Sommaire de cette fiche
I . Equation différentielle f ’ = f avec f(0) = 1. :
Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle.
La résoudre sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité.
Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur telles que pour tout réel x :
.
L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale.
S’il existe une fonction f dérivable sur I telle que et alors f ne s’annule pas sur I.
Il existe une unique fonction f dérivable sur I telle que et .
C’est la fonction exponentielle, notée .
II . Propriétés algébriques :
La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions :
Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b)
f’(0) = 1
Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif :
Remarque :
Pour tout réel a :
Donc pour tout réel , .
On pose :
Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose :
III . Etude de la fonction exponentielle.
La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
La fonction x 1+x est l’approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0.
On admet que ce théorème se généralise et qu’à l’infini, l’exponentielle l’emporte sur les puissances.
Exemple :
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Un QCM sur les fonctions exponentielles
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