Produit scalaire : exercices de maths en 1ère corrigés en PDF.

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Le produit scalaire dans le plan avec des exercices de maths en 1ère en ligne pour progresser au lycée. Savoir appliquer les propriétés du produit scalaire et démontrer que des vecteurs sont orthogonaux ou colinéaires. Utiliser la relation de Chasles sur les vecteurs.

Exercice n° 1:
Soient  \vec{AB} et  \vec{AC} deux vecteurs et  k\in\mathbb{Z} .
Calculer  \vec{AB}.\vec{AC} dans les conditions suivantes :
a. AB=3 , AC=5 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{6}+2k\pi .
b. AB=1 , AC=4 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{8\pi}{3}+2k\pi .
c. AB=4 , AC=7 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{\pi}{4}+2k\pi .
d. AB=2 , AC=2 et  (\vec{AB}.\vec{AC})=-\frac{5\pi}{3}+2k\pi .

Exercice n° 2 :
Calculer  \vec{AC}.\vec{AB}\,;\,\vec{CA}.\vec{BA}\,;\,\vec{BA}.\vec{AC}\,\,; sachant que :
a.  \vec{AB}.\vec{AC}=-3
b.  \vec{AB}.\vec{AC}=2

Exercice n° 3 :
MNPQ est un losange de centre O tel que MP=8 et NQ=6.
Calculer les produits scalaires suivants :
a.  \vec{MO}.\vec{MN}\,;\,\vec{PQ}.\vec{NQ}\,;\,\vec{PM}.\vec{NP}\,\,; .
b.  \vec{MQ}.\vec{NP}\,;\,\vec{MN}.\vec{PQ}\,;\,\vec{OM}.\vec{NM}\,\,;

Exercice n° 4 :
Soit ABCD un carré et I un point de [AB].
On note H le projeté orthogonal de A sur [ID].
En exprimant de deux manières différentes  \vec{IA}.\vec{ID}, démontrer que :
 \vec{IA}.\vec{ID}=AI^2

Exercice n° 5  :
Soit ABC un triangle équilatéral de côté 1.
Soit H le projeté orthogonal de A sur (BC).
Calculer  \vec{BA}.\vec{AC} et  \vec{AB}.\vec{AH} en utilisant les projections orthogonales .

Exercice 6 – Produit scalaire dans un carré

Soit un carré ABCD. On construit un rectangle APQR tel que :

 – P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ;
–  AP = DR.

Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires.1. Justifier que : \vec{CQ}.\vec{PR}=\vec{CQ}.(\vec{AR}-\vec{AP}) .2. En déduire que les droites (CQ) et (PR) sont perpendiculaires. Produit scalaire

Exercice 7 – Propriétés algébriques
On a   \| \vec{u}  \|=2 et  \| \vec{v}  \|=3  et  \vec{u} . \vec{v} = -1.
1) Calculez (\vec{u}+\vec{v})^2  et  \| (\vec{u} -\vec{v})^2 \|.
2) Calculer (\vec{u} + \vec{v}) . (2\vec{u}-3\vec{v}).

Exercice 8 – Produit scalaire et point quelconque
Soit A et B deux points distincts du plan et I le milieu du segment [AB].
Démontrer que quelque soit le point M du plan, on a l’égalité :
MA^2-MB^2=(\vec{MA}+\vec{MB}).\vec{BA}=2\vec{MI}.\vec{BA}.
Exercice 9 – Les vecteurs dans le plan
Soit le parallélogramme ABCD tel que :
E est le milieu de [AD]
\vec{AF}=\frac{2}{3}\vec{AB}
K est le dernier sommet du parallélogramme EAFK
M le milieu de [BE]
\vec{AG}=\frac{1}{3}\vec{AB}
\vec{GB}=2\vec{GF}
\vec{GC}=2\vec{GK}
Montrer que vecteur \vec{GK}=2\vec{GM} .

<Exercice 10 – Projeté orthogonal
ABC est un triangle rectangle en A .
H est le projeté orthogonal de A sur (BC) .
I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC] .
Projeté orthogonal
Démontrer que (HI) et (HJ) sont perpendiculaires .

Voir Exercices 11 à 20...
Voir Exercices 21 à 28...
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