Fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.

Sommaire

La fonction exponentielle avec un cours de maths en 1ère où nous étudierons une première approche à l’aide des équations différentielles.

Puis nous verrons les différentes propriétés, les définitions et limites usuelles de la fonction exponentielle et la courbe représentative de la fonction pour les élèves de première.

I . Equation différentielle f ’ = f avec f(0) = 1. :

Définition :

Une équation où figure une fonction et sa dérivée est une équation différentielle.

La résoudre sur un intervalle I, c’est trouver toutes les fonctions dérivables sur I qui vérifient l’égalité.

Ici, on cherche les fonctions f dérivables sur telles que pour tout réel x :

L’égalité f(0) = 1 est appelée condition initiale.

Propriété :

S’il existe une fonction f dérivable sur I telle que et alors f ne s’annule pas sur I.

Théorème :

Il existe une unique fonction f dérivable sur I telle que et .

C’est la fonction exponentielle, notée .

II . Propriétés algébriques :

Théorème : Relation fonctionnelle caractéristique.

La fonction exponentielle est la seule fonction dérivable sur I non nulle qui vérifie les conditions :

Pour tous réels a et b, f(a+b) = f(a).f(b)

f’(0) = 1

Propriétés :

Pour tous réels a et b et pour tout n entier relatif :

Remarque :

Pour tout réel a :

$mimetex.cgi?\exp(a)=\exp(\frac{a}{2}+\frac{a}{2})=\exp(\frac{a}{2}) La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

Donc pour tout réel , .

Notations :

$mimetex.cgi?\forall n \in \mathbb{N},\, \exp(n)=\exp(n\,\times \,1)=(\exp(1))^n La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

On pose :

$mimetex.cgi? e=\exp(1)\,\, alors\,\,\exp(n)=e^n La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

Par analogie avec les puissances (et leurs règles de calcul) on pose :

$mimetex.cgi?\fbox{\forall x\in \mathbb{R},\,\exp(x)=e^x La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

Propriétés :

$mimetex.cgi?\,exp(0)=1 La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$
$mimetex.cgi?exp(a+b)=exp(a)\times exp(b) La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$
$mimetex.cgi? exp(-a)=\frac{1}{exp(a)} La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$
$mimetex.cgi?exp(na)={[exp(a)]}^n La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$
$mimetex.cgi?exp(a-b)=\frac{exp(a)}{exp(b)} La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

III . Etude de la fonction exponentielle.

Théorème :

La fonction exponentielle est strictement croissante sur $mimetex.cgi?\mathbb{R} La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$ .

Propriétés :

$mimetex.cgi?\forall (x,y)\in\mathbb{R^2} La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

$mimetex.cgi? x=y\Longleftrightarrow exp x =exp y La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$
$mimetex.cgi?x<y\Longleftrightarrow exp x <exp y La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

Théorème :

$mimetex.cgi?\lim_{x \to +\infty} exp x=+\infty La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

$mimetex.cgi?\lim_{x \to -\infty} exp x= 0^+ La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

Théorème :

$mimetex.cgi?\lim_{x \to 0} \frac{exp x -1}{x}=1 La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

$mimetex.cgi?Pour \,\,x \,\,proche\,\, de\,\, 0,\,\,exp x \approx 1+x La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

La fonction x 1+x est l’approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0.

Théorème :

$mimetex.cgi?\lim_{x \to +\infty} \frac{exp x}{x}=+\infty La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

$mimetex.cgi?\lim_{x \to -\infty} x exp x=0 La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

On admet que ce théorème se généralise et qu’à l’infini, l’exponentielle l’emporte sur les puissances.

Exemple :

$mimetex.cgi? \lim_{x \to +\infty} \frac{exp x}{3x^2+5x+1}=+\infty La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

$mimetex.cgi? \lim_{x \to -\infty} exp x\times (3x^5+5x^3+1)=0 La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.$

Vous avez assimilé ce cours sur la fonction exponentielle en classe de 1ère ?

Effectuez ce QCM sur les fonctions exponentielles en classe de première.

Les fonctions exponentielles

Un QCM sur les fonctions exponentielles

Télécharger et imprimer ce document en PDF gratuitement :

Vous avez la possibilité de télécharger puis d'imprimer gratuitement ce document «la fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.» au format PDF.

Réviser les leçons et les exercices avec nos Q.C.M :

Q.C.M en 6ème Q.C.M en 5ème Q.C.M en 4ème Q.C.M en 3ème Q.C.M en 2de Q.C.M en 1ère Q.C.M en Terminale

Mathovore c'est 14 122 542 cours et exercices de maths téléchargés en PDF.

La fonction exponentielle : cours de maths en 1ère en PDF.

I . Equation différentielle f ’ = f avec f(0) = 1. :

II . Propriétés algébriques :

III . Etude de la fonction exponentielle.

Vous avez assimilé ce cours sur la fonction exponentielle en classe de 1ère ?

Résumé-Quiz

Information

Résultats

Categories

Réviser les leçons et les exercices avec nos Q.C.M :

D'autres fiches similaires :

Limites et asymptotes : cours de maths en 1ère en PDF.

Dérivée d’une fonction : cours de maths en 1ère en PDF.

Position relative de deux droites dans l’espace : cours de maths en 1ère en PDF.

Vous avez manqué ces ressources :

Asie Pacifique bac de maths 2024 : sujet n° 2 corrigé

Brevet de maths 2024 aux centres étrangers avec sujet et corrigé.

Théorème de Thalès : cours de maths en 3ème en PDF.

Calcul littéral et la double distributivité : cours de maths en 4ème en PDF.