Ce contrôle de maths de 2de porte sur le thème suivant : développer, factoriser, identités remarquables.
Ce sujet évalue le calcul littéral de seconde, sans calculatrice. Les automatismes de départ vérifient les réflexes : distributivité, signes, réduction. Tu dois ensuite développer des expressions avec les trois identités remarquables, puis factoriser en repérant un facteur commun ou une différence de deux carrés.
Un exercice de calcul mental montre que ces identités servent aussi à calculer \(101^2\) ou \(99 \times 101\) de tête. Pour finir, tu disposes de trois écritures d’une même expression et tu dois choisir la forme la plus adaptée pour calculer une image ou résoudre une équation. Compte 50 minutes.
- Niveau : 2de
- Chapitre : Calcul littéral, factorisation et étude de signe
- Durée conseillée : 50 minutes
- Barème : sur 20 points (exercice 1 : 4 points ; exercice 2 : 4 points ; exercice 3 : 5 points ; exercice 4 : 3 points ; exercice 5 : 4 points)
- Compétences évaluées :
- Calculer : développer et réduire une expression avec la distributivité et les identités remarquables
- Calculer : factoriser par un facteur commun ou avec la différence de deux carrés
- Raisonner : choisir la forme d’une expression la mieux adaptée à la question posée
- Chercher : utiliser une identité remarquable pour un calcul mental astucieux
Exercice 1 : Automatismes (4 points)
Calculatrice interdite pour tout le sujet.
Répondre directement, sans justification.
- Développer \(3(2x – 5)\). (0,5 point)
- Développer \((x + 4)^2\). (0,5 point)
- Factoriser \(5x^2 – 10x\). (0,5 point)
- Factoriser \(x^2 – 49\). (0,5 point)
- Développer \((2x – 1)(2x + 1)\). (0,5 point)
- Calculer \(2x^2 – 3x\) pour \(x = -2\). (0,5 point)
- Réduire \(-(x – 3) + 2(x + 1)\). (0,5 point)
- Factoriser \(x^2 – 6x + 9\). (0,5 point)
Exercice 2 : Développer et réduire (4 points)
Développer et réduire chacune des expressions suivantes, en détaillant les étapes.
- \(A = (3x – 2)^2\) (1 point)
- \(B = (x + 5)(2x – 3) – (x – 1)^2\) (1,5 point)
- \(C = (2x + 3)^2 – (2x – 3)^2\) (1,5 point)
Exercice 3 : Factoriser (5 points)
Factoriser chacune des expressions suivantes, puis réduire chaque facteur.
- \(D = (x + 2)(3x – 1) + (x + 2)(x + 4)\) (1 point)
- \(E = (2x – 1)^2 – (2x – 1)(x + 3)\) (1,5 point)
- \(F = 9x^2 – 25\) (1 point)
- \(G = (x + 1)^2 – 16\) (1,5 point)
Exercice 4 : Calculs astucieux (3 points)
Sans poser de multiplication, calculer les nombres suivants à l’aide d’une identité remarquable, en écrivant l’identité utilisée.
- \(101^2\) (1 point)
- \(99 \times 101\) (1 point)
- \(1\,003^2 – 997^2\) (1 point)
Exercice 5 : Choisir la bonne forme (4 points)
Pour tout réel \(x\), on pose \(f(x) = (x – 3)^2 – 4\).
- Montrer que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = x^2 – 6x + 5\). (1 point)
- Montrer que, pour tout réel \(x\), \(f(x) = (x – 5)(x – 1)\). (1 point)
- On dispose maintenant de trois écritures de \(f(x)\). Pour chacune des questions suivantes, choisir l’écriture la plus adaptée, puis répondre. (2 points)
- Calculer \(f(0)\).
- Calculer \(f(3)\).
- Résoudre l’équation \(f(x) = 0\).
- Résoudre l’équation \(f(x) = 5\).
Réviser avant le contrôle : développer, factoriser, identités remarquables
Avant de faire ce contrôle, relis le cours « Factorisation et étude de signe » en 2de.
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