Généralités sur les fonctions : cours de maths en 2de en PDF

Sommaire

Les généralités sur les fonctions numériques dans un cours de maths en 2de où nous étudierons les opérations sur les fonctions ainsi que les égalités. dans cette leçon en seconde, nous aborderons le sens de variation d’une somme, produit et composée de fonctions numériques.

L’essentiel : Deux fonctions sont égales si elles ont le même ensemble de définition et les mêmes images en tout point. On peut les additionner, les multiplier ou les composer. Si $f$ et $g$ sont croissantes sur un intervalle, $f+g$ l’est aussi. Si $f$ est croissante, $f+k$ l’est aussi, ainsi que $kf$ pour $k>0$, tandis que $kf$ est décroissante pour $k<0$.

I. Opérations algébriques sur les fonctions :

1. Egalité :

Définition :

Dire que deux fonctions f et g sont égales, ce que l’on note alors f = g, signifie qu’elles ont le même ensemble de définition D et que, pour tout x de D, f(x) = g(x).

2. Opérations :

Propriété :

Soient f et g deux fonctions définies respectivement sur Df et Dg.
Opérations :

Opération	Notation	Definition	Definie pour :
Somme	f+g	$D_f\cap D_g$
Différence	f-g	x f(x)-g(x)	$D_f\cap D_g$
Produit	fg	x f(x)g(x)	$D_f\cap D_g$
quotient	$\frac{f}{g}$	x $\frac{f(x)}{g(x)}$	$D_f\cap D_g-\{x\in D_g\,,\,g(x)\neq 0}$

3. Composition de fonctions :

Définition :

Etant donné deux fonction f et g, la fonction gof (lire « g rond f ») est la fonction definie par

$\fbox{gof(x)=g[f(x)]}$

L’ensemble de définition de gof est constitué de tous les nombres x tels que x soit dans Df et f(x) soit dans Dg.

Exemple :

f est la fonction définie sur R par f(x)=x-2 et g est la fonction carrée.
Dans g(x), on remplace x par f(x).
Alors g(f(x))= (x-2)²
Donc gof est la fonction x (x-2)² définie sur R.

II. Sens de variation:

1. Sens de variation d’une somme de fonction :

Théorème :

La somme de deux fonctions strictement croissantes sur un intervalle I est une fonction strictement croissante sur I.
La somme de deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle I est une fonction strictement décroissante sur I.

2. Sens de variation de ku :

Définition :

Soit u une fonction définie sur un intervalle I et k un nombre réel.
ku est la fonction x ku(x).

Exemple :

si u(x)=x²+3, la fonction 5u (ici k=5) est x 5(x²+3) ainsi (5u)(x)=5x²+15.

Théorème :

Si k>0, u et ku ont le même sens de variation sur I.
Si k<0, u et ku varient en sens contraires sur I.

3. Sens de variation d’une composée de fonctions :

Théorème :

Soient f et g deux fonctions strictement monotones, I est un intervalle inclus dans Df,
J un intervalle inclus dans Dg tel que pour tout x dans I, f(x) soit dans J.

Lorsque f et g ont même sens de variation, alors gof est strictement croissante sur I.
Lorsque f et g ont des sens de variation différents, alors gof est strictement décroissante sur I.

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