Le produit scalaire dans le plan avec des exercices de maths en première S en ligne pour progresser en mathématiques au lycée.
Exercice n° 1:
Soient et
deux vecteurs et
.
Calculer dans les conditions suivantes :
a. AB=3 , AC=5 et .
b. AB=1 , AC=4 et .
c. AB=4 , AC=7 et .
d. AB=2 , AC=2 et .
Exercice n° 2 :
Calculer sachant que :
a.
b.
Exercice n° 3 :
MNPQ est un losange de centre O tel que MP=8 et NQ=6.
Calculer les produits scalaires suivants :
a. .
b.
Exercice n° 4 :
Soit ABCD un carré et I un point de [AB].
On note H le projeté orthogonal de A sur [ID].
En exprimant de deux manières différentes , démontrer que :
Exercice n° 5 :
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1.
Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).
Calculer et
en utilisant les projections orthogonales .
Exercice 6 – Produit scalaire dans un carré
Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que :
– AP = DR.
Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.
1. Justifier que : .
2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.
Exercice 7 – Propriétés algébriques
On a et
et
.
= -1
1) Calculez et
2) Calculer ( +
) . (2
-3
)
Exercice 8 – Produit scalaire et point quelconque
Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB].
Démontrer que quelque soit le point M du plan, on a l’égalité :
Exercice 9 – Les vecteurs dans le plan
Soit le parallélogramme ABCD tel que :
E est le milieu de [AD]
K est le dernier sommet du parallélogramme EAFK
M le milieu de [BE]
Montrer que vecteur .
Exercice 10 – Projeté orthogonal
ABC est un triangle rectangle en A .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) .
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] .
Démontrer que (HI) et (HJ) sont perpendiculaires .
Exercice 11 – Calculs de produits scalaires dans un parallélogramme
ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.
1.Calculer .
2. En déduire BD.
Exercice 12 – Calculs de produits scalaires dans un carrés
MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.
Calculer les produits scalaires suivants :
1.
2.
3.
4.
Exercice 13 – Déterminer si le triangle est rectangle
ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3.
De plus
Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.
Exercice 14 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC].
Calculer les produits scalaires suivants :
1. .
2.
3.
Exercice 15 – Coordonnées du barycentre
Dans un repère orthonormé
on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).
Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.
1. Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).
2. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].
3. Calculer .
4. L’angle est-il droit ?
Exercice 16 – Cosinus
Soit ABC un triangle.
Calculer et
dans chacun des cas suivants :
1. AB= 6cm ; AC= 5 cm et .
2. AB= 7 cm ; AC=4cm et .
Exercice 17 – Vecteurs orthogonaux
et
sont deux vecteurs de même norme .
Démontrer que les vecteurs et
sont orthogonaux .
Exercice 18 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC.
Exprimer en fonction de , les produits scalaires suivants :
.
Exercice 19 – Calculs avec produits scalaires
Sachant que les vecteurs et
sont tels que
,
et
.
Calculer les produits scalaires suivants :
1.
2.
Exercice 20 – Condition sur des points
A quelle condition sur les points A, B et C a-t-on :
Exercice 21 – Déterminer un ensemble de points du plan
On considère un segment [AB] tel que AB = 1 dm.
Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :
1.
2.
Exercice 22 – Trouver un ensemble de points
[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
1. Montrer que pour tout point M du plan :
2. Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que :
Exercice 23 – Les égalités vectorielles du parallélogramme
Démontrer que :
1. .
2. .
3. Quel est le lien avec le losange, le parallèlogramme ?
4. Démontrer que :
5. En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.
Exercice 24 – Equation d’un cercle et de la tangente
Dans un repère orthonormé , on donne un point
.
1. Déterminer l’équation du cercle (C) de centre et de rayon R = 5.
2. Démontrer que le point A( – 2 ; 0) est un point du cercle (C).
3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle (C).
Exercice 25 – Médiatrice et hauteur d’un triangle
MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.
Calculer les produits scalaires suivants :
1.
2.
3.
4.
Exercice 26 – Distance d’un point à un cercle
On se place dans un repère orthonormé .
1. Déterminer l’équation du cercle de centre tangent à la droite (D) d’équation :
Indication :
on rappelle que la distance entre un point et une droite (D) d’équation ax + by + c = 0 est
donnée par la formule :
Exercice 27 – Produit scalaire et cercle
On se place dans un repère orthonormé .
Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle.
1.
2.
Exercice 28 – Produit scalaire dans un triangle
ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
On donne : BC = 4, AI = 3 et .
Calculer :
1.
2.
3.
4.
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