cours maths 1ère

Limites et asymptotes : cours de maths en 1ère en PDF.


 Les limites de fonctions ainsi que l’existence d’une asymptote à la courbe représentative de cette fonction à travers un cours de maths en 1ère. Les limites de fonctions et l’étude des asymptotes horizontale, verticales, obliques où nous aborderons la définition de l’asymptote à une courbe . Dans cette leçon, nous verrons les différentes opérations sur  les limites et le théorème de comparaison.

Les tableaux ci-dessous résument les résultats à connaître.

Ces tableaux sont valables dans les trois situations étudiées:

  • Lorsque la variable x\to\,+\infty.
  • Lorsque la variable x\to\,-\infty.
  • Lorsque la variable x\to\,a où a \in R.

Mais il va de soi que, pour les deux fonctions f et g concernées, les limites sont prises au même endroit!
Dans le cas particulier où les fonctions sont des suites numériques, on peut utiliser ces résultats en remplaçant f par (Un) et g par (Vn) avec le seul cas envisageable la variable n\to\,+\infty.

Les conventions utilisées dans ces tableaux, sont:
· l et l'  désignent des nombres réels ( limites finies ).
· ? indique que dans la situation concernée, on n’a pas de conclusion générale.

On dit parfois qu’il s’agit d’une « forme indéterminée » notée F.I.

Il faudra dans ces cas, mettre au point d’autres méthodes de résolution.

I. Limite d’une somme de deux fonctions

Limite d’une somme de deux fonctions

II. Limite d’une différence de deux fonctions

Utiliser : f – g = f + (-g) et le tableau précédent.

III. Limite d’un produit de deux fonctions

Limite d’un produit de deux fonctions

IV. Limite de l’inverse d’une fonction

Dans le tableau ci-dessous, la limite de f égale à 0^+ , signifie, qu’à l’endroit où la limite est prise, cette limite est zéro et que, pour tout x suffisamment proche de cet endroit, on a f(x) > 0.
Définition analogue pour 0^- , mais avec f(x) < 0.

Limite de l’inverse d’une fonction

V. Limite d’un quotient de deux fonctions

On peut utiliser: \frac{f}{g}=f\times  \,\frac{1}{g} et avec les deux tableaux précédents, il est possible de conclure.

En + \infty ou en – \infty , la limite d’une fonction rationnelle est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

On peut aussi retenir les résultats suivants :

Limite d’un quotient de deux fonctions

Ce tableau est simplifié: ± \infty signifie + \infty ou bien – \infty .

Pour décider, on applique la règle du signe du quotient selon les signes de f et de g au voisinage de l’endroit où la limite est cherchée.

VI. Limite des fonctions de références.

Limite des fonctions de références

VII. Le théorèmes de comparaison

Théorème :

Pour les fonctions, dans les propriétés ci-dessous, la lettre a désigne aussi bien un réel que + \infty ou – \infty.
Lorsque a = + \infty, les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme [ A ; + \infty [ où A est un réel.

Lorsque a = – \infty, les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme ] – \infty ; A ] où A est un réel.
Lorsque a\in R , les fonctions sont définies sur R ou un intervalle I de la forme [ A ; B ] où A et B sont des réels et a\in[ A ; B ].
Si la limite concernée est la limite à gauche de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] – \infty ; a [  ou  [ A ; a [ où A est un réel.
Si la limite concernée est la limite à droite de a, les fonctions sont définies sur un intervalle I de la forme ] a ; +\infty [  ou  ] a ; A ] où A est un réel.

Pour les suites, l’indice n est un entier naturel supérieur ou égal à un certain rang n_0 (qui sera souvent 0).

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