – 2 ; 0) est un point du cercle (C).

3.  Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle (C).


Exercice 25 – Médiatrice et hauteur d’un triangle
MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

 Calculer les produits scalaires suivants :

1.    \vec{MN}.\vec{QP}.

2.    \vec{MN}.\vec{PN}.

3.  \vec{IN}.\vec{IP}.

4.  \vec{QI}.\vec{NI}.

 
Exercice 26 – Distance d’un point à un cercle
On se place dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j}) .
1. Déterminer l’équation du cercle de centre \Omega (5;1)  tangent à la droite (D) d’équation :
x + y - 4 = 0.
Indication :

on rappelle que la distance entre un point A(\alpha ;\beta ) et une droite (D) d’équation ax + by + c = 0 est
donnée par la formule :

d(A,D)=\frac{ | a\alpha +b\beta +c  |}{\sqrt{a^2+b^2}}


Exercice 27 – Produit scalaire et cercle
On se place dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j}).

Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle.

1.  x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0.

2.  x^2 + y^2 - x - 3y + 3 = 0.


Exercice 28 – Produit scalaire dans un triangle

ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
On donne : BC = 4, AI = 3 et (\vec{IA},\vec{IB})=\frac{\pi}{3} .

Calculer :

1.    \vec{AB}.\vec{AC}.

2.   AB^2+AC^2.

3.  AB^2-AC^2.

4.  AB\,et\,AC.


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