Produit scalaire : exercices 1ère maths corrigés en PDF

Mise à jour le 17 octobre 2020

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Le produit scalaire dans le plan avec des exercices de maths en première S en ligne pour progresser en mathématiques au lycée.

Exercice n° 1 :

Soient $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ deux vecteurs et $k\in\mathbb{Z}$ .

Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}$ dans les conditions suivantes :

a. AB=3 , AC=5 et $(\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$ .

b. AB=1 , AC=4 et $(\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{8\pi}{3}+2k\pi$ .

c. AB=4 , AC=7 et $(\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$ .

d. AB=2 , AC=2 et $(\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{5\pi}{3}+2k\pi$ .

Exercice n° 2 :

Calculer $\vec{AC}.\vec{AB}\,;\,\vec{CA}.\vec{BA}\,;\,\vec{BA}.\vec{AC}\,\,;$ sachant que :

a. $\vec{AB}.\vec{AC}=-3$

b. $\vec{AB}.\vec{AC}=2$

Exercice n° 3 :

MNPQ est un losange de centre O tel que MP=8 et NQ=6.

Calculer les produits scalaires suivants :

a. $\vec{MO}.\vec{MN}\,;\,\vec{PQ}.\vec{NQ}\,;\,\vec{PM}.\vec{NP}\,\,;$ .

b. $\vec{MQ}.\vec{NP}\,;\,\vec{MN}.\vec{PQ}\,;\,\vec{OM}.\vec{NM}\,\,;$

Exercice n° 4 :

Soit ABCD un carré et I un point de [AB].
On note H le projeté orthogonal de A sur [ID].

En exprimant de deux manières différentes $\vec{IA}.\vec{ID}$ , démontrer que :

$\vec{IA}.\vec{ID}=AI^2$

Exercice n° 5 :

Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1.
Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).

Calculer $\vec{BA}.\vec{AC}$ et $\vec{AB}.\vec{AH}$ en utilisant les projections orthogonales .

Produit scalaire dans un carré

Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que :

– P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ;

– AP = DR.

Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

1. Justifier que : $\vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ}.(\vec{AR}-\vec{AP})$ .

2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

Propriétés algébriques

On a $\| \vec{u} \|=2$ et $\| \vec{v} \|=3$ et $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = -1

1) Calculez $(\vec{u}+\vec{v})^2$ et $\| (\vec{u} -\vec{v})^2 \|$

2) Calculer ( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ) . (2 $\vec{u}$ -3 $\vec{v}$ )

Produit scalaire et point quelconque

Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB].
Démontrer que quelque soit le point M du plan, on a l’égalité :

$MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}=2\vec{MI}.\vec{BA}$

Les vecteurs dans le plan

Soit le parallélogramme ABCD tel que :

E est le milieu de [AD]
$\vec{AF}=\frac{2}{3}\vec{AB}$
K est le dernier sommet du parallélogramme EAFK
M le milieu de [BE]
$\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AB}$

$\vec{GB}=2\vec{GF}$
$\vec{GC}=2\vec{GK}$

Montrer que vecteur $\vec{GK}=2\vec{GM}$ .

Projeté orthogonal

ABC est un triangle rectangle en A .

H est le projeté orthogonal de A sur (BC) .

I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] .

Démontrer que (HI) et (HJ) sont perpendiculaires .

Calculs de produits scalaires dans un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.

1.Calculer $\vec{AB}.\vec{AD}$ .

2. En déduire BD.

Calculs de produits scalaires dans un carrés

MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1. $\vec{MN}.\vec{QP}.$

2. $\vec{MN}.\vec{PN}.$

3. $\vec{IN}.\vec{IP}.$

4. $\vec{QI}.\vec{NI}.$

Déterminer si le triangle est rectangle

ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3.

De plus $\vec{AB}.\vec{AC}=4$

Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.

Triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC].

Calculer les produits scalaires suivants :

1. $\vec{BA}.\vec{BC}$ .

2. $\vec{CA}.\vec{CI}.$

3. $(\vec{AB}-\vec{AC}).\vec{AI}.$

Coordonnées du barycentre

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$

on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).

Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.

1. Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).

2. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].

3. Calculer $\vec{CB}.\vec{CA}$ .

4. L’angle $\widehat{C}$ est-il droit ?

Cosinus

Soit ABC un triangle.

Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}$ et dans chacun des cas suivants :

1. AB= 6cm ; AC= 5 cm et $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ .

2. AB= 7 cm ; AC=4cm et $\widehat{BAC}=120^{\circ}$ .

Vecteurs orthogonaux

$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de même norme .

Démontrer que les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont orthogonaux .

Triangle équilatéral

ABC est un triangle équilatéral de côté .

H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC.

Exprimer en fonction de , les produits scalaires suivants :

$\vec{AB}.\vec{AC}\,;\,\vec{AC}.\vec{CB}\,;\,\vec{AB}.\vec{AH}\,;\,\vec{AH}.\vec{BC}\,;\,\vec{OA}.\vec{OB}\,$ .

Calculs avec produits scalaires

Sachant que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tels que $\| \vec{u} \|=3$ , $\| \vec{v} \|=7$ et $\vec{u}.\vec{v} =13$ .

Calculer les produits scalaires suivants :

1. $\vec{u}. (\vec{u}+3\vec{v} )$

2. $(\vec{u}-2\vec{v} ) ^2$

Condition sur des points

A quelle condition sur les points A, B et C a-t-on :

$(\vec{AB}+\vec{AB})^2=(AB+AC)^2$

Déterminer un ensemble de points du plan

On considère un segment [AB] tel que AB = 1 dm.

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :

1. $\vec{MA}.\vec{MB}=1.$

Trouver un ensemble de points

[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.

1. Montrer que pour tout point M du plan :

$MA^2-MB^2=2\vec{IM}.\vec{AB}$

2. Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que :

Les égalités vectorielles du parallélogramme

Démontrer que :

1. $\| \vec{u}+\vec{v} \|^2- \| \vec{u}-\vec{v} \|^2=4\vec{u}.\vec{v}$ .

2. $\| \vec{u}+\vec{v} \|^2+ \| \vec{u}-\vec{v} \|^2=2( \|\vec{u} \|^2+ \| \vec{v} \|^2)$ .

3. Quel est le lien avec le losange, le parallèlogramme ?

4. Démontrer que :

$(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})= \| \vec{u} \|^2- \| \vec{v} \|^2$

5. En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.

Equation d’un cercle et de la tangente

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ , on donne un point $\Omega (2;-3)$ .

1. Déterminer l’équation du cercle (C) de centre $\Omega$ et de rayon R = 5.

2. Démontrer que le point A( – 2 ; 0) est un point du cercle (C).

3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle (C).

Médiatrice et hauteur d’un triangle

MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1. $\vec{MN}.\vec{QP}.$

2. $\vec{MN}.\vec{PN}.$

3. $\vec{IN}.\vec{IP}.$

4. $\vec{QI}.\vec{NI}.$

Distance d’un point à un cercle

On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ .

1. Déterminer l’équation du cercle de centre $\Omega (5;1)$ tangent à la droite (D) d’équation :

Indication :

on rappelle que la distance entre un point $A(\alpha ;\beta )$ et une droite (D) d’équation ax + by + c = 0 est

donnée par la formule :

$d(A,D)=\frac{ | a\alpha +b\beta +c |}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Produit scalaire et cercle

On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ .

Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle.

Produit scalaire dans un triangle

ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].

On donne : BC = 4, AI = 3 et $(\vec{IA},\vec{IB})=\frac{\pi}{3}$ .

Calculer :

1. $\vec{AB}.\vec{AC}.$

4. $AB\,et\,AC.$

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