Corrigé du contrôle de maths 2de : calcul numérique et calcul littéral

Exercice 1 : Automatismes (4 points)

1. \(2^3 \times 2^{-5} = 2^{3 – 5} = 2^{-2} = \frac{1}{4}\). Réponse : \(\frac{1}{4}\).
2. \(\frac{10^{4} \times 10^{-6}}{10^{-3}} = \frac{10^{-2}}{10^{-3}} = 10^{-2 + 3} = 10^{1}\). Réponse : \(10\).
3. \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\). Réponse : \(5\sqrt{2}\).
4. \(\frac{2}{3} – \frac{1}{4} = \frac{8}{12} – \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\). Réponse : \(\frac{5}{12}\).
5. \((x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9\).
6. \(x^2 – 49 = (x – 7)(x + 7)\).
7. \(|3 – 7| = |-4| = 4\). Réponse : \(4\).
8. \(\frac{7}{3} : \frac{14}{9} = \frac{7}{3} \times \frac{9}{14} = \frac{63}{42} = \frac{3}{2}\). Réponse : \(\frac{3}{2}\).

Barème : 0,5 point par réponse exacte et simplifiée ; 0,25 point si le résultat est juste mais non simplifié.

Exercice 2 : Puissances et intervalles (3,5 points)

1. On regroupe d’abord les nombres, puis les puissances de 10 :
   \(A = \frac{3 \times 8}{6} \times \frac{10^{5} \times 10^{-2}}{10^{-4}} = 4 \times \frac{10^{3}}{10^{-4}} = 4 \times 10^{3 + 4}\).
   Donc \(A = 4 \times 10^{7}\). C’est bien une écriture scientifique, car \(1 \leq\, 4 < 10\).
2. Le crochet est tourné vers l’intérieur en \(-2\) : cette valeur est donc incluse. En revanche, il est tourné vers l’extérieur en \(3\) (valeur exclue). \(I = [-2\,;3[\).
3. \(I \cap J\) contient les réels qui sont à la fois dans \(I\) et dans \(J\). Ce sont donc ceux strictement supérieurs à 1 et strictement inférieurs à 3. \(I \cap J = ]1\,;3[\).
   Ensuite, \(I \cup J\) contient les réels qui sont dans \(I\) ou dans \(J\). On va ainsi de \(-2\) inclus à \(5\) inclus, sans trou, car les intervalles se chevauchent. \(I \cup J = [-2\,;5]\).
4. \(|x – 2|\) est la distance entre \(x\) et \(2\) sur la droite graduée. On cherche donc les réels dont la distance à 2 est inférieure ou égale à 3. Ils sont alors compris entre \(2 – 3 = -1\) et \(2 + 3 = 5\). L’ensemble des solutions est \([-1\,;5]\).

Erreur fréquente : écrire \(I \cup J = [-2\,;3[\) en oubliant la partie de \(J\) située après 3.

Barème : a) 0,5 point pour le regroupement, 0,5 point pour l’écriture scientifique ; b) 0,5 point (crochets justes exigés) ; c) 0,5 point par ensemble ; d) 0,5 point pour l’interprétation en distance, 0,5 point pour l’intervalle.

Exercice 3 : Calculs avec des racines carrées (3,5 points)

1. D’abord, \(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\), \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\).
   Ainsi, \(B = 5\sqrt{3} – 2 \times 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (5 – 4 + 3)\sqrt{3}\).
   \(B = 4\sqrt{3}\).
2. On utilise \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) avec \(a = 2\sqrt{3}\) et \(b = 1\).
   Donc \(C = (2\sqrt{3})^2 – 2 \times 2\sqrt{3} \times 1 + 1^2 = 4 \times 3 – 4\sqrt{3} + 1\).
   \(C = 13 – 4\sqrt{3}\).
3. On utilise cette fois \((a + b)(a – b) = a^2 – b^2\) : \(D = 3^2 – (\sqrt{5})^2 = 9 – 5\). \(D = 4\).
4. Enfin, on multiplie le numérateur et le dénominateur par \(\sqrt{5} + 1\).
   Ainsi, \(F = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} – 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{5 – 1} = \frac{2(\sqrt{5} + 1)}{4}\).
   \(F = \frac{\sqrt{5} + 1}{2}\).

Erreur fréquente : écrire \((2\sqrt{3})^2 = 2 \times 3 = 6\). En effet, il faut élever les deux facteurs au carré, ce qui donne \(4 \times 3 = 12\).

Barème : a) 0,5 point pour les trois simplifications, 0,5 point pour le résultat ; b) 0,5 point pour l’identité, 0,5 point pour le résultat ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour la multiplication par l’expression conjuguée, 0,5 point pour le résultat simplifié.

Exercice 4 : Développer, factoriser, résoudre (4 points)

1. D’abord, \((2x – 3)^2 = 4x^2 – 12x + 9\). Ensuite, \((x + 1)(2x – 3) = 2x^2 – 3x + 2x – 3 = 2x^2 – x – 3\).
   Donc \(E = 4x^2 – 12x + 9 – (2x^2 – x – 3) = 4x^2 – 12x + 9 – 2x^2 + x + 3\).
   \(E = 2x^2 – 11x + 12\).
2. Le facteur commun est \((2x – 3)\) :
   \(E = (2x – 3)[(2x – 3) – (x + 1)] = (2x – 3)(2x – 3 – x – 1)\).
   \(E = (2x – 3)(x – 4)\).
   Vérification : \((2x – 3)(x – 4) = 2x^2 – 8x – 3x + 12 = 2x^2 – 11x + 12\).
3. La forme développée est ici la plus adaptée : \(E = 2 \times (\sqrt{2})^2 – 11\sqrt{2} + 12 = 2 \times 2 – 11\sqrt{2} + 12\). Pour \(x = \sqrt{2}\), \(E = 16 – 11\sqrt{2}\).
4. On utilise alors la forme factorisée. Or un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
   \(2x – 3 = 0\), soit \(x = \frac{3}{2}\), ou \(x – 4 = 0\), soit \(x = 4\).
   Les solutions de \(E = 0\) sont donc \(\frac{3}{2}\) et \(4\).

Erreur fréquente : oublier de changer tous les signes en supprimant les parenthèses précédées d’un signe moins. Par exemple, \(-(2x^2 – x – 3) = -2x^2 + x + 3\).

Barème : a) 0,5 point pour chaque développement, 0,25 point pour la réduction ; b) 0,75 point pour la mise en facteur, 0,5 point pour la forme finale ; c) 0,25 point pour le choix de la forme, 0,5 point pour le résultat ; d) 0,25 point pour la propriété du produit nul, 0,5 point pour les deux solutions.

Exercice 5 : Étude de signe d’un produit (5 points)

1. \(9 = 3^2\), donc \(f(x)\) est une différence de deux carrés. On applique ainsi \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) avec \(a = 3\) et \(b = x – 1\).
   \(f(x) = [3 – (x – 1)][3 + (x – 1)] = (3 – x + 1)(3 + x – 1)\).
   \(f(x) = (4 – x)(x + 2)\).
2. D’abord, \(4 – x > 0\) équivaut à \(x < 4\) ; \(4 – x\) s’annule en \(4\).
   Ensuite, \(x + 2 > 0\) équivaut à \(x > -2\) ; \(x + 2\) s’annule en \(-2\).
   On applique enfin la règle des signes dans chaque colonne :
   

   \(x\)	\(-\infty\)		\(-2\)		\(4\)		\(+\infty\)
   \(4 – x\)		+		+	0	−
   \(x + 2\)		−	0	+		+
   \((4 – x)(x + 2)\)		−	0	+	0	−

3. \(f(x) \geq\, 0\) lorsque le produit est positif ou nul. L’ensemble des solutions est donc \([-2\,;4]\).

Questions d et e : un quotient et un maximum

4. Le quotient \(\frac{x + 2}{4 – x}\) n’est défini que pour \(x \neq 4\) (valeur interdite). D’après la règle des signes, il a le même signe que le produit \((4 – x)(x + 2)\). Il est donc négatif ou nul pour \(x \leq\, -2\) (nul en \(-2\)) et pour \(x > 4\), la valeur \(4\) étant exclue.
   L’ensemble des solutions est \(]-\infty\,;-2] \cup ]4\,;+\infty[\).
5. Pour tout réel \(x\), un carré est positif ou nul : \((x – 1)^2 \geq\, 0\). Donc \(-(x – 1)^2 \leq\, 0\) et \(9 – (x – 1)^2 \leq\, 9\). Ainsi \(f(x) \leq\, 9\) pour tout réel \(x\).
   De plus, l’égalité \(f(x) = 9\) équivaut à \((x – 1)^2 = 0\), c’est-à-dire \(x = 1\). On a donc \(f(x) = 9\) uniquement pour \(x = 1\).

Erreur fréquente : fermer le crochet en 4 dans la question d. En effet, 4 est une valeur interdite : le quotient n’y est pas défini.

Barème : a) 0,5 point pour la reconnaissance de \(a^2 – b^2\), 0,5 point pour la forme finale ; b) 0,5 point par ligne de facteur, 0,5 point pour la ligne du produit ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour le lien avec le tableau, 0,25 point pour la valeur interdite exclue, 0,25 point pour l’ensemble ; e) 0,75 point pour la démonstration, 0,25 point pour \(x = 1\).

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Après le corrigé du contrôle : calcul numérique et calcul littéral

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