Première — chapitre 2 sur 10
Suites numériques
Une suite arithmétique ajoute toujours la même raison ; une suite géométrique multiplie toujours par la même raison.
Une suite $(u_n)$ associe à chaque entier $n$ un réel $u_n$. Elle peut être définie explicitement ($u_n = 3n^2 - 1$) ou par récurrence ($u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n - 3$).
$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1}\le u_n$. Méthodes : signe de $u_{n+1}-u_n$ ; comparaison de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$ si $u_n>0$ ; variations de $f$ si $u_n = f(n)$.
Suites arithmétiques
$u_{n+1} = u_n + r$. Terme général : $u_n = u_0 + nr = u_p + (n-p)r$. Croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$. Somme : $$u_0+u_1+\cdots+u_n = (n+1)\times\dfrac{u_0+u_n}{2}\qquad 1+2+\cdots+n = \dfrac{n(n+1)}2.$$
Suites géométriques
$u_{n+1} = q\,u_n$. Terme général : $u_n = u_0\,q^n = u_p\,q^{n-p}$. Si $u_0>0$ et $q>1$ : croissante ; $0
Un capital de $1000$ € placé à $3\,\%$ : $C_n = 1000\times1{,}03^n$, suite géométrique de raison $1{,}03$. $C_{10}\approx 1343{,}92$ €.
Une suite arithmétique se représente par des points alignés ; on démontre qu'une suite est géométrique en calculant $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et en trouvant une constante.