Contrôle de maths 1ère : probabilités et variables aléatoires

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

Calculatrice interdite pour cet exercice. Calculatrice autorisée pour les exercices 2 à 5.

Donne directement le résultat, sans justification.

1. \(P(A) = 0{,}4\) et \(P_A(B) = 0{,}5\). Calcule \(P(A \cap B)\). (0,5 point)
2. \(A\) et \(B\) sont indépendants, \(P(A) = 0{,}3\) et \(P(B) = 0{,}5\). Calcule \(P(A \cap B)\). (0,5 point)
3. \(P(A \cap B) = 0{,}12\) et \(P(A) = 0{,}4\). Calcule \(P_A(B)\). (0,5 point)
4. \(P(A) = 0{,}35\). Calcule \(P(\overline{A})\). (0,5 point)
5. Dans un arbre, \(P_A(B) = 0{,}7\). Quelle probabilité porte la branche allant de \(A\) à \(\overline{B}\) ? (0,5 point)
6. \(X\) prend les valeurs \(0\) et \(10\) avec la même probabilité \(0{,}5\). Calcule \(E(X)\). (0,5 point)
7. \(V(X) = 3\). Calcule \(V(2X)\). (0,5 point)
8. On lance deux fois une pièce équilibrée. Probabilité d’obtenir exactement une fois « pile » ? (0,5 point)

Exercice 2 : Un test de dépistage (5 points)

Dans une population, \(5\,\%\) des personnes sont porteuses d’un virus. Un laboratoire propose un test de dépistage :

• si la personne est porteuse du virus, le test est positif avec une probabilité de \(0{,}98\) ;
• si la personne n’est pas porteuse du virus, le test est positif avec une probabilité de \(0{,}04\).

On choisit une personne au hasard et on note \(M\) l’événement « la personne est porteuse du virus » et \(T\) l’événement « le test est positif ».

1. Construis un arbre pondéré représentant la situation. (1 point)
2. Calcule \(P(M \cap T)\) et interprète ce nombre par une phrase. (0,5 point)
3. Montre que \(P(T) = 0{,}087\). (1,5 point)
4. Une personne a un test positif. Quelle est la probabilité qu’elle soit porteuse du virus ? Arrondis au millième et commente. (1 point)
5. Les événements \(M\) et \(T\) sont-ils indépendants ? Justifie. (1 point)

Exercice 3 : Demi-pension et sport (3 points)

Dans un lycée de 400 élèves, on a relevé les élèves demi-pensionnaires et ceux qui pratiquent un sport en club.

On choisit un élève au hasard. On note \(A\) l’événement « l’élève est demi-pensionnaire » et \(B\) l’événement « l’élève pratique un sport en club ».

1. Calcule \(P(A)\), \(P(B)\) et \(P(A \cap B)\) sous forme décimale. (1 point)
2. Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ? Justifie. (1 point)
3. Calcule \(P_B(A)\) et compare-la à \(P(A)\). Interprète le résultat par une phrase. (1 point)

Exercice 4 : Le jeu de l’urne et de la roue (6 points)

À la fête du lycée, Chloé propose le jeu suivant. Le joueur paie \(4\) €, puis il tire une boule au hasard dans une urne contenant 3 boules rouges et 2 boules noires.

• S’il tire une boule rouge (\(R\)), il fait tourner une roue sur laquelle la probabilité de gagner est \(0{,}5\) ; s’il gagne, il reçoit \(5\) €.
• S’il tire une boule noire (\(N\)), il fait tourner une autre roue sur laquelle la probabilité de gagner est \(0{,}25\) ; s’il gagne, il reçoit \(20\) €.
• S’il perd à la roue, il ne reçoit rien.

On note \(G\) l’événement « le joueur gagne à la roue » et \(X\) le gain algébrique du joueur (somme reçue moins la participation de \(4\) €).

1. Recopie et complète l’arbre pondéré ci-dessus. (1 point)
2. Calcule la probabilité \(P(G)\) que le joueur gagne à la roue. (1 point)
3. Le joueur a gagné à la roue. Quelle est la probabilité qu’il ait tiré une boule noire ? (1 point)
4. Donne les valeurs prises par \(X\) et la loi de probabilité de \(X\). (1 point)
5. Calcule \(E(X)\). Le jeu est-il favorable au joueur ou à Chloé ? (1 point)
6. Calcule \(V(X)\) à l’aide de la formule de König-Huygens, puis l’écart type de \(X\) arrondi au centième. (1 point)

Exercice 5 : Trois parties de suite (2 points)

Lucie joue trois parties successives du jeu de l’exercice 4. Les parties sont indépendantes et, à chaque partie, la probabilité de gagner à la roue est celle trouvée à la question b) de l’exercice 4, soit \(0{,}4\).

1. Calcule la probabilité que Lucie gagne au moins une fois à la roue. (1 point)
2. Calcule la probabilité que Lucie gagne exactement deux fois à la roue, en justifiant par un arbre ou un dénombrement des chemins. (1 point)

Réviser avant le contrôle : probabilités et variables aléatoires

Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Probabilités » en 1ère et « Probabilités » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés probabilités, probabilités.

Retrouve tous les contrôles de maths en 1ère classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 1ère sur ce thème

• Contrôle de maths 1ère : probabilités conditionnelles et arbres
• Contrôle de maths 1ère : indépendance et probabilités totales
• Contrôle de maths 1ère : variables aléatoires, espérance et variance
• Contrôle de maths 1ère : répétitions de Bernoulli et jeux de hasard

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 1rePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 1re à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗