Produit scalaire : exercices 1ère maths corrigés en PDF

Mise à jour le 23 octobre 2020

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Le produit scalaire dans le plan avec des exercices de maths en première S en ligne pour progresser en mathématiques au lycée.
Exercice n° 1:
Soient $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ deux vecteurs et $k\in\mathbb{Z}$ .
Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}$ dans les conditions suivantes :
a. AB=3 , AC=5 et $(\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{6}+2k\pi$ .
b. AB=1 , AC=4 et $(\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{8\pi}{3}+2k\pi$ .
c. AB=4 , AC=7 et $(\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{4}+2k\pi$ .
d. AB=2 , AC=2 et $(\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{5\pi}{3}+2k\pi$ .
Exercice n° 2 :
Calculer $\vec{AC}.\vec{AB}\,;\,\vec{CA}.\vec{BA}\,;\,\vec{BA}.\vec{AC}\,\,;$ sachant que :
a. $\vec{AB}.\vec{AC}=-3$
b. $\vec{AB}.\vec{AC}=2$
Exercice n° 3 :
MNPQ est un losange de centre O tel que MP=8 et NQ=6.
Calculer les produits scalaires suivants :
a. $\vec{MO}.\vec{MN}\,;\,\vec{PQ}.\vec{NQ}\,;\,\vec{PM}.\vec{NP}\,\,;$ .
b. $\vec{MQ}.\vec{NP}\,;\,\vec{MN}.\vec{PQ}\,;\,\vec{OM}.\vec{NM}\,\,;$
Exercice n° 4 :
Soit ABCD un carré et I un point de [AB].
On note H le projeté orthogonal de A sur [ID].
En exprimant de deux manières différentes $\vec{IA}.\vec{ID}$ , démontrer que :
$\vec{IA}.\vec{ID}=AI^2$
Exercice n° 5 :
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1.
Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).
Calculer $\vec{BA}.\vec{AC}$ et $\vec{AB}.\vec{AH}$ en utilisant les projections orthogonales .
Exercice 6 – Produit scalaire dans un carré

Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que :

– P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ;
– AP = DR.

Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

1. Justifier que : $\vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ}.(\vec{AR}-\vec{AP})$ .

2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.

Exercice 7 – Propriétés algébriques
On a $\| \vec{u} \|=2$ et $\| \vec{v} \|=3$ et   $\vec{u}$ . $\vec{v}$ = -1
1) Calculez $(\vec{u}+\vec{v})^2$ et $\| (\vec{u} -\vec{v})^2 \|$
2) Calculer ( $\vec{u}$ + $\vec{v}$ ) . (2 $\vec{u}$ -3 $\vec{v}$ )
Exercice 8 – Produit scalaire et point quelconque
Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB].
Démontrer que quelque soit le point M du plan, on a l’égalité :
$MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}=2\vec{MI}.\vec{BA}$
Exercice 9 – Les vecteurs dans le plan
Soit le parallélogramme ABCD tel que :
E est le milieu de [AD]
$\vec{AF}=\frac{2}{3}\vec{AB}$
K est le dernier sommet du parallélogramme EAFK
M le milieu de [BE]
$\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AB}$
$\vec{GB}=2\vec{GF}$
                                           $\vec{GC}=2\vec{GK}$

Montrer que vecteur $\vec{GK}=2\vec{GM}$ .
Exercice 10 – Projeté orthogonal
ABC est un triangle rectangle en A .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) .
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] .

Démontrer que (HI) et (HJ) sont perpendiculaires .
Exercice 11 – Calculs de produits scalaires dans un parallélogramme

ABCD est un parallélogramme avec AB = 4, AD = 5 et AC = 7.

1.Calculer $\vec{AB}.\vec{AD}$ .

2. En déduire BD.
Exercice 12 – Calculs de produits scalaires dans un carrés
MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1. $\vec{MN}.\vec{QP}.$

2. $\vec{MN}.\vec{PN}.$

3. $\vec{IN}.\vec{IP}.$

4. $\vec{QI}.\vec{NI}.$

Exercice 13 – Déterminer si le triangle est rectangle

ABC est un triangle dans lequel AB = 2 et AC = 3.

De plus $\vec{AB}.\vec{AC}=4$

Ce triangle est-il rectangle ? Si oui, préciser en quel sommet.

Exercice 14 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté 5 cm. I est le milieu de [BC].

Calculer les produits scalaires suivants :

1. $\vec{BA}.\vec{BC}$ .

2. $\vec{CA}.\vec{CI}.$

3. $(\vec{AB}-\vec{AC}).\vec{AI}.$

Exercice 15 – Coordonnées du barycentre

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$
on considère les points suivants : A (2 ; 1), B (7 ; 2) et C (3 ; 4).

Toutes les questions suivantes sont indépendantes et sans rapport.

1. Calculer les coordonnées du barycentre G de (A ; 3), (B ; 2) et (C ; – 4).

2. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [BC].

3. Calculer $\vec{CB}.\vec{CA}$ .

4. L’angle $\widehat{C}$ est-il droit ?

Exercice 16 – Cosinus
Soit ABC un triangle.
Calculer $\vec{AB}.\vec{AC}$ et dans chacun des cas suivants :
1. AB= 6cm ; AC= 5 cm et $\widehat{BAC}=60^{\circ}$ .
2. AB= 7 cm ; AC=4cm et $\widehat{BAC}=120^{\circ}$ .
Exercice 17 – Vecteurs orthogonaux
$\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont deux vecteurs de même norme .
Démontrer que les vecteurs $\vec{u}+\vec{v}$ et $\vec{u}-\vec{v}$ sont orthogonaux .
Exercice 18 – Triangle équilatéral
ABC est un triangle équilatéral de côté .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) et O le centre du cercle circonscrit à ABC.
Exprimer en fonction de , les produits scalaires suivants :
$\vec{AB}.\vec{AC}\,;\,\vec{AC}.\vec{CB}\,;\,\vec{AB}.\vec{AH}\,;\,\vec{AH}.\vec{BC}\,;\,\vec{OA}.\vec{OB}\,$ .
Exercice 19 – Calculs avec produits scalaires
Sachant que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont tels que $\| \vec{u} \|=3$ , $\| \vec{v} \|=7$ et $\vec{u}.\vec{v} =13$ .
Calculer les produits scalaires suivants :
1. $\vec{u}. (\vec{u}+3\vec{v} )$
2. $(\vec{u}-2\vec{v} ) ^2$
Exercice 20 – Condition sur des points

A quelle condition sur les points A, B et C a-t-on :

$(\vec{AB}+\vec{AB})^2=(AB+AC)^2$

Exercice 21 – Déterminer un ensemble de points du plan

On considère un segment [AB] tel que AB = 1 dm.

Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :

1. $\vec{MA}.\vec{MB}=1.$

Exercice 22 – Trouver un ensemble de points
[AB] est un segment de milieu I et AB = 2 cm.
1. Montrer que pour tout point M du plan :
$MA^2-MB^2=2\vec{IM}.\vec{AB}$
2. Trouver et représenter l’ensemble des points M du plan tels que :
Exercice 23 – Les égalités vectorielles du parallélogramme
Démontrer que :
1. $\| \vec{u}+\vec{v} \|^2- \| \vec{u}-\vec{v} \|^2=4\vec{u}.\vec{v}$ .
2. $\| \vec{u}+\vec{v} \|^2+ \| \vec{u}-\vec{v} \|^2=2( \|\vec{u} \|^2+ \| \vec{v} \|^2)$ .
3. Quel est le lien avec le losange, le parallèlogramme ?
4. Démontrer que :
$(\vec{u}+\vec{v}).(\vec{u}-\vec{v})= \| \vec{u} \|^2- \| \vec{v} \|^2$
5. En déduire qu’un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires si et seulement si ses côtés sont égaux.
Exercice 24 – Equation d’un cercle et de la tangente

Dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ , on donne un point $\Omega (2;-3)$ .

1. Déterminer l’équation du cercle (C) de centre $\Omega$ et de rayon R = 5.

2. Démontrer que le point A( – 2 ; 0) est un point du cercle (C).

3. Déterminer une équation cartésienne de la tangente en A au cercle (C).

Exercice 25 – Médiatrice et hauteur d’un triangle
MNPQ est un carré avec MN = 6. I est le centre du carré.

Calculer les produits scalaires suivants :

1. $\vec{MN}.\vec{QP}.$

2. $\vec{MN}.\vec{PN}.$

3. $\vec{IN}.\vec{IP}.$

4. $\vec{QI}.\vec{NI}.$

Exercice 26 – Distance d’un point à un cercle
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ .
1. Déterminer l’équation du cercle de centre $\Omega (5;1)$ tangent à la droite (D) d’équation :

Indication :

on rappelle que la distance entre un point $A(\alpha ;\beta )$ et une droite (D) d’équation ax + by + c = 0 est
donnée par la formule :

$d(A,D)=\frac{ | a\alpha +b\beta +c |}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Exercice 27 – Produit scalaire et cercle
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$ .

Examiner si les équations suivantes sont des équations de cercle et, le cas échéant, préciser le centre et le rayon du cercle.

Exercice 28 – Produit scalaire dans un triangle

ABC est un triangle et I est le milieu de [BC].
On donne : BC = 4, AI = 3 et $(\vec{IA},\vec{IB})=\frac{\pi}{3}$ .

Calculer :

1. $\vec{AB}.\vec{AC}.$

4. $AB\,et\,AC.$

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