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Racine carrée : cours de maths en 2de en PDF.

14 janvier 2025 par webmaster

La racine carrée d’un nombre à travers un cours de maths en 2de. Nous allons aborder la définition ainsi que toutes les formules de calculs à l’aide des racines carrées en classe de seconde.

I. Racine carrée d’un nombre positif :

Définition :

La racine carrée d’un nombre positif est le nombre positif noté $\sqrt{a}$ dont le carré est . c’est à dire : $(\sqrt{a})^2=a$

Remarques :

$15$ \sqrt{ .}$ s’appelle le radical et $\sqrt{a}$ se lit « racine carrée de a » ou « racine de a ».

$\sqrt{a}$ n’a pas de sens si a est un nombre négatif.

Exemples :

1) $\sqrt{144}=12$ car 12 est positif et 12²=144.

2) $\sqrt{0}=0$ car 0² = 0.

3) $\sqrt{-4}=0$ n’a pas de sens car –4 est un nombre négatif.

Définition :

On appelle carré parfait un entier positif dont la racine carrée est un entier.

Exemples :

1) 16 est un carré parfait car 16 = 4², et $\sqrt{16}=4$ .

2) 40 000 est un carré parfait car 40 000 = 200², et $\sqrt{40\,000}=200$

II. Règles de calculs sur les radicaux :

1. Produit de racines :

Propriété 1:

Pour tous nombres a et b positifs , on a : $\fbox{ \sqrt{a\times b}=\sqrt{a}\times \sqrt{b}}$

Exemples :

1. $\sqrt{15}=\sqrt{5\times 3}=\sqrt{5}\times \sqrt{3}$ 2. $\sqrt{8}=\sqrt{4\times 2}=\sqrt{4}\times \sqrt{2}=2sqrt{2}$ 3. $\sqrt{49\times 81}=\sqrt{49}\times \sqrt{81}=7\times 9=63$

Propriété 2 :

Pour tout nombre positif a, on a $\fbox{ (\sqrt{a})^2=\sqrt{a^2}=a}$

Preuve :

Par définition : $(\sqrt{a})^2=a$

En utilisant la propriété 1 : $\sqrt{a^2}=\sqrt{a\times a}=\sqrt{a}\times \sqrt{a}=(\sqrt{a})^2=a$

Exemples :

$\sqrt{144}=\sqrt{12^2}=12$

$\sqrt{162}=\sqrt{2\times 81}==\sqrt{2}\times \sqrt{ 81}=9\sqrt{2} .$

Attention :

Il n’y a aucune règle générale pour la somme et la différence de radicaux !

Contre-exemples :

1. $\sqrt{16}+\sqrt{9}=\,4+3=7\,\,\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

donc $\sqrt{16+9}\neq\sqrt{16}+\sqrt{9}$

2. $\sqrt{100}-\sqrt{64}=10-8=2$

$\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6$

donc $\sqrt{100-64}\neq\sqrt{100}-\sqrt{64}$

2. Quotient de racines :

Propriété :

Pour tous nombres a et b positifs , on a : $\fbox{ \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{ \sqrt{b}}$

Exemples :

$\sqrt{\frac{81}{64}}=\frac{\sqrt{81}}{ \sqrt{64}}=\frac{9}{8}$

$\sqrt{\frac{72}{36}}=\frac{\sqrt{72}}{ \sqrt{36}}=\frac{\sqrt{9\times 8}}{6}=\frac{\sqrt{9}\times \sqrt{8}}{6}=\frac{3\sqrt{8}}{6}$

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