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Mise à jour le 30 mars 2021

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Sommaire de cette fiche

1 I.Limite d’une somme de deux fonctions
2 II.Limite d’une différence de deux fonctions
3 III.Limite d’un produit de deux fonctions
4 IV.Limite de l’inverse d’une fonction
5 V. Limite d’un quotient de deux fonctions
6 VI.Limite des fonctions de références.
7 VII.Le théorèmes de comparaison

Un cours de maths en première sur les limites de fonctions ainsi que l’existence d’une asymptote à la courbe représentative de cette fonction. Les limites de fonctions et l’étude des asymptotes horizontale, verticales, obliques dans un cours de maths en 1ère S où nous aborderons la définition de l’asymptote à une courbe . Dans cette leçon en première S, nous verrons les différentes opérations sur les limites et le théorème de comparaison.

Les tableaux ci-dessous résument les résultats à connaître.

Ces tableaux sont valables dans les trois situations étudiées:

Lorsque la variable $x\to\,+\infty$ .
Lorsque la variable $x\to\,-\infty$ .
Lorsque la variable $x\to\,a$ où a $\in$ R.

Mais il va de soi que, pour les deux fonctions f et g concernées, les limites sont prises au même endroit!
Dans le cas particulier où les fonctions sont des suites numériques, on peut utiliser ces résultats en remplaçant f par (U_n) et g par (V_n) avec le seul cas envisageable la variable $n\to\,+\infty$ .

Les conventions utilisées dans ces tableaux, sont:
· $l$ et $l'$ désignent des nombres réels ( limites finies ).
· ? indique que dans la situation concernée, on n’a pas de conclusion générale.

On dit parfois qu’il s’agit d’une « forme indéterminée » notée F.I.

Il faudra dans ces cas, mettre au point d’autres méthodes de résolution.

I.Limite d’une somme de deux fonctions

II.Limite d’une différence de deux fonctions

Utiliser : f – g = f + (-g) et le tableau précédent.

III.Limite d’un produit de deux fonctions

IV.Limite de l’inverse d’une fonction

Dans le tableau ci-dessous, la limite de f égale à $0^+$ , signifie, qu’à l’endroit où la limite est prise, cette limite est zéro et que, pour tout x suffisamment proche de cet endroit, on a f(x) > 0.
Définition analogue pour $0^-$ , mais avec f(x) < 0.

V. Limite d’un quotient de deux fonctions

On peut utiliser: $\frac{f}{g}=f\times \,\frac{1}{g}$ et avec les deux tableaux précédents, il est possible de conclure.

En + $\infty$ ou en – $\infty$ , la limite d’une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

On peut aussi retenir les résultats suivants :

Ce tableau est simplifié: ± $\infty$ signifie + $\infty$ ou bien – $\infty$ .

Pour décider, on applique la règle du signe du quotient selon les signes de f et de g au voisinage de l’endroit où la limite est cherchée.

VI.Limite des fonctions de références.

VII.Le théorèmes de comparaison

Théorème :

Pour les fonctions, dans les propriétés ci-dessous, la lettre a désigne aussi bien un réel que + $\infty$ ou – $\infty$ .
Lorsque a = + $\infty$ , les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme [ A ; + $\infty$ [ où A est un réel.

Lorsque a = – $\infty$ , les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme ] – $\infty$ ; A ] où A est un réel.
Lorsque a $\in$ R , les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme [ A ; B ] où A et B sont des réels et a $\in$ [ A ; B ].
Si la limite concernée est la limite à gauche de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] – $\infty$ ; a [ ou [ A ; a [ où A est un réel.
Si la limite concernée est la limite à droite de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] a ; + $\infty$ [ ou ] a ; A ] où A est un réel.

Pour les suites, l’indice n est un entier naturel supérieur ou égal à un certain rang $n_0$ (qui sera souvent 0).

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