Sommaire de cette fiche
I. Opérations algébriques sur les fonctions :
1. Egalité :
Dire que deux fonctions f et g sont égales, ce que l’on note alors f = g, signifie qu’elles ont le même ensemble de définition D et que, pour tout x de D, f(x) = g(x).
2. Opérations :
Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg.
Opérations :
| Opération | Notation | Definition | Definie pour : |
| Somme | f+g |  |
|
| Différence | f-g | x f(x)-g(x) |
|
| Produit | fg | x f(x)g(x) |
|
| quotient | |
x |
|
3. Composition de fonctions :
Etant donné deux fonction f et g, la fonction gof (lire « g rond f ») est la fonction definie par
L’ensemble de définition de gof est constitué de tous les nombres x tels que x soit dans Df et f(x) soit dans Dg.
Exemple :
f est la fonction définie sur R par f(x)=x-2 et g est la fonction carrée.
Dans g(x), on remplace x par f(x).
Alors g(f(x))= (x-2)²
Donc gof est la fonction x (x-2)² définie sur R.
II. Sens de variation:
1. Sens de variation d’une somme de fonction :
- La somme de deux fonctions strictement croissantes sur un intervalle I est une fonction strictement croissante sur I.
- La somme de deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle I est une fonction strictement décroissante sur I.
2. Sens de variation de ku :
Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel.
ku est la fonction x ku(x).
Exemple :
si u(x)=x²+3, la fonction 5u (ici k=5) est x 5(x²+3) ainsi (5u)(x)=5x²+15.
- Si k>0, u et ku ont le même sens de variation sur I.
- Si k<0, u et ku varient en sens contraires sur I.
3. Sens de variation d’une composée de fonctions :
Soient f et g deux fonctions strictement monotones, I est un intervalle inclus dans Df,
J un intervalle inclus dans Dg tel que pour tout x dans I, f(x) soit dans J.
- Lorsque f et g ont même sens de variation, alors gof est strictement croissante sur I.
- Lorsque f et g ont des sens de variation différents, alors gof est strictement décroissante sur I.
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