Ce contrôle de maths de 1ère porte sur le thème suivant : propriétés algébriques de l’exponentielle.
Ce sujet de première porte sur la fonction exponentielle, définie comme l’unique fonction dérivable égale à sa dérivée et valant 1 en 0. Tu devras utiliser la relation fonctionnelle \(e^{a+b} = e^a \times e^b\) et ses conséquences pour simplifier des expressions, puis lire sa courbe et sa tangente en 0.
La seconde partie évalue la résolution d’équations et d’inéquations du type \(e^u = e^v\) ou \(e^u < e^v\), l’étude du signe d’une expression et une suite géométrique de terme \(e^{1-2n}\). Calculatrice interdite ; le logarithme n’est pas au programme, toutes les réponses s’obtiennent sans lui.
- Niveau : 1ère
- Chapitre : La fonction exponentielle
- Durée conseillée : 1 heure
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 5 points ; exercice 2 : 3 points ; exercice 3 : 4 points ; exercice 4 : 4 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : simplifier des expressions avec \(e^{a+b}\), \(e^{-a}\) et \((e^a)^n\)
- Raisonner : résoudre des équations et des inéquations en utilisant la stricte croissance de l’exponentielle
- Représenter : lire la courbe de l’exponentielle et sa tangente au point d’abscisse 0
- Chercher : se ramener à une équation du second degré par un changement de variable
- Modéliser : reconnaître une suite géométrique de la forme \(e^{na+b}\)
Exercice 1 : Simplifier des expressions (5 points)
Calculatrice interdite.
Écris chaque expression sous la forme la plus simple possible (une seule exponentielle, ou un nombre), pour tout réel \(x\).
- \(A = e^{3} \times e^{-5}\) (1 point)
- \(B = (e^{2x})^3 \times e^{-x}\) (1 point)
- \(C = \dfrac{e^{x+1}}{e^{1-x}}\) (1 point)
- \(D = (e^{x} + e^{-x})^2 – (e^{x} – e^{-x})^2\) (1 point)
- \(E = \dfrac{e^{2x} – 1}{e^{x} – 1}\), pour tout réel \(x\) non nul. (1 point)
Exercice 2 : La courbe de l’exponentielle (3 points)
On a tracé ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}\) de la fonction exponentielle et sa tangente \(T\) au point d’abscisse 0.
- Rappelle les deux propriétés qui définissent la fonction exponentielle, puis démontre que \(T\) a pour équation \(y = x + 1\). (1 point)
- Lis sur le graphique une valeur approchée au dixième de \(e\), puis de la solution de l’équation \(e^x = 2\). (1 point)
- Justifie que, pour tout réel \(x\), \(e^x > 0\), puis que la fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). (1 point)
Exercice 3 : Équations avec l’exponentielle (4 points)
Résous dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes.
- \(e^{2x-1} = e^{x+3}\) (1 point)
- \(e^{x^2} = e^{3x-2}\) (1 point)
- \(e^{2x} + e^{x} – 2 = 0\) (on pourra poser \(X = e^x\)) (1,5 point)
- \(e^{x} \times e^{x+2} = e^{4}\) (0,5 point)
Exercice 4 : Inéquations et signe (4 points)
- Résous dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(e^{3x} < e^{x+4}\). (1 point)
- Résous dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(e^{-x^2} \geq\, e^{-4}\). (1 point)
- Étudie le signe de \(f(x) = (2x – 6)e^{x}\) selon les valeurs du réel \(x\). (1 point)
- Résous dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(e^{2x} – e \geq\, 0\). (1 point)
Exercice 5 : Une suite géométrique (4 points)
On considère la suite \((u_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(u_n = e^{1-2n}\).
- Calcule \(u_0\) et \(u_1\). (0,5 point)
- Montre que la suite \((u_n)\) est géométrique ; précise sa raison et son premier terme. (1,5 point)
- Déduis-en le sens de variation de la suite \((u_n)\). (1 point)
- On note \(S = u_0 + u_1 + u_2\). Montre que \(S = e^{-3}(e^{4} + e^{2} + 1)\). (1 point)
Réviser avant le contrôle : propriétés algébriques de l’exponentielle
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « La fonction exponentielle » en 1ère puis entraîne-toi avec les exercices corrigés fonction exponentielle.
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