Limites et asymptotes : cours de maths en 1ère S

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Un cours de maths en première sur les limites de fonctions ainsi que l’existence d’une asymptote à la courbe représentative de cette fonction. Les limites de fonctions et l’étude des asymptotes horizontale, verticales, obliques dans un cours de maths en 1ère S où nous aborderons la définition de l’asymptote à une courbe . Dans cette leçon en première S, nous verrons les différentes opérations sur  les limites et le théorème de comparaison.

Les tableaux ci-dessous résument les résultats à connaître.

Ces tableaux sont valables dans les trois situations étudiées:

  • Lorsque la variable x\to\,+\infty.
  • Lorsque la variable x\to\,-\infty.
  • Lorsque la variable x\to\,a où a \in R.

Mais il va de soi que, pour les deux fonctions f et g concernées, les limites sont prises au même endroit!
Dans le cas particulier où les fonctions sont des suites numériques, on peut utiliser ces résultats en remplaçant f par (Un) et g par (Vn) avec le seul cas envisageable la variable n\to\,+\infty.

Les conventions utilisées dans ces tableaux, sont:
· l et l'  désignent des nombres réels ( limites finies ).
· ? indique que dans la situation concernée, on n’a pas de conclusion générale.

On dit parfois qu’il s’agit d’une « forme indéterminée » notée F.I.

Il faudra dans ces cas, mettre au point d’autres méthodes de résolution.

I.Limite d’une somme de deux fonctions

limite somme fonctions

II.Limite d’une différence de deux fonctions

Utiliser : f – g = f + (-g) et le tableau précédent.

III.Limite d’un produit de deux fonctions

limite produit fonctions

IV.Limite de l’inverse d’une fonction

Dans le tableau ci-dessous, la limite de f égale à 0^+ , signifie, qu’à l’endroit où la limite est prise, cette limite est zéro et que, pour tout x suffisamment proche de cet endroit, on a f(x) > 0.
Définition analogue pour 0^- , mais avec f(x) < 0.

limite inverse fonction

V. Limite d’un quotient de deux fonctions

On peut utiliser: \frac{f}{g}=f\times  \,\frac{1}{g} et avec les deux tableaux précédents, il est possible de conclure.

En + \infty ou en – \infty , la limite d’une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

On peut aussi retenir les résultats suivants :

Ce tableau est simplifié: ± \infty signifie + \infty ou bien – \infty .

Pour décider, on applique la règle du signe du quotient selon les signes de f et de g au voisinage de l’endroit où la limite est cherchée.

VI.Limite des fonctions de références.

limites fonction référence

VII.Le théorèmes de comparaison

Théorème :

Pour les fonctions, dans les propriétés ci-dessous, la lettre a désigne aussi bien un réel que + \infty ou – \infty.
Lorsque a = + \infty, les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme [ A ; + \infty [ où A est un réel.

Lorsque a = – \infty, les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme ] – \infty ; A ] où A est un réel.
Lorsque a\in R , les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme [ A ; B ] où A et B sont des réels et a\in[ A ; B ].
Si la limite concernée est la limite à gauche de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] – \infty ; a [  ou  [ A ; a [ où A est un réel.
Si la limite concernée est la limite à droite de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] a ; +\infty [  ou  ] a ; A ] où A est un réel.

Pour les suites, l’indice n est un entier naturel supérieur ou égal à un certain rang n_0 (qui sera souvent 0).

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