Exercices maths 1ère

Produit scalaire : exercices 1ère maths corrigés en PDF

Le produit scalaire dans le plan avec des exercices de maths en première S   en ligne pour progresser en mathématiques au lycée.

Exercice n° 1 :

Soient  \vec{AB} et  \vec{AC} deux vecteurs et  k\in\mathbb{Z} .

Calculer  \vec{AB}.\vec{AC} dans les conditions suivantes :

a. AB=3 , AC=5 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{6}+2k\pi .

b. AB=1 , AC=4 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{8\pi}{3}+2k\pi .

c. AB=4 , AC=7 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{4}+2k\pi .

d. AB=2 , AC=2 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{5\pi}{3}+2k\pi .

Exercice n° 2 :

Calculer  \vec{AC}.\vec{AB}\,;\,\vec{CA}.\vec{BA}\,;\,\vec{BA}.\vec{AC}\,\,; sachant que :

a.  \vec{AB}.\vec{AC}=-3

b.  \vec{AB}.\vec{AC}=2

Exercice n° 3 :

MNPQ est un losange de centre O tel que MP=8 et NQ=6.

Calculer les produits scalaires suivants :

a.  \vec{MO}.\vec{MN}\,;\,\vec{PQ}.\vec{NQ}\,;\,\vec{PM}.\vec{NP}\,\,; .

b.  \vec{MQ}.\vec{NP}\,;\,\vec{MN}.\vec{PQ}\,;\,\vec{OM}.\vec{NM}\,\,;

Exercice n° 4 :

Soit ABCD un carré et I un point de [AB].
On note H le projeté orthogonal de A sur [ID].

En exprimant de deux manières différentes  \vec{IA}.\vec{ID}, démontrer que :

 \vec{IA}.\vec{ID}=AI^2

Exercice n° 5  :

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1.
Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).

Calculer  \vec{BA}.\vec{AC} et  \vec{AB}.\vec{AH} en utilisant les projections orthogonales .

Produit scalaire dans un carré

 Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que :
 – P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ;
–  AP = DR.
Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.
1. Justifier que : \vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ}.(\vec{AR}-\vec{AP}) .
2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

Propriétés algébriques

On a   \| \vec{u}  \|=2 et  \| \vec{v}  \|=3  et  \vec{u} . \vec{v} = -1

1) Calculez (\vec{u}+\vec{v})^2  et  \| (\vec{u} -\vec{v})^2 \|

2) Calculer (\vec{u} + \vec{v}) . (2\vec{u}-3\vec{v})

Produit scalaire et point quelconque

Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB].
Démontrer que quelque soit le point M du plan, on a l’égalité :

MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}=2\vec{MI}.\vec{BA}

Les vecteurs dans le plan

Soit le parallélogramme ABCD tel que :

E est le milieu de [AD]
\vec{AF}=\frac{2}{3}\vec{AB}
K est le dernier sommet du parallélogramme EAFK
M le milieu de [BE]
\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AB}

\vec{GB}=2\vec{GF}
                                           \vec{GC}=2\vec{GK}
                                          

Montrer que vecteur \vec{GK}=2\vec{GM}.

Projeté orthogonal

ABC est un triangle rectangle en A .

H est le projeté orthogonal de A sur (BC) .

I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] .

Démontrer que (HI) et (HJ) sont perpendiculaires .

Calculs de produits scalaires dans un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.
1.Calculer\vec{AB}.\vec{AD} .
2. En déduire BD.

Calculs de produits scalaires dans un carrés

MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :
1.    \vec{MN}.\vec{QP}.
2.    \vec{MN}.\vec{PN}.
3.  \vec{IN}.\vec{IP}.
4.  \vec{QI}.\vec{NI}.

Déterminer si le triangle est rectangle

ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3.
De plus \vec{AB}.\vec{AC}=4
 Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.
 

Triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC].

Calculer les produits scalaires suivants :
1. \vec{BA}.\vec{BC} .
2. \vec{CA}.\vec{CI}.
3. (\vec{AB}-\vec{AC}).\vec{AI}.

Coordonnées du barycentre

Dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j})
on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).
Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.
1. Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).
2.  Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].
3. Calculer \vec{CB}.\vec{CA} .
4.  L’angle \widehat{C}  est-il droit ?

Cosinus

Soit ABC un triangle.

Calculer \vec{AB}.\vec{AC}  et BC dans chacun des cas suivants :

1. AB= 6cm ; AC= 5 cm et \widehat{BAC}=60^{\circ} .

2. AB= 7 cm ; AC=4cm et \widehat{BAC}=120^{\circ} .

Vecteurs orthogonaux

\vec{u} et \vec{v}  sont deux vecteurs de même norme .

Démontrer que les vecteurs \vec{u}+\vec{v} et \vec{u}-\vec{v} sont orthogonaux .

Triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral de côté a .

H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC.

Exprimer en fonction de a, les produits scalaires suivants :

\vec{AB}.\vec{AC}\,;\,\vec{AC}.\vec{CB}\,;\,\vec{AB}.\vec{AH}\,;\,\vec{AH}.\vec{BC}\,;\,\vec{OA}.\vec{OB}\, .

Calculs avec produits scalaires

Sachant que les vecteurs \vec{u} et  \vec{v} sont tels que  \| \vec{u}  \|=3 ,  \| \vec{v}  \|=7 et \vec{u}.\vec{v} =13.

Calculer les produits scalaires suivants :

1\vec{u}. (\vec{u}+3\vec{v}  )

2 (\vec{u}-2\vec{v}  ) ^2

Condition sur des points

A quelle condition sur les points A, B et C a-t-on :
(\vec{AB}+\vec{AB})^2=(AB+AC)^2

Déterminer un ensemble de points du plan

On considère un segment [AB] tel que AB = 1 dm.
Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :
1.  \vec{MA}.\vec{MB}=1.
 2. MA^2+MB^2=5.
 

Trouver un ensemble de points

[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.

1. Montrer que pour tout point M du plan :

MA^2-MB^2=2\vec{IM}.\vec{AB}

2. Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que : MA^2 -MB^2 = 14.

Les égalités vectorielles du parallélogramme

Démontrer que :

1.    \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2- \| \vec{u}-\vec{v}  \|^2=4\vec{u}.\vec{v} .

2.   \| \vec{u}+\vec{v}  \|^2+ \| \vec{u}-\vec{v}  \|^2=2( \|\vec{u}  \|^2+ \| \vec{v}  \|^2) .

3. Quel est le lien avec le losange, le parallèlogramme ?

4. Démontrer que :

(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})= \| \vec{u}  \|^2- \| \vec{v}  \|^2

5. En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.

Equation d’un cercle et de la tangente

Dans un repère orthonormé(O;\vec{i},\vec{j}) , on donne un point \Omega (2;-3) .
1.  Déterminer l’équation du cercle (C) de centre \Omega et de rayon R = 5.
2.  Démontrer que le point A( – 2 ; 0) est un point du cercle (C).
3.  Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle (C).

Médiatrice et hauteur d’un triangle

MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

 Calculer les produits scalaires suivants :
1.    \vec{MN}.\vec{QP}.
2.    \vec{MN}.\vec{PN}.
3.  \vec{IN}.\vec{IP}.
4.  \vec{QI}.\vec{NI}.
 

Distance d’un point à un cercle

On se place dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j}) .

1. Déterminer l’équation du cercle de centre \Omega (5;1)  tangent à la droite (D) d’équation :

x + y - 4 = 0.

Indication :

on rappelle que la distance entre un point A(\alpha ;\beta ) et une droite (D) d’équation ax + by + c = 0 est
donnée par la formule :
d(A,D)=\frac{ | a\alpha +b\beta +c  |}{\sqrt{a^2+b^2}}

Produit scalaire et cercle

On se place dans un repère orthonormé (O;\vec{i},\vec{j}).

Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle.
1.  x^2 + y^2 - 2x - 6y + 5 = 0.
2.  x^2 + y^2 - x - 3y + 3 = 0.

Produit scalaire dans un triangle

ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
On donne : BC = 4, AI = 3 et (\vec{IA},\vec{IB})=\frac{\pi}{3} .
Calculer :
1.    \vec{AB}.\vec{AC}.
2.   AB^2+AC^2.
3.  AB^2-AC^2.
4.  AB\,et\,AC.

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